[PDF] Tutorat de mécanique quantique

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Universite Claude Bernard-Lyon I Ecole Normale Superieure de Lyon UFR de Physique Departement des Sciences de la Matiere

Licence de Physique, Parcours Sciences de la

Matiere, Annee 2010-2011

Tutorats de Mecanique Quantique

FASCICULE

2

Fonctionnement des tutorats

Les groupes de tutorats sont constitues au debut du semestre. Les etudiants ne doivent en aucun cas naviguer d'un groupe de tutorat a un autre. Les seances durent une heure avec 7 eleves environ (un groupe) et non deux heures avec 14 eleves. Chaque groupe rencontre donc l'enseignant pendant une heure chaque semaine. Le travail a eectuer est donne en cours. Chaque etudiant doit preparer les exercices, puis le groupe doit se reunir une fois avant la seance de tutorat pour discuter et resoudre le maximum de problemes entre etudiants. La seance de tutorat doit ^etre consacree a discuter les problemes lies au cours ou aux exercices. Il faut eviter que la seance de tutorat ne derive vers une reecriture complete au tableau d'une solution des exercices de la part de l'enseignant. La presence en tutorat est obligatoire. A chaque seance, l'ensei- gnant doit verier la presence de tous les etudiants et conserver une information sur l'implication de chacun dans la preparation et le deroulement du tutorat. L'enseignant de tutorat est responsable du suivi et ne doit pas hesiter a " donner l'alerte " pour les eleves en diculte, ou bien en cas d'absences non justiees. Les enseignants de tutorat doivent conserver les informations, seance par seance, pour la discussion en jury en n d'annee.

Table des matieres

1 Introduction, ordres de grandeur et eets quantiques

5

Selection d'exercices tiree des examens

5 Temperature caracteristique d'un oscillateur harmonique 5

Inegalite d'Heisenberg (1926)

6

Eet photoelectrique

7

Energie et longueur d'onde de de Broglie

7

Modele de Bohr (1913)

8

Accelerateur de particules

8

Diraction d'un faisceau de neutrons

8

2 Ondes de Matiere

10

Selection d'exercices tiree des examens

10

Dispersion, propagation

10

Deplacement d'un paquet d'ondes

11

Eet tunnel

13 Radioactivite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Le deuton

17

Particule libre dans une boite cubique

17

Potentiel en fonctiondelta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 Etats quantiques d'une particule soumise au champ de pesanteur terrestre. . . 19

L'horloge a ammoniac

21

Operateurs de translation et de rotation

23

Evolution d'une particule dans une bo^te

23

3 Formalisme general

25

Selection d'exercices tiree des examens

25

Exercice I a VI : Algebre

25

Exercice VII et VIII : ECOC

26

Molecule de benzene

27

Proprietes d'un operateur unitaire

28

Theoreme du viriel

29

Formule de Glauber

30

Theoreme de Ehrenfest

30
3

TABLE DES MATI

ERES 4Theoreme de Hellmann-Feynman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Operateur d'evolution

31

Oscillateur harmonique

32 Etats quasi-classiques de l'oscillateur harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Etats stationnaires d'un electron conne dans l'espace. 35

4 Moments cinetiques

38

Selection d'exercices tiree des examens

38

Resonance magnetique

38
Resonance magnetique nucleaire de deux protons en interaction dipolaire statique 39

Polarisation, Projecteur et Non-commutation

42

Structure hyperne

43

5 Perturbations et methodes d'approximation

46

Selection d'exercices tiree des examens

46
Methode des variations appliquee a l'oscillateur harmonique 46

6 Particules identiques

48

Selection d'exercices tiree des examens

48
Exercices I a III : Exercices du Basdevant et Dalibard 48

Densite d'etats

48

7 Contr^oles continus

50

7.1 Contr^ole continu de novembre 2003

51

7.2 Contr^ole continu de novembre 2004

53

7.3 Contr^ole continu de novembre 2005

54

7.4 Contr^ole continu de novembre 2006

56

7.5 Contr^ole continu de novembre 2007

58

7.6 Contr^ole continu de novembre 2008

61

7.7 Contr^ole continu de novembre 2009

63

8 Examens

68

8.1 Examen de janvier 2004

70

8.2 Examen de janvier 2005

72

8.3 Examen de mai 2005

74

8.4 Examen de janvier 2006

76

8.5 Examen de janvier 2007

78

8.6 Examen de janvier 2008

80

8.7 Examen de janvier 2009

83

8.8 Examen de janvier 2010

87

Chapitre 1

Introduction, ordres de grandeur et

eets quantiques Liste des exercicesSelection d'exercices tiree des examens. . . . . . . . . . . . . . . . 5 Temperature caracteristique d'un oscillateur harmonique 5

Inegalite d'Heisenberg (1926)

6

Eet photoelectrique

7

Energie et longueur d'onde de de Broglie

7

Modele de Bohr (1913)

8

Accelerateur de particules

8

Diraction d'un faisceau de neutrons

8 Selection d'exercices tiree des examens

Contr^ole continu de novembre 2003 (7.1) : Recul d'un atome lors de l'emission d'un photon

Contr^ole continu de novembre 2004 (7.2) :

?Longueur d'onde de de Broglie ?Hypothese de Bohr appliquee a un potentiel enrk

Contr^ole continu de novembre 2005 (7.3) :

?Eet photoelectrique sur les metaux ?Neutrons monocinetiques Examen de janvier 2005 (8.2) : Eet de volume du noyau sur l'etat fondamental d'un ion hydrogenode

Exercice I :

T emperaturecaract eristiqued'un oscillateur harmonique. Nous verrons plus tard dans le cours que l'energie d'un oscillateur harmonique quan- tique ne peut prendre que des valeurs discretes : =~!(n+ 1=2); n= 0;1;2;:::::::;(1.1) 5 CHAPITRE 1. INTRODUCTION, ORDRES DE GRANDEUR ET EFFETS QUANTIQUES 6ou!est la frequence caracteristique de l'oscillateur et~=h=2est la constante de Planck. Nous verrons egalement que la valeur moyenne,< n(T)>, pour un oscillateur en contact avec un reservoir a temperatureTest < n >=1exp(~!)1; = 1=kBT:(1.2) a)Developper une expression pour l'energie moyenne de l'oscillateur,< >. Tracer < (T)>. Montrer que< (T)>ne suit plus la loi classique,< >=kBTpour

T.~!=kB.

b)Wien, en 1896, a remarque que pour une temperatureTdonnee, la densite spec- trale d'energie d'un corps noir,u(!;T), passe par un maximum. Ce maximum est obtenu pour une valeur de pulsation!maxqui suit une loi universelle : ~!max=kBT= const:3 (1.3) Expliquer qualitativement cette observation en termes d'oscillateurs quantiques (on admettra que les modes d'oscillation d'une cavite sont de la forme=~!n). En tenant compte du fait que la temperature du soleil est de l'ordre de 6000 K, expliquer pourquoi nos yeux sont sensibles a sa lumiere.

Exercice II :

In egalited 'Heisenberg(1926).

L'inegaliter:p>~=2 est un outil tres puissant pour calculer des ordres de grandeur et comprendre certains phenomenes purement quantiques. A part pour le premier exercice, on considerera toujours une particule de position et d'impulsion en moyenne nulles, ce qui veut dire que l'incertituder(resp.p) est du m^eme ordre de grandeur que la position caracteristiquer(resp.p), soitr:p&~. Nous utiliserons les valeurs suivantes des constantes :me= 9:11 1031kg,mp= 1:67 1027kg,q= 1:60 1019C,

0= 8:85 1012F/m et~= 1:05 1034J.s

a)Justier en une phrase pourquoi la recherche de l'inniment petit requiert des energies de plus en plus grandes (et donc de plus en plus d'argent!). Le LHC (Large Hadron Collider) construit au CERN pourra produire des jets de protons jusqu'a une energie de 14 TeV (10

12eV); jusqu'a quelle echelle pourra-t'on descendre?

Rappel : relation entre l'energieEet l'impulsionppour une particule relativiste de massem:E2=m2c4+p2c2. b)Parce que c'est generalement une bonne approximation physique (et aussi pour des raisons de simplicite mathematique!), on suppose souvent qu'un systeme de masse moscillant autour d'une certaine position moyenne subit un potentiel exterieur pa- rabolique 12 m!20r2, comme un oscillateur harmonique. En deduire que l'energietotale d'une particule subissant un tel potentiel ne peut pas s'annuler. CHAPITRE 1. INTRODUCTION, ORDRES DE GRANDEUR ET EFFETS QUANTIQUES 7c)Une des plus etonnantes consequences de ces inegalites est la stabilite de la matiere; en eet, l'un des problemes du debut duXXsiecle etait qu'un electron en rotation autour de son noyau (image classique de l'epoque) devait perdre de l'energie par rayonnement (Bremsstrahlung) et donc s'ecrouler tres rapidement sur celui-ci.

En considerant l'energie totale de l'electron

E=p22meq240r(1.4)

en deduire son energie minimum, ainsi que la position et la vitesse correspondantes, puis faites l'application numerique dans le cas de l'atome d'hydrogene : est-ce-que ca vous rappelle quelque chose (mettre l'energie en eV et la position en pm ou Asi ca peut vous aider)? L'electron est-il relativiste ou non? Et pour nir, d'ou vient la stabilite de la matiere?

Exercice III :

Eet photo electrique.

L'energie maximale des electrons ejectes d'une photocathode par une radiation de longueur d'onde= 253.7 nm (respectivement 589.0 nm) est 3:14eV (respectivement

0:36eV).

En deduire :

1) La valeur de la constante de Planck.

2) L'energie minimale d'extraction des electrons.

3) La longueur d'onde maximale produisant un eet photoelectrique sur cette pho-

tocathode.

Exercice IV :

Energie et longueur d'onde de de Broglie.

L'energie cinetique moyenne d'une particule d'un gaz sans interaction est : E=32 kbT Calculer la longueur d'onde dede Broglie pour une particule (non relativiste, de massem) d'un tel gaz a temperatureT. Pour estimer la distance moyenne entre deux particules voisines, on supposera qu'elles sont disposees sur un reseau cubique. Exprimer cette distance en fonction de volume Vet du nombre de particulesN. On considere que les eets quantiques sont signica- tifs sid:Determiner la gamme de temperature correspondante pour les gaz suivants : 1) H eliumIV liquide (masse v olumique0 :125103kg=m3). 2) G azd' electronslibres dans un m etal(N/V 1030m3). CHAPITRE 1. INTRODUCTION, ORDRES DE GRANDEUR ET EFFETS QUANTIQUES 83)G azd' electronslibres dans un semi-conducteur (N/V 1021m3).

Exercice V :

Mo delede Bohr (1913).

1) C alculerles niv eauxd' energiede l'h ydrogeneet la distance electron-protoncor- respondante, en supposant que l'electron se deplace sur une orbite circulaire dont la longueur est un multiple de la longueur d'onde dede Broglie(verier que cette condition respecte l'inegalite d'Heisenberg). 2) La di erenceen tredeux niv eauxd' energiecorresp ond al' energiedes photons absorbes par l'hydrogene. En deduire la formule generale du spectre atomique de l'hydrogene,i.e.les valeurs possibles des frequences qu'il absorbe. On l'appelle formule de Rydberg-Ritz, decouverte experimentalement en 1908, donc avant la naissance de la mecanique quantique.

Exercice VI :

Acc elerateurde par ticules.

Un accelerateur de particules produit un faisceau d'electron d'energie egale a 1 GeV. Quelle est la longueur d'onde dede Broglieassociee a ces electrons. En deduire la branche de physique pour laquelle est destine cet accelerateur. Rappel : relation entre l'energieEet l'impulsionppour une particule relativiste de massem:E2=m2c4+p2c2.

Exercice VII :

Diraction d'un faisceau de neu trons.

On envoie un jet de neutrons monocinetiques, d'energieE, sur une cha^ne lineaire de noyaux atomiques disposes regulierement comme le montre la gure ci-apres. On designe parLla distance entre deux noyaux consecutifs et pardleur taille (dL). On dispose au loin un detecteur de neutrons D dans une direction faisant un angle

avec la direction des neutrons incidents.1) Decrire qualitativement les phenomenes observes sur D lorsqu'on fait varier l'energie

Edes neutrons incidents.

2) Le taux de comptage presente, en fonction deE, un maximum autour deE=E1.

Sachant qu'il n'y a pas d'autre maximum pourE < E1, montrer que l'on peut en CHAPITRE 1. INTRODUCTION, ORDRES DE GRANDEUR ET EFFETS QUANTIQUES 9deduire une determination deL. CalculerLavec= 30;E1= 1:3 1020J. 3) A partir de quelles valeurs deEfaudrait-il tenir compte de la dimension nied des noyaux?

Chapitre 2

Ondes de Matiere

Liste des exercicesSelection d'exercices tiree des examens. . . . . . . . . . . . . . . . 10

Dispersion, propagation

10

Deplacement d'un paquet d'ondes

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