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Les mesures risque-neutreLes m´ethodes stochastiques dans les sciences de la gestion6-640-93 Genevi`eve GauthierDerni`ere mise `a jour : 23 juin 2003

Plan de la pr´esentation•

Un exemple

:l"´evolution d"un seul actif risqu´e

La th´eorie

Le th´eor`eme de Radon-Nikodym

Le th´eor`eme de Cameron-Martin-Girsanov

Un exemple multidimensionnel

:l"´evolution simultan´ee d"un actif risqu´e´etranger ainsi que d"un taux de change Le th´eor`eme de Cameron-Martin-Girsanov multidimensionnel Un troisi`eme exemple : non-unicit´edelamesuremartingale

Un exempleSoit (σ,F,{F

t construit un mouvement brownien standardW={W t

Le processus stochastiqueS={S

t prix d"un titre risqu´e et satisfait l"´equation diω´erentielle stochastique dS t =µS t dt+?S t dW t .(1) Supposons aussi que le taux d"int´eretrest constant. Le facteur d"actualisation est donc ?(t)=exp(-rt)(2) ce qui implique qued?(t)=-rexp(-rt)dt.

Un exemple (suite)

Y t t S t (3) c"est-`a-dire queY t repr´esente la valeur actualis´ee au tempstdu titre risqu´e. En utilisant le lemme d"Ito (plus particuli`erement la r`egle de multiplication), nous obtenons dY t =(µ-r)Y t dt+?Y t dW t .(4)

En eωet,

dY t =d? t S t (5) t dS t +S t d? t +d??,S? t (6) t (µS t dt+?S t dW t )+S t (-r? t dt)(7) =(µ-r)? t S t dt+?? t S t dW t (8) Sous sa forme int´egrale, cette ´equation diω´erentielle stochastique devient Y t =Y 0 +(µ-r) t 0 Y s ds+? t 0 Y s dW s .(9) 1

RappelLes processus d"ItˆoD´efinition

.SoitWun ({F t },P)-mouvement brownien.

On appelle processus d"Ito, un processusX={X

t dans R tel que: X t ≡X 0 t 0 K s ds+ t 0 H s dW s (10) avec

•K={K

t t adapt´es `ala“ltration{F t •P T0 |K s |ds <∞ =1 •P T0 (H s 2 ds <∞ =1 Damien Lamberton et Bernard Lapeyre, Introduction au calcul stochastique appliqu´e`ala nance, Ellipses, page 53.

Un exemple (suite).

Rappelons queWest un ({F

t },P)-mouvement brownien.

Dans un monde neutre au risque (σ,F,{F

t :t≥0},Q), le processus sto- chastiqueY={Y t t },Q)-martingale. Ainsi, sous la mesure neutre au risque, la tendance deYdevrait etre nulle, c"est-`a-dire que nous voulons que le coeαcient de d´erive soit 0. Y t =Y 0 +(µ-r) t 0 Y s ds+Ω t 0 Y s dW s (11) =Y 0 +(µ-r-Ωffi) t 0 Y s ds+Ω t 0 Y s d(W s +ffis).(12)

Puisque

µ-r-Ωffi=0?ffi=µ-r

Ω,(13) alors Y t =Y 0 t 0 Y s dW ?s o`uW (t)=W(t)+µ-r Ωt.(14)

Un exemple (suite)Rappelons queWest un ({F

t },P)-mouvement brownien, Y t =Y 0 t 0 Y s dW ?s (15) o`u W (t)=W(t)+µ-r Ωt.(16)

Notons que sous la mesureP, le processusW

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