Cours de Mécanique Quantique Avec Exercices corrigés
Solution. Il faut qu'il y ait absorption totale du rayonnement pour que la loi décrivant l'intensité du rayonnement émis soit universelle.
Mécanique Quantique III
extenso les corrigés des exercices et probl`emes proposés `a la fin de chaque chapitre de l'ouvrage Mécanique Quantique tomes I et II.
Mécanique Quantique 1 —– CORRIGÉ Séance dexercices 1 : États
La première partie de ce document donne la correction détaillée de la séance d'exercice 1 sur les états liés du puits carré. La deuxième partie de ce document
Travaux Dirigés de Mécanique Quantique
Peut-on normer ces solutions ? 2/ Soit ?( r t) la fonction d'onde d'une particule de masse m placée dans un potentiel V ( r)
Mecanique quantique. Cours et exercices corriges
Cours et exercices corrigés. Mécanique quantique 1.4 Aperçu des postulats de la mécanique quantique ... Annexe B. Solutions des exercices et problèmes.
Mécanique quantique – Corrigé du TD 7
Mécanique quantique – Corrigé du TD 7. Antoine Bourget - Alain Comtet - Antoine Tilloy. 1 Molécule cyclique. 1. Il s'agit simplement d'imposer des
Travaux dirigés de mécanique quantique pour la chimie
Opérateurs en mécanique quantique. Exercices 1. et 2. Atome d'hydrog`ene. Tout sauf le complément. L'oscillateur harmonique - Énergie de vibration des
R e ecu en M eil d Méc de s cani sujet que ts d e Qu dexa uant ame
%20sujets%20d'examen%20&%20corrig%C3%A9s%20-%20R.%20Mezhoud.pdf
Tutorat de mécanique quantique
Il faut éviter que la séance de tutorat ne dérive vers une réécriture compl`ete au tableau d'une solution des exercices de la part de l'enseignant. La présence
Mécanique quantique II
6.3.2 Solution asymptotique et quantification des énergies . En mécanique quantique la fonction d'onde ?(r
Mecanique quantique Cours et exercices corriges - Dunod
mécanique quantique en basse dimension est tout à fait pertinente pour de nombreux développements modernes en physique atomique avec les progrès spectaculaires dans le domaine des atomes froids ou pour la matière condensée
Quels sont les principes de la mécanique quantique ?
Notions de mécanique quantique a. Les 3 principes de la mécanique quantique - union des théories classiques (Newton) et quantique à l’échelle macroscopique - tenir compte de la constante de Planck h(ou rationnalisée ?= h 2? ) et de la quantification énergétique des spectres des atomes - rendre compte de la dualité onde – corpuscule b.
Comment télécharger le cours de mécanique quantique ?
Tout en PDF/PPT, Tout est gratuit. NOTE: N’oubliez pas de voir le cours de Mécanique Quantique. Liens dans la section ci-dessous. Pour télécharger le cours complet de Mécanique Quantique, Cliquez sur le/les liens ci-dessous. NOTE: N’oubliez pas de voir les autres Unités d’enseignements (matières/modules) de Physique.
Qu'est-ce que les notes de cours de mécanique quantique?
Ces notes de cours sont inspirées du cours de L3 "Introduction à la Mécanique Quan- tique" dispensé par M. Claude abreF aux élèves de l'ENS de Cachan. Le but de ce cours est de fournir les bases de la mécanique quantique aux élèves ne l'ayant encore jamais abordée auparaanvt.
Quel est le but du cours de mécanique quantique?
Le but de ce cours est de fournir les bases de la mécanique quantique aux élèves ne l'ayant encore jamais abordée auparaanvt. On utilisera les notations suivantes : h= 6;62 1034Js: constante de Planck ~ =h 2?
Mécanique Quantique 1 -- CORRIGÉ
La première partie de ce document donne la correction détaillée de la séance d"exercice 1 sur les
états liés du puits carré. La deuxième partie de ce document propose un exercice similaire mais sur
l"oscillateur harmonique. Ceci n"a pas été vu en classe, mais est lié à la matière du cours.
Séance d"exercices 1: États liés du puits carré.PUITS CARRÉ INFINI EN 1 DIMENSION
Exercice a
Notez d"abord que le puits étant infini, il n"admet que des états liés!À l"extérieur du puits, le potentiel étant infini, la fonction d"onde est nulle. Comme la fonction d"onde
doit être continue, on en déduit les conditions limites de la fonction d"onde à l"intérieur du puits :
(0) = (L) = 0 indépendante du temps, en une dimension, qui est donnée par : ~22m@ 2@x2+V(x)
(x) =E (x) Comme le potentiel est nul, cela devient simplement ~22m@ 2@x2 (x) =E (x)
ou encore, en posantk=p2mE=~, @2@x2 (x) =k2 (x):
La solution de cette équation différentielle est donnée par des sinus et cosinus. Ainsi, de façon générale,
la solution est (x) =Asin(kx) +Bcos(kx): En utilisant les conditions limites mentionnées précédemment, on trouve (0) = 0)B= 0 (L) = 0)Asin(kL) = 0)kL=n oùnest un entier positif. Ainsi, (x) =Asin nxL 1 Pour trouver la valeur deAil reste à normaliser la fonction : Z L 0 j (x)j2dx=A2ZL 0 sin nxL dx =A2LZ 1 0 sin2(ny)dyoù on a poséy=x=L =A2LZ 101cos(2ny)2
dy =A2Ly2 sin(2ny)4n 1 0 =A2L2 Puisque la norme de la fonction d"onde vaut1on trouve queA=p2=Let donc n(x) =8 :q2 L sin n xL si0xL0sinon
Notez quenreprésente ici le nombre quantique.
Exercice b
Puisque, de l"exercice précédent on tire quek=p2mE=~etkL=n, on en déduit facilement que les énergies propres du puits infini sont E n=k2~22m=n22~22mL2 . Puisquenest entier, on comprend ici que l"énergie est quantifiée.Remarquez que si le puits carré est de profondeur finieV0, on a une solution (x)non nulle à l"extérieur
du puits, comme on le verra à l"exercice 3. Dans ce cas là, il y aura également un nombre fini d"états
liés.PUITS CARRÉ INFINI EN 3 DIMENSIONS
Exercice a
~22m @2@x2+ +@2@y
2+@2@z
2 +V(3)(x;y;z) (x;y;z) =E (x;y;z) En supposant que la solution a la forme (x;y;z) = 1(x) 2(y) 3(z), on trouve2(y) 3(z)
~22m@2 1(x)@x
2+V1(x) 1(x)
+ 1(x) 3(z) ~22m@2 2(y)@y
2+V2(y) 2(y)
+ 1(x) 2(y) ~22m@2 3(z)@z
2+V3(z) 3(z)
= 2(y) 3(z)(E1 1(x)) + 1(x) 3(z)(E2 2(y)) + 1(x) 2(y)(E3 3(z)) 2où on a posé queE=E1+E2+E3. On a donc 3 fois un problème unidimensionnel qui se ramène en
fait au cas étudié à l"exercice1:~22m@ 2@x2i+Vi(xi)
i(xi) =Ei i(xi) pour i=1,2,3. La solution générale dépend alors de trois nombres quantiquesn1,n2etn3: n1;n2;n3(x;y;z) =r8 L1L2L3sin
n 1xL 1 sin n 2xL 2 sin n 3xL 3Exercice b
En se basant également sur le résultat de l"exercice1, on trouve que les énergies liées sont :
E n1;n2;n3=2~22m n21L21+n22L
22+n23L
23Remarquez que dans ce cas-là, certaines dégénérescences sont possibles.
Exercice c
Ici, on cherche à calculer le nombre d"états quantiqueN(E0)dans la boîte dont l"énergie est inférieure
à une certaine valeurE0. On cherche doncN(E0)tel que n 21L21+n22L
22+n23L
232mE0
2~2On remarque que c"est comme calculer le nombre d"états à l"intérieur d"une sphère de rayon
R=p2mE0~
en sachant que la densité de points estL1L2L3(l"unité de longueur de la coordonnéeiestni=Li).
On approxime le résultat en oubliant que lesnisont entiers et donc il suffit de calculer le volume de
la sphère multiplié par sa densité. Par contre, il ne faut pas oublier que lesnine peuvent être que
positifs et donc on ne prend qu"un huitième du volume de la sphère. :N(E0)18
volumedensité 18 43(2mE0)3=2
3~3L1L2L3
43p30L1L2L3h 3
où à la dernière ligne on a posé que~=h2etp0=p2mE0.p0représente l"impulsion d"une particule
de massemdont l"énergie cinétique estE0.Ainsi, on remarque dans la dernière équation queL1L2L3représente le volume dans l"espace des
positions alors que4p30=3représente le volume dans l"espace des impulsions.Dans une volume arbitraire de l"espace des phases, le nombre d"états quantiques indépendants est en
fait donné parNxyzpxpypzh
3 C"est comme si chaque état se trouvait dans une petit boîte de côtéh.Lorsqu"il s"agit de fermions, cela revient simplement à compter le nombre de particules dans la boîte
jusqu"à une certaine énergie, puisqu"il n"y a qu"une seule particule par niveau (on ne peut pas mettre
plus d"un fermion par petite boîte). Notez également que l"on ne connaît par précisémentxetpà
l"intérieur de la petite boîte. 3PUITS CARRÉ FINI EN 3 DIMENSIONS
Exercice a
H =E ,
~22mr2+V(r) (r) =E (r) où le laplacien en coordonnées sphérique est r 2=1r 2@@r r2@@r +1r 21sin@@
sin@@ +1sin 2@ 2@ 2! ~22mr2@@r r2@@r ~22mr21sin@@
sin@@ +1sin 2@ 2@ 2! +V(r)# (r;;) =E (r;;) En multipliant l"équation par2mr2, on peut rendre l"équation séparable : ~2@@r r2@@r ~21sin@@
sin@@ +1sin 2@ 2@ 2! + 2mr2V(r)# (r;;) = 2mr2E (r;;) ou encore ~2@@r r2@@r + 2mr2V(r)E# |{z} partie radiale (r;;) =~21sin@@
sin@@ +1sin 2@ 2@ 2! |{z} partie angulaire (r;;)Exercice b
[energie] =[p2][2m]=[(~=longueur)2][2m]=~22ma2 où on utilise le fait quexp~pour trouver que l"unité depest celle de~=longueur. Notez qu"on veut rendrerégalement sans dimension. Pour ceci on définit une variabler0=r=aqui est sans dimension. Alors, @@r0=a@@r
et@@r0r02@@r
0=@@r r2@@r ~2@@r 0 r 02@@r 0 +2ma2r02V(r0)E# (r0;;) =~21sin@@
sin@@ +1sin 2@ 2@ 2! (r0;;) ou encore (en renommant r"=r) @@r r2@@r +2ma2~ 2 r2V(r)E#
|{z} partie radiale (r;;) =1sin@@
sin@@ +1sin 2@ 2@ 2! |{z} partie angulaire (r;;) @@r r2@@r +r2V(r)E# |{z} partie radiale (r;;) =1sin@@
sin@@ +1sin 2@ 2@ 2! |{z} partie angulaire (r;;) 4Exercice c
Posons (r;;) =r1ul(r)Yml(
@@r r2@@r +r2V(r)E# r1ul(r)Yml(
1sin@@
sin@@ +1sin 2@ 2@ 2! r1ul(r)Yml(
ou encore ru l(r)" @@r r2@@r +r2V(r)E# r1ul(r) =1Y
ml(1sin@@
sin@@ +1sin 2@ 2@ 2! Y ml( On remarque que la partie gauche de l"équation ne dépend que deralors que la dépendance dela partie droite de l"équation est uniquement angulaire. Cela signifie donc que chacun des côté de
l"équation est égal à une constante. On choisi cette constante comme étantl(l+ 1). Bien sûr, ce
choix n"est pas arbitraire. Il vient du fait que l"équation1sin@@
sin@@ +1sin 2@ 2@ 2! Y ml( ) =l(l+ 1)Yml( où1sin@@
sin@@ +1sin 2@ 2@ 2! =L2 est bien connue et ses solutions sont les harmoniques sphériquesYlmoùlest le nombre quantiqueazimutal etmle nombre quantique magnétique. Rappelez-vous qu"il y a une solution différente pour
chaque valeur demetl. Revenons maintenant à l"équation radiale qui devient ru l(r)" @@r r2@@r +r2V(r)E# r1ul(r) =l(l+ 1)
@@r r2@@r u l(r)r +r2V(r)Eul(r)r =ul(r)r l(l+ 1) @@r r@@r ul(r)ul(r) +r2V(r)Eul(r)r =ul(r)r l(l+ 1) r@2@r2ul(r) +rV(r)Eul(r) =ul(r)r
l(l+ 1) @2@r2+l(l+ 1)r
2+V(r)!
u l(r) =E ul(r) Pour l"ondes, on al= 0et donc l"équation se simplifie en @2@r2+V(r)!
u0(r) =E u0(r)
ou encore u000(r)V0u0(r) =Eu0(r)r <1 u000(r) =Eu0(r)r >1 5Exercice d
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