[PDF] Le lemme dItô Plan de la présentation Notation Le théor`eme

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Le lemme d'ItˆoLes m´ethodes stochastiques dans les sciences de la gestion6-640-93 Genevi`eve GauthierDerni`ere mise `a jour : 23 juin 2003

Plan de la pr´esentation•

Le th´eor`eme fondamental du calcul•

Le lemme d"Itˆo (versions de base)

Un exemple : le mod`eledemarch´e de Black et Scholes Les processus d"Itˆo et leur variation quadratique

Le lemme d"Itˆo (version unidimensionnelle)

Exemple : le rendement de d´

etention• Le lemme d"Itˆoetled´eveloppement en s´erie de Taylor

Le processus de covariance quadratique

La r`egle de multiplication

Exemple : la valeur actualis´e d"un actif risqu´e Les processus d"Itˆo(uneg´en´eralisation)•

Le lemme d"Itˆo (version multidimensionnelle)

Exemple : le taux de change

NotationSoit (Ω,F,{F

t tion et W={Wt un ({F t },P)-mouvement brownien standard.

Le th´eor`eme fondamental du calculLe lemme d"Itˆo est l"´equivalent stochastique du th´eor`eme fondamental du

calcul. Il nous permettra de d´eterminer l"´equation diff´erentielle stochas- tique satisfaite par certains processus stochastiques donn´es. Le th´eor`eme fondamental du calcul stipule que sidfdx

R→

R repr´esente la d´eriv´ee de la fonctionf: R R ,alors f(b)-f(a)= b a dfdx(x)dx.(2)Richard R. Goldberg, th´eor`eme 7.8A, page 205.Exemple. sif(x)=x 2 ,a=0etb=t,alors t 2 t 0

2xdx.(3)

Le th´eor`eme fondamental du calcul (suite)Est-ce que cette r`egle est encore valable dans le contexte du calcul sto-

chastique ? Est-ce que W 2t t 0 2W s dW s ?(4) Nous avons observ´e lors de la construction de l"int´egrale stochastique que les trajectoires du processus t0 W s dW s pouvaient ˆetre n´egatives `a certains instants : -1 ,4-1 ,2-1-0 ,8-0 ,6-0 ,4-0 ,200,20,40,6

0 0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 ,6 0 ,7 0 ,8 0 ,9 1

t

Rappel : est-ce que

W 2t t 0 2W s dW s ?(1) Or,lemembredegauchedel"´egalit´e(4)estn´ecessairement non-n´egatif alors que celui de droite peut prendre des valeurs n´egatives. Il y a contra- diction et nous concluons que l"´equation (4) est fausse. Le lemme d'ItˆoIl existe, dans le cadre du calcul stochastique, l"´equivalent du th´eor`eme fondamental du calcul qui fut ´etabli par K. Itˆo. Il faut noter qu"un terme s"ajoute. Lemme d"Itˆo(premi`ere version).SoitW, un mouvement brownien con- struit sur l"espace probabilis´efiltr´e(Ω,F, F ,P)etf: R R , une fonc- tion dont les deux premi`eres d´eriv´ees existent et sont continues. Alors f(W t )-f(W 0

P-p.s.

t 0 df dw(W s )dW s +1 2 t 0 d 2 f dw 2 (W s )ds.(5) Sous sa forme diff´erentielle, l"´equation (5) s"´ecrit df(W t )=df dw(W t )dW t +1 2d 2 f dw 2 (W t )dt.(6)

Le lemme d"Itˆo (suite)Par exemple, sif(x)=x

2 ,alors f(W t )=W 2t etf(W 0 )=W 20 =0 (7) et df dw(W s )=2W s etd 2 f dw 2 (W s )=2.(8) En rempla¸cant dans l"´equation d"Itˆo, nous obtenons W

2tP-p.s.

=2 t 0 W s dW s t 0 1ds=2 t 0 W s dW s +t(9) ce qui implique t 0 W s dW s =W 2t -t

2.(10)

Le lemme d"Itˆo (suite)La preuve donn´ee par K. Itˆo s"applique dans des situations beaucoup plus

complexes que celle ´enonc´ee ci-dessus. Voici une premi`ere g´en´eralisation : Lemme d"Itˆo (deuxi`eme version).SoitW, un mouvement brownien con- struit sur l"espace probabilis´efiltr´e(Ω,F, F ,P)etf: R

×[0,∞)→

R une fonction dont les d´eriv´ees partielles premi`eres et deuxi`emes existent et f(W t ,t)-f(W 0 ,0) = t 0 ∂f t(W s ,s)+1

2∂

2 f w 2 (W s ,s) ds(11) t 0 ∂fw(W s ,s)dW s (12) qui s"exprime dans sa forme diff´erentielle comme df(W t ,t)= ∂f t(W t ,t)+1

2∂

2 f w 2 (W t ,t) dt+∂f w(W t ,t)dW t .(13) Exemple :le mod`ele de march´e de Black et ScholesLe processus stochastiqueS={S t prix d"un titre risqu´eo`u S t =S 0 exp 2 2 t+σW t ,(14) μetσ´etant des constantes etWrepr´esente un mouvement brownien standard.

CommeW

t est de loiN(0,t), 2 2 t+σW t estdeloiN 2 2 t,σ 2 t (15) etS t est de loi lognormale.

Un interm`ede :

les moments d"une variable al´eatoire de loi lognormaleSiZrepr´esente une variable al´eatoire de loi normale centr´ee et r´eduite et

siaetbsont des constantes alors

E[exp[b+aZ]]=exp

b+a 2 2 ; (16) donc siS(0) est ind´ependante du mouvement brownien,

E[S(t)] =E[S(0)]E

exp 2 2 t+σW t (17) =E[S(0)]exp[μt] (18) E S 2 (t) =Equotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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