Cours de Mécanique Quantique Avec Exercices corrigés
Solution. Il faut qu'il y ait absorption totale du rayonnement pour que la loi décrivant l'intensité du rayonnement émis soit universelle.
Mécanique Quantique III
extenso les corrigés des exercices et probl`emes proposés `a la fin de chaque chapitre de l'ouvrage Mécanique Quantique tomes I et II.
Mécanique Quantique 1 —– CORRIGÉ Séance dexercices 1 : États
La première partie de ce document donne la correction détaillée de la séance d'exercice 1 sur les états liés du puits carré. La deuxième partie de ce document
Travaux Dirigés de Mécanique Quantique
Peut-on normer ces solutions ? 2/ Soit ?( r t) la fonction d'onde d'une particule de masse m placée dans un potentiel V ( r)
Mecanique quantique. Cours et exercices corriges
Cours et exercices corrigés. Mécanique quantique 1.4 Aperçu des postulats de la mécanique quantique ... Annexe B. Solutions des exercices et problèmes.
Mécanique quantique – Corrigé du TD 7
Mécanique quantique – Corrigé du TD 7. Antoine Bourget - Alain Comtet - Antoine Tilloy. 1 Molécule cyclique. 1. Il s'agit simplement d'imposer des
Travaux dirigés de mécanique quantique pour la chimie
Opérateurs en mécanique quantique. Exercices 1. et 2. Atome d'hydrog`ene. Tout sauf le complément. L'oscillateur harmonique - Énergie de vibration des
R e ecu en M eil d Méc de s cani sujet que ts d e Qu dexa uant ame
%20sujets%20d'examen%20&%20corrig%C3%A9s%20-%20R.%20Mezhoud.pdf
Tutorat de mécanique quantique
Il faut éviter que la séance de tutorat ne dérive vers une réécriture compl`ete au tableau d'une solution des exercices de la part de l'enseignant. La présence
Mécanique quantique II
6.3.2 Solution asymptotique et quantification des énergies . En mécanique quantique la fonction d'onde ?(r
Mecanique quantique Cours et exercices corriges - Dunod
mécanique quantique en basse dimension est tout à fait pertinente pour de nombreux développements modernes en physique atomique avec les progrès spectaculaires dans le domaine des atomes froids ou pour la matière condensée
Quels sont les principes de la mécanique quantique ?
Notions de mécanique quantique a. Les 3 principes de la mécanique quantique - union des théories classiques (Newton) et quantique à l’échelle macroscopique - tenir compte de la constante de Planck h(ou rationnalisée ?= h 2? ) et de la quantification énergétique des spectres des atomes - rendre compte de la dualité onde – corpuscule b.
Comment télécharger le cours de mécanique quantique ?
Tout en PDF/PPT, Tout est gratuit. NOTE: N’oubliez pas de voir le cours de Mécanique Quantique. Liens dans la section ci-dessous. Pour télécharger le cours complet de Mécanique Quantique, Cliquez sur le/les liens ci-dessous. NOTE: N’oubliez pas de voir les autres Unités d’enseignements (matières/modules) de Physique.
Qu'est-ce que les notes de cours de mécanique quantique?
Ces notes de cours sont inspirées du cours de L3 "Introduction à la Mécanique Quan- tique" dispensé par M. Claude abreF aux élèves de l'ENS de Cachan. Le but de ce cours est de fournir les bases de la mécanique quantique aux élèves ne l'ayant encore jamais abordée auparaanvt.
Quel est le but du cours de mécanique quantique?
Le but de ce cours est de fournir les bases de la mécanique quantique aux élèves ne l'ayant encore jamais abordée auparaanvt. On utilisera les notations suivantes : h= 6;62 1034Js: constante de Planck ~ =h 2?
Universit´e Paris-Sud
Licence et Magist`ere de Physique
Travaux Dirig´es
de M´ecanique Quantique
2008-2009
Table des mati`eresTD 1 :´Equation de Schr¨odinger1TD 2 :
´Etats li´es pour un puits quelconque3
TD 3 : Fonction d"onde dans l"espace des impulsions 5TD 4 : Repr´esentation et notation de Dirac8
TD 5 : La mesure10
TD 6 : Sym´etries - Syst`eme `a 2 niveaux13
TD 7 : Oscillateur harmonique - Produit tensoriel 16TD 8 : Moments cin´etiques - spin19
TD 9 : Particules identiques21
TD 10 : Atome d"hydrog`ene23
TD 11 : Composition des moments cin´etiques27
TD 12 : Perturbation ind´ependante du temps30
TD 13 : Perturbation d´ependante du temps33
T.D. no1 :´Equation de Schr¨odinger
A. Etats li´es - Quantification de l"´energie. On consid`ere une particule plong´ee dans un potentielV(x) en forme de puits carr´e, c"est `a dire d´efini par :V(x) =-V0<0 pour-a/2< x < a/2 et nul ailleurs. (Vx) 0x V/2 a-a/21/Quel est le mouvement d"une particule dans ce potentiel en m´ecanique classique?
2/On ´etudie le cas-V0< E <0 (´etats li´es).
a/ Ecrire l"´equation de Schr¨odinger et la r´esoudre s´epar´ement dans chacune des trois zones. On
pourra poser : k 0=? 2mV0 ?2, k=?-2mE?2etK=?2m(E+V0)
?2.(1)b/ On peut montrer que, dans le cas d"une discontinuit´e de potentiel finie, les fonctions d"ondes
restent born´ees, continues et de d´eriv´ee continue. Ecrire les relations qui en d´ecoulent et en
d´eduire que :?k-iK k+ iK?2=e2iKa.(2)
Quelle est la dimension de l"espace vectoriel des solutions, pour une valeur donn´ee de l"´energie?
c/ On peut montrer que l"´equation pr´ec´edente est ´equivalente au syst`eme : |sin(Ka2)|=Kk0lorsque tan(Ka2)<0,(3)
|cos(Ka2)|=Kk0.lorsque tan(Ka2)>0 (4)
Montrer par une m´ethode graphique simple qu"il y a quantification des ´energies. Que se passe-t-il
lorsque le puits devient tr`es profond? B. Etats libres - Courant de probabilit´e - R´eflexion, transmission1/Dans le cas du puits carr´e pr´ec´edent, on ´etudie maintenant le casE >0 (´etats libres).
a/ R´esoudre l"´equation de Schr¨odinger dans chacune des trois zones et ´ecrire les relations de
raccordement. 1 b/ Montrer que pour toute ´energieE, les solutions forment un espace vectoriel de dimension deux. Montrer que toute solution peut se d´ecomposer en deuxondes planes qui se propagent en sens contraire. Peut-on normer ces solutions?2/Soitφ(?r,t) la fonction d"onde d"une particule de massemplac´ee dans un potentielV(?r).
On d´efinit la densit´e de probabilit´e de pr´esence de la particule au point?ret `a l"instantt
par :ρ(?r,t) =|φ(?r,t)|2=
φ(?r,t)φ(?r,t).(5)
a/ Montrer que cette densit´e satisfait `a l"´equation deconservation: ∂t+?? ·?J= 0 (6) o`u lecourant de probabilit´e?Jest donn´e par : J=?2mi?φ(??φ)-(??φ)φ?
.(7) b/ Donner ?Jpour une fonction d"onde de la forme :φ(?r,t) =Aeif(?r,t).(8)
c/ Pr´eciser ?Jdans le cas d"une onde plane,f(?r,t) =?k·?r-ωt.3/On consid`ere une particule de massem, soumise au potentiel `a une dimension suivant :
V(x) =-V0pourx <0 (V0>0),(9)
V(x) = 0 pourx >0.(10)
On s"int´eresse dor´enavant aux ´etats stationnaires d"´energie positive, repr´esentant une onde se
propageant depuis +∞, partiellement r´efl´echie enx= 0 et partiellement transmise. a/ Expliquer bri`evement pourquoi on choisira les fonctions d"onde sous la forme :φ(x) =Ae-iKxpourx <0 (11)
φ(x) =e-ikx+Beikxpourx >0 (12)
o`uK=?2m(E+V0)/?etk=⎷2mE/?.
b/ Ecrire les conditions de raccordement en 0, et calculerAetBen fonction deKetk. c/ Calculer le courant pourx <0 puisx >0. Identifier les courants incidentJi, r´efl´echiJret transmisJt. d/ On d´efinit un coefficient de r´eflexionRet de transmissionTpar :R=????J
rJi????
etT=????J tJi???? .(13)V´erifier queR+T= 1.
e/ Calculer la limite deRet deTpourktendant vers 0 et pourktendant vers l"infini. Comparer avec les r´esultats de la m´ecanique classique. 2 T.D. no2 :´Etats li´es pour un puits quelconque - Origine de la quantification de l"´energieOn consid`ere une particule sans spin plong´ee dans un potentielV(x) et caract´eris´ee par une
fonction d"ondeφ(x) (probl`eme `a une dimension). Le puits de potentielV(x) a l"allure suivante :1/Rappeler l"´equation de Schr¨odinger que v´erifie la fonction d"onde d´ecrivant un ´etat station-
naire d"´energieE. Quelle est a priori la dimension de l"espace vectoriel des solutions?2/Les casE < Vminsont ils physiquement acceptables? Discuter ensuite le casE=Vminet
comparer avec les r´esultats de la m´ecanique classique. Conclure que n´ecessairementE > Vmin.
3/Quel est le comportement `a l"infini deφ(x) selon les cas :Vmin< E < V2;V2< E < V1;
V1< E. Quels sont les ´etats li´es et les ´etats libres?
4/Dans le casVmin< E < V2, on va montrer (de fa¸con intuitive) qu"il y a quantification
des ´etats. Repr´esenter sch´ematiquement la fonction d"onde de l"´etat fondamental. En supposant
arbitrairement que la fonction d"onde s"annule quandx→ -∞, comment se d´eforme la solution
de l"´equation de Schr¨odinger si l"on augmente tr`es l´eg`erementE? Parmi toutes les solutions,
seul un nombre fini d"entre elles v´erifie les conditions du 3). En particulier, remarquer que l"on
peut ici caract´eriser chaque ´etat li´e par le nombre de z´eros de la fonction d"onde. (voir la r´esolution num´erique jointe) 3Pour la figure
4 T.D. no3 : Fonction d"onde dans l"espace des impulsionsA. Fonction d"onde dans l"espace des impulsions
D efinitionsSoitψ(x,t) la fonction d"onde norm´ee `a 1 d"une particule sur un axe etφ(k,t) sa transform´ee
de Fourier (T.F.) :φ(k,t) =1
⎷2π?ψ(x,t)e-ikxdx .
En utilisant la relation de de Broglieλ=h/p??p=?k, on d´efinit la fonction :ψ(p,t) =1
⎷?φ(p/?,t) =1⎷2π??ψ(x,t)exp(-ipx?)dx ,
o`u le facteur 1/⎷?est introduit pour que˜ψ(p,t) soit norm´ee `a l"unit´e)˜ψ(p,t) est la fonction d"onde dans l"espace des impulsions. On admet, ce qui n"est pas ´evident,
que|˜ψ(p,t)|2est la densit´e de probabilit´e dep. Remarques: il est facile de montrer que la fonction d"onde dans l"espace des positions s"obtient `a partir de celle dans l"espace des impulsions par :ψ(x,t) =1
⎷2π?? -∞˜ψ(p,t)exp(ipx?)dp.La fonction d"onde dans l"espace des impulsions
˜ψ(p,t) d´efinit compl`etement `a elle seule l"´etat de la particule, aussi bien queψ(x,t), fonction d"onde dans l"espace des positions, puisqu"on passe de l"une `a l"autre de fa¸con univoque par T.F. ou T.F. inverse.1/ Puits carr´e infini
a/ Calculer les ´energies et les fonctions d"onde stationnaires, norm´ees `a l"unit´e, d"une particule
dans un puits carr´e infini dont les bords sont situ´es en 0 eta. Tracer les fonctions d"onde associ´ees
aux 3 premiers niveaux. b/ Montrer que les fonctions d"onde dans l"espace des impulsions s"´ecrivent :ψ(p) =1
2i? aπ?ei(nπ/2-pa/2?)?
sinc(pa2?-nπ2) + (-1)n+1sinc(pa2?+nπ2)? avec : sinc(u) =sinu u Repr´esenter graphiquement sinc(u), indiquer l"abscisse du premier z´ero de part et d"autre de l"origine. Puis repr´esenter graphiquement sinc( pa2?-nπ2) et sinc(pa2?+nπ2) en fonction dep.
c/ Montrer que pourngrand on a :˜ψ(p)|2?a
4π??
sinc2(pa2?-nπ2) + sinc2(pa2?+nπ2)? d/ Indiquer sur un graphique l"allure de cette courbe. Donner les positions et l"´ecartement desdeux pics principaux, ainsi que leur largeur `a la base. Que deviennent l"´ecartement et la largeur
des deux pics principaux quandntend vers l"infini? 5e/ D´ecrire le mouvement d"une particule de mˆeme ´energieE=n2π2?2/2ma2et de mˆeme masse
dans le mˆeme potentiel en m´ecanique classique et donner lavaleur de son impulsion en fonction
den,?eta.f/ Indiquer, pour l"impulsion, ce qui est semblable et ce quidiff`ere en m´ecanique classique et en
m´ecanique quantique, quandntend vers l"infini.2/ Densit´es de probabilit´e pour les ´etats stationnaires
Montrer que, pour un ´etat stationnaire,|ψ(x,t)|2et|˜ψ(p,t)|2sont ind´ependants du temps.
3/ ´Equation de Schr¨odinger dans l"espace des impulsions(facultatif)En prenant la transform´ee de Fourier des deux membres de l"´equation de Schr¨odinger d´ependant
du temps, indiquer `a quelle ´equation ob´eit˜ψ(p,t).B. Relation d"Heisenberg position-impulsion
1/ Lien avec la transform´ee de Fourier
En utilisant les propri´et´es de la transformation de Fourier indiqu´ees ci-dessous, retrouver la
relation :ΔxΔp??/2.
2/ Exemple : oscillateur harmonique
La fonction d"onde de l"´etat fondamental (´etat stationnaire de plus basse ´energie) de l"oscillateur
harmonique `a une dimension (V(x) = 1/2mΩ2x2), s"´ecrit : mΩπ?)1
4exp(-mΩx22?)exp(-iEt?).
Calculer Δx, Δp, ΔxΔppour toutt.
3/ Exemple : puits carr´e infini(facultatif)
Dans le cas de la particule confin´ee dans un puits carr´e infini situ´e entre 0 eta, calculer Δx,
Δp, ΔxΔp.
Vers quelle valeur tend ΔxΔpquand l"´energie tend vers l"infini? Pr´eciser la signification de ce
comportement en utilisant les r´esultats du A-1).4/ Un argument heuristique pour estimer l"´energie du fondamental.(facultatif)
L"in´egalit´e de Heisenberg montre que lorsqu"une particule est confin´ee dans une r´egion de dimen-
sionL, son ´energie cin´etiqueEc=p2/(2m) est d"ordreEc≂?2/(mL2). Utiliser cette remarque pour trouver l"ordre de grandeur de l"´energie du fondamental de : a/ l"oscillateur harmonique unidimensionnelH=p22m+12mω2x2.
b/ L"atome d"Hydrog`eneH=?p22m-e2r.
6 Propri´et´es de la transformation de Fourier D´efinition :soitψ(x) une fonction complexe de variable r´eelle telle que?+∞ -∞ψ(x)dxexiste (?ψest sommable). Alors l"int´egrale : 1 ⎷2π?ψ(x)e-ikxdx
existe?ket d´efinit une nouvelle fonction˜ψ(k) qui est par d´efinition la transform´ee de
Fourier deψ(x). On a de plus :
ψ(x) =1
⎷2π? -∞˜ψ(k)eikxdk ψ(x) est la transform´ee de Fourier inverse de˜ψ(k). Propri´et´es utiles de la transformation de Fourier :FonctionTransform´ee de Fourier
ψ(x) =1⎷2π?
-∞˜ψ(k)eikxdk˜ψ(k) =1⎷2π? -∞ψ(x)e-ikxdxλψ(x)λ˜ψ(k)
ψ(ax) (ar´eel)1
|a|˜ψ(ka) -ixψ(x)d˜ψ dk dψ dxik˜ψ(k) eik0xψ(x)˜ψ(k-k0)ψ(x+x0)eikx0˜ψ(k)
e-x22e-k22Formule de Parseval-Plancherel :?+∞
ψ?1(x)ψ2(x)dx=?
-∞˜ψ?1(k)˜ψ2(k)dk(conservation du produit scalaire) |ψ(x)|2dx=? |˜ψ(k)|2dk(conservation de la norme)ψ(k)→0 quandk→ ±∞
et :ΔxΔk?1
2avec :
Δx= ´ecart type dex=?
|ψ(x)|2(x-< x >)2dx? 1 2,Δk= ´ecart type dek=?
|˜ψ(k)|2(k-< k >)2dk? 1 2. 7 T.D. no4 : Repr´esentation et notation de DiracA. Calcul formel en notation de Dirac
1/ Associativit´e
Soitλun scalaire,|u>,|v>,|w>des ´etats physiques, on notera : A=|u>2. Donner la nature (scalaire, vecteur ou op´erateur) des objets suivants et les simplifier, le
cas ´ech´eant.C|u>
A
ACλB
3. D"apr`es ce qui pr´ec`ede, justifier que :|u> 2/ Conjugaison
Soitλun scalaire,|u >,|v >,|w >des ´etats physiques,Aun op´erateur. La conjugu´ee hermitique d"une s´equence donn´ee s"obtient en prenant las´equence dansl"ordre inverse, et en
rempla¸cant chaque terme par son conjugu´e, suivant la correspondance suivante : |x >←→< x| A-→A
Calculer la conjugu´ee des objets suivants et pr´eciser leur nature : A|u>
A|u> |u> < x|λi|y >< z|
B. Changement de repr´esentation
Soit|1>,|2>,|3>une base canonique d"un espace `a trois dimension. Dans cette basequotesdbs_dbs9.pdfusesText_15
2/ Conjugaison
Soitλun scalaire,|u >,|v >,|w >des ´etats physiques,Aun op´erateur. La conjugu´eehermitique d"une s´equence donn´ee s"obtient en prenant las´equence dansl"ordre inverse, et en
rempla¸cant chaque terme par son conjugu´e, suivant la correspondance suivante : |x >←→< x|A-→A
Calculer la conjugu´ee des objets suivants et pr´eciser leur nature :A|u>
A|u> |u> < x|λi|y >< z|
B. Changement de repr´esentation
Soit|1>,|2>,|3>une base canonique d"un espace `a trois dimension. Dans cette basequotesdbs_dbs9.pdfusesText_15
|u> < x|λi|y >< z|
B. Changement de repr´esentation
Soit|1>,|2>,|3>une base canonique d"un espace `a trois dimension. Dans cette basequotesdbs_dbs9.pdfusesText_15[PDF] examen pharmacologie générale
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