[PDF] Changement de mesure et thjorime de Girsanov

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Girsanov

Changement

de mesureTh. Radon-

NikodymTh Girsanov

Multidimensionnel

RéférencesChangement de mesure et théorème de

Girsanov80-646-08

Calcul stochatique IGeneviève Gauthier

HEC Montréal

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de mesureExemple 1

Th. Radon-

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RéférencesUn exempleI

Soit (Ω,F,fFt:0tTg,P)un espace probabilisé ...ltré sur lequel est construit un mouvement brownien standard W

P=WPt:0tT.Le processus stochastiqueS=fSt:0tTg

représente l"évolution du prix d"un titre risqué et satisfait dS t=μStdt+σStdWPt.Supposons aussi que le taux d"intérêtrest constant. Le facteur d"actualisation est donc (t)=exp(rt) ce qui implique quedβ(t)=rexp(rt)dt.

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RéférencesUn exempleII

Posons, pour tout 0tT,

Y t=βtSt c"est-à-dire queYtreprésente la valeur actualisée au tempstdu titre risqué.En utilisant le lemme d"Itô (plus particulièrement la règle de multiplication), nous obtenons dY t=(μr)Ytdt+σYtdWPt. dY t=dβtSt =βtdSt+Stdβt+dhβ,Sit =βt

μStdt+σStdWPt

+St(rβtdt) (μr)βtStdt+σβtStdWPt.

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RéférencesUn exempleIII

stochastique devient Y t=Y0+(μr)Z t

0Ysds+σZ

t

0YsdWPs.

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RéférencesRappel

Processus d"Itô

SoitWPun(fFtg,P)mouvement brownien.

On appelle processus d"Itô, un processus

X=fXt:0tTgà valeurs dansRtel que:

X tX0+Z t

0Ksds+Z

t

0HsdWPsavecK=fKt:0tTgetH=fHt:0tTg

sont des processus adaptés à la ...ltration fFtg,P hRT

0jKsjds<∞i

=1P hRT

0(Hs)2ds<∞i

=1Damien Lamberton et Bernard Lapeyre, Introduction au calcul stochastique appliqué à la ...nance, Ellipses, page 53.

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RéférencesExemple (suite)I

Rappelons queWPest un(fFtg,P)mouvement

brownien.Dans un monde neutre au risque (Ω,F,fFt:t0g,Q), le processus stochastiqueY=fYt:0tTgdevrait

être une

(fFtg,Q)martingale.Ainsi, sous la mesure neutre au risque, la tendance deY devrait être nulle, c"est-à-dire que nous voulons que le coe¢ cient de dérive soit 0.

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RéférencesExemple (suite)II

Posons

W

Qt=WPt+Z

t

0γsds

et notons que1W Qn"est pas unePmartingale (son espérance varie au cours du temps) et2dW

Qt=dWPt+γtdt.Par conséquent

Y t=Y0+(μr)Z t

0Ysds+σZ

t

0YsdWPs

Y t=Y0+Z t

0(μrσγs)Ysds+σZ

t

0YsdWQs.A...n de se débarasser du terme de dérive, il su¢ t de poser

μrσγs=0,γs=μrσ

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RéférencesExemple (suite)III

Rappelons que

Y t=Y0+σZ t

0YsdWQsNotons que sous la mesureP, le processusWQn"est pas

un mouvement brownien standard puisque la loi deWQt sous la mesurePestNμrσ t,t .Le processusYne sera pas une(fFtg,P)martingale puisque l"intégrale stochastique est construite par rapport E Ph WQti =μrσ t varie dans le temps.

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RéférencesExemple (suite)IV

Rappelons queWPest un(fFtg,P)mouvement

brownien, Y t=Y0+σZ t

0YsdWQs

où W

Q(t)=WP(t)+μrσ

t.Nous cherchons donc la mesure de probabilitéQà placer sur l"espace (Ω,F,fFtg)qui fera en sorte queWQsoit unQmouvement brownien standard.Donc en changeant la probabilité sur l"ensembleΩ, nous transformons le coe¢ cient de dérive a...n que la tendance soit nulle et nous intégrons par rapport à une fFtg,Q)martingale. Il en résultera que le processusY sera une (fFtg,Q)martingale.

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RéférencesThéorème de Radon-NikodymI

Une façon de construire de nouvelles mesures de probabilité sur l"espace probabilisable (Ω,F)lorsque nous avons déjà une mesure de probabilitéPexistant sur cet espace est la suivante:SoitY, une variable aléatoire construite sur l"espace probabilisé (Ω,F,P)telle que

8ω2Ω,Y(ω)0 etEP[Y]=1.Pour tout événementA2 F,δAdénote la fonction

indicatrice de l"événement:

A(ω)=1 siω2A

0 sinon.Pour tout événementA2 F, posons

Q (A)=EP[YδA].AlorsQest une mesure de probabilité sur(Ω,F).

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RéférencesThéorème de Radon-NikodymII

Démonstration. Nous devons véri...er que(P1)Q (Ω)=1,(P2)8A2 F,0Q(A)1,(P3)8A1,A2, ...2 Ftels queAi\Aj=∅sii6=j, QS i1Ai=∑i1Q(Ai).

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RéférencesThéorème de Radon-NikodymIII Véri...cation de(P1). Or, puisque pour toutω, Ω(ω)=1 et parce que nous avons supposé que E

P[Y]=1,

Q (Ω)=EP[YδΩ]=EP[Y]=1, ce qui établit la condition(P1).

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RéférencesThéorème de Radon-NikodymIV

Véri...cation de(P2).. La deuxième condition est tout aussi aisée à démontrer carYétant une variable aléatoire positive,YδAl"est aussi etQ(A)=EP[YδA]0.

D"autre part,

Q (A)=EP[YδA]

EP[YδΩ]

=EP[Y] =1.

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RéférencesThéorème de Radon-NikodymV

Véri...cation de(P3).. Comme nous l"avons établi au cours d"un exercice du premier chapitre,8A1,A2, ...2 F tels queAi\Aj=∅sii6=j, S i1Ai=∑ i1δ Ai.

Par conséquent,

Q i1A i! =EPh

YδS

i1Aii =EP" Y i1δ Ai# i1EP[YδAi] i1Q(Ai).

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RéférencesThéorème de Radon-NikodymVI

De...nition

Deux mesures de probabilitéPetQconstruites sur le même espace probabilisable (Ω,F)sont diteséquivalentessi elles ont le même ensemble d"événements impossibles, c"est-à-dire que P (A)=0,Q(A)=0,A2 F.

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RéférencesThéorème de Radon-NikodymVII Question. Étant donné deux mesures de probabilité équivalentesPetQ, existe-t-il une variable aléatoireYà valeurs non-négatives telle que Q que nous venons de démontrer.Dans ce dernier,YetPnous étaient données et nous avons construitQ.Dans ce cas-ci,PetQnous sont données et nous cherchonsY,ce qui est moins aisé.C"est l"existence de cette variable qui est établie dans le prochain théorème qui est une version du fameux théorème de Radon-Nikodym.

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RéférencesThéorème de Radon-NikodymVIII

Theorem

Théorème de Radon-Nikodym.Étant donné deux mesures de probabilité équivalentesPetQconstruites sur l"espace probabilisable (Ω,F), il existe une variable aléatoire Y à valeurs positives telle que Q (A)=EP[YδA]. Cette variable aléatoire Y est souvent notée dQdP.Ce théorème ne nous indique toujours pas comment trouver notre mesure neutre au risque. En fait, c"est le prochain résultat qui nous fournira la recette pour construire notre mesure et il fait intervenir la dérivée de

Radon-Nikodym.

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RéférencesThéorème de Radon-NikodymIX

Quelques ré‡exions sur le cas discret

Supposons queΩne contienne qu"un nombre ...ni

d"éléments. SoitY=βTXla valeur actualisée du droit contingent accessibleX. SiF0=fΩ,∅g, alors son prix au tempst=0 est E

Q[Y]=∑

ω2ΩY

(ω)Q(ω)

ω2ΩY

(ω)Q(ω)P (ω)P(ω) =EP YQPquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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