[PDF] Mécanique quantique – Corrigé du TD 7

View - Download Mécanique quantique – Corrigé du TD 7

Previous PDF

Next PDF

Mecanique quantique { Corrige du TD 7

Antoine Bourget - Alain Comtet - Antoine Tilloy

1 Molecule cyclique

1. Il s'agit simplement d'imposer des conditions aux limites adaptees a la cyclicite de la molecule.

Le groupeZ=NZest l'ensemble adapte pour decrire de telles conditions (on dit d'ailleurs que c'est le groupe cyclique d'ordreN).

2.Aa la dimension d'une energie. La forme matricielle de^West

W=0 B

BBBBB@0A0:::0A

A0A :::0 0

0A0:::0 0

0 0A :::0 0

0 0 0:::0A

A0 0::: A01

C

CCCCCA

3. Pour toutn2Z=NZ, on a^Rjni=jn+1i, et donc on peut ecrire dans la basefjnig:

R=0 B

BBBBB@0 0 0:::0 1

1 0 0:::0 0

0 1 0:::0 0

0 0 1:::0 0

0 0 0:::0 0

0 0 0:::1 01

C

CCCCCA

4. On verie sans peine que

^R1=^Ry, par exemple en utilisant la forme matricielle ci-dessus. Cela implique que^Rest unitaire, il est donc diagonalisable dans une base orthonormee1, et ses valeurs propres sont des complexes de module 1.

5. On a

^RN= 1, donc les valeurs propres de^Rsont des racinesN-iemes de l'unite. Posons k=e2ik=N. La diagonalisation donc^Rjki=e2ik=Njkiavec jki=1pN X p2Z=NZe

2ikp=Njpi:(1)

On verie aisement que ces vecteurs forment une base orthonormee.

6. Verier la commutation n'est qu'une aaire de calcul. Comme

^Rcommute egalement avec l'identite, il commute avec le hamiltonien. On peut donc diagonaliser ce dernier dans une base composee de vecteurs propres de^R.

7. On peut ecrire

^W=A(^R+^R1), et on a^R1jki=e2ik=Njki. On en deduit que dans la basefjkig,^West deja diagonale, et^Wjki=2Acos(2k=N)jkipourk2Z=NZ. Par suite, on peut poserj ki=jki, et on en deduit immediatement que les niveaux d'energie valent E k=H02Acos(2k=N). La degenerescence depend de la parite deN: dans tous les cas, le niveau fondamentalE0=H02An'est pas degenere; dans le cas ouNest impair, lesN1 autres niveaux ont tous une degenerescence double,Ek=ENk. LorsqueNest pair, le niveau d'energie maximaleEN=2=H0+ 2An'est pas degenere, et lesN2 autres niveaux ont une

degenerescence double.1. Rappelons que le theoreme spectral s'applique pour tous les operateurs normaux, c'est-a-dire qui commutent avec

leur adjoint.

8. On a

E

0=H02ANon degenere

E

1=E7=H0Ap2 Degenerescence double

E

2=E6=H0Degenerescence double

E

3=E5=H0+Ap2 Degenerescence double

E

4=H0+ 2ANon degenere

9. Supposons qu'at= 0 l'electron est localise sur l'atomen= 0. En inversant la relation (1), il

est donc dans l'etat j0i=1pN X k2Z=NZj ki: L'equation de Schrodinger donne alors, sij(t= 0)i=j0i, j(t)i=1pN X k2Z=NZexp iEkt~ j ki: A l'instantt, la probabilite de trouver l'electron localise sur l'atomen= 0 s'obtient en projetant le vecteurj(t)isur l'etat propre de l'operateur position correspondant, c'est-a-direj0i, et en prenant le module au carre, ou de facon equivalente, en calculant la valeur moyenne du projecteurj0ih0j: p(t) =h(t)j0ih0j(t)i=jh0j(t)ij2 On utilisehpj ki=e2ikp=N=pN, ce qui donneh0j ki= 1=pN, et donc p(t) = 1N X k2Z=NZexp iEkt~ 2

Dans le casN= 8 qui nous interesse, on obtient

p(t) =18 eiH0t~ ei2At~ + 2eip2At~ + 2 + 2eip2At~ +ei2At~ 2 et donc p(t) = 14 cos 2At~ + 2cosp2At~ + 1! 2 On trouve bienp(t= 0) = 1. La fonctiont7!p(t) n'est pas periodique car s'il existait un instant ulterieurt0tel quep(t0) = 1, on devrait avoir2At0~ = 2metp2At0~ = 2m0avecmet m

0des entiers. Mais cela impliquerait quep2 est rationnel, ce qui est faux. Neanmoins, si l'on

attend assez longtemps, on peut montrer que le systeme revient arbitrairement pres de son etat initial (ceci correspond aux approximations rationnelles dep2).

2 Molecule lineaire innie

2.1 La limiteN!+1de la molecule cyclique

1. Les valeurs propres trouvees dans la partie precedente sontEk=H02Acos(2k=N) pour

k= 0;1;:::;N1. LorsqueNtend vers l'inni, le spectre devient continu et egal a l'intervalle [H02A;H0+ 2A].

2.2 Theoreme de Bloch

2. On considere maintenant que l'electron peut se trouver en n'importe quelle positionx2R, et

non plus seulement en des emplacements discrets. Cependant, il est du point de vue energetique plus favorable pour l'electron de se trouver a proximite d'un noyau atomique; les noyaux sont separes par une distanced. On choisit donc un potentiel periodique, de perioded. L'espace de

Hilbert estL2(R).

3. L'equation aux valeurs propres est simplement l'equation de Schrodinger stationnaire :

~22m@ 2@x

2 (x) +V(x) (x) =E (x)

4. Je vais traiter cette question avec force details an de bien insister sur le formalisme; on pourrait

bien s^ur en omettre une grande partie. Posonsji=jxietj0i=^Tvji. Alorsjiavec le formalisme des fonctions d'onde, (y) =hyji=(xy). Mais alors 0(y) =h^Tvi (y) = (yv) =((x+v)y). On trouve donc par identication quej0i=jx+vi. On a donc

Tvjxi=jx+vi;

a comparer avec la denition h^Tv i (x) = (xv):

On peut maintenant aisement calculer l'adjoint :

hyj^Tvjxi=hyjx+vi=(yxv) =hyvjxi donchyj^Tv=hyvj, d'ou^Tyvjyi=jyvi. On peut egalement en deduire l'action sur les fonctions d'onde,h^Tyv i (x) = (x+v):

On a donc clairement

^Tyv=^T1v, par consequent^Tvest bien unitaire.

5. Choisissons un reelvinnitesimal. Dans ce cas on peut ecrire^Tv1iv^Q. Par consequent on

a : (1iv^Q) (x) = (xv) = (x)v@@x (x) et en simpliant,

Q (x) =i@@x

(x): On peut egalement traiter ce calcul en ne supposant pasvinnitesimal, et en ecrivant le developpement complet de l'exponentielle, d'une part, et le developpement de Taylor de d'autre part.

6. Nous allons exploiter l'invariance par translation globale par un multiple entier de la periode

du potentield. L'operateur realisant ces translations est^Td(et ses puissances). La periodicite du potentiel s'ecrit alors simplement [^H;^Td] = 0. 7. ^Het^Tdsont respectivement hermitien et unitaire, et ils commutent. On peut donc les diago- naliser dans une m^eme base orthonormee. 8. ^Tdest unitaire, donc ses valeurs propres sont de module 1. On peut donc les ecrire sous la forme q= exp(iqd) avecq2[=d;=d[.

9. Soitq= exp(iqd) la valeur propre de associee a^Td. Posons alorsu(x) = (x)eiqx. On a

u(x+d) = (x+d)eiqxiqd=h^Td i (x)eiqdeiqx= (x)eiqdeiqdeiqx=u(x): La fonctionuest bien periodique de perioded, d'ou le theoreme.

10. Il sut d'ecrire l'equation de Schrodinger :

~22m@ 2@x

2(eiqxu(x)) +V(x)eiqxu(x) =Eeiqxu(x)

~22mq2eiqxu(x) + 2iqeiqxu0(x) +eiqxu00(x)+V(x)eiqxu(x) =Eeiqxu(x) q2u(x) + 2iqu0(x) +u00(x)2m~

2(V(x)E)u(x) = 0

u

00(x) + 2iqu0(x)2m~

2(V(x)E) +q2

u(x) = 0

11. L'equation obtenue est une equation aux valeurs propres pour un operateur dierentiel sur un

domaine compact (a cause de la periodicite deu), dont on peut demontrer qu'il possede un spectre discret. On peut donc, aqdonne, noterfEn(q)gles niveaux d'energie, pourn2N. Lorsqueqvarie dans l'intervalle [=d;=d[, ce spectre evolue de facon continue. On obtient donc des bandes d'energie permises. Les bandes qui ne sont pas permises sont interdites. XXX a completer XXX

12. Dans ce cas toutes les impulsionsqne sont pas permises, il y a une quantication a prendre

en compte. La structure de bande n'a donc plus vraiment de sens strictement, puisqu'on ne peut plus faire varierqcontin^ument. Mais dans le cas de cristaux ou de metaux de taille macroscopique, les niveaux sont si rapproches (par rapport, par exemple, a l'energie thermique d'un electron) que tout se passe comme si le spectre etait eectivement compose de bandes separees par des gaps. XXX completer XXX

2.3 Potentiel

1. On peut noter pour commencer quea la dimension de l'inverse d'une longueur. La fonction

d'onde est continue partout. Sa derivee est discontinue en chaquex2dZ, ou on a 0(x+)

0(x) = (x) (voir le calcul fait dans un TD precedent).

2. Onecrit (x) =Aeikx+Beikxpourx2[d;0] et (x) = (xd+d) =eiqdAeik(xd)+Beik(xd)

pourx2[0;d]. Les conditions de continuite et de derivabilite s'ecrivent alors (A+B) =eiqdik(AeikdBeikd)ik(AB) (2)

A+B=eiqd(Aeikd+Beikd) (3)

3. On peut mettre ceci sous la forme d'un systeme lineaire de la forme d'un systeme lineaire

M A B = 0: Ce systeme admet des solutions non nulles uniquement si le determinant de la matriceMest nul, ce qui donne apres quelques manipulations algebriques l'equation recherchee. Notons que ce raisonnement est general, c'est-a-dire qu'il n'est pas limite au cas du potentiel: voir le TD 8. Il est interessant de s'arr^eter un instant pour se rendre compte de ce a quoi nous avons abouti, de comment nous y sommes parvenus, et faire le parralele avec la premiere partie de ce probleme. Au debut, le Hamiltonien est un operateur agissant dans un espace de dimension innie, ce qui est dicile a diagonaliser. En utilisant la symetrie (c'est-a-dire l'invariance par translation par un multiple de la periodicite spatiale), nous avons pu exprimer le Hamiltonien sous forme d'une matrice diagonale par blocs. Chaque bloc est de dimension 2 (il y a deux valeurs possibles dekaqxe).

4. L'equation cosqd= coskd+2ksinkdpermet de trouver la structure de bande de facon explicite,

a defaut d'analytique. An de manipuler des grandeurs adimensionnees, posonsx=qd(qui represente l'impulsion, c'est-a-dire la transformation de la fonction d'onde sous l'eet d'une translation) ety=kd(qui represente l'energie) : ainsi, cosx= cosy+d2ysiny. Commencons pour xer les idees par tracer le membre de droite, par exemple pour d2 = 1. Pour certaines 2 3 2 2 5 2 3 7 2 4 3 2 1 1 2 3 2 3 2 2 5 2 3 7 2 4 3 2 1 1 2 3

4Figure1 { En noir le membre de droite de l'equation, en pointilles les valeurs 1 et -1, et en rouge,x.

En abscisseyvarie de 0 a 4. On a pris, dans la gure du haut,d2y= 2 et dans celle du basd2y= 20 valeurs dey, on voit que l'equation ne peut pas admettre de solution : ce sont des bandes d'energie interdites.quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

[PDF] examen corrige de mecanique quantique s5

[PDF] examen pharmacologie générale

[PDF] exercices corrigés de pharmacologie générale

[PDF] qcm pharmacologie generale corrigé

[PDF] exercice pharmacologie infirmier

[PDF] qcm pharmacologie speciale pdf

[PDF] exercices corrigés de pharmacologie générale pdf

[PDF] exercice+pharmacocinétique+correction

[PDF] exercice corrigé estimateur sans biais

[PDF] exercice corrigé analyse de trame ethernet

[PDF] exercice analyse de trame ethernet

[PDF] exercices corrigés fragmentation datagramme ip

[PDF] analyse d'une trame ethernet

[PDF] modèle entité association gestion bibliothèque

[PDF] exercice corrigé base de données modele relationnel