[PDF] Algèbre et Géométrie PC-PSI-PT - 5ème édition

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ALGÈBREET GÉOMÉTRIE

PC-PSI-PT

Un cours conforme au programme

Des exercices-types résolus

Les méthodes à retenir

De nombreux exercices et problèmescorrigés

5 e

édition

Jean-Marie Monierwww.biblio-scientifique.net

ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE

PC-PSI-PT

Cours, méthodes et exercices corrigés

Jean-Marie Monier

Professeur en classe de Spéciales au lycée La Martinière-Monplaisir à Lyon 5 e

éditionwww.biblio-scientifique.net

Maquette intŽrieure : Lasertex

Couverture : Bruno Loste

© Dunod, Paris, 2008

© Dunod, Paris, 1996 pour la première édition ISBN 978-2-10-053970-3 www.biblio-scientifique.net © Dunod. La photocopie non autorisŽe est un dŽlit. III

CHAPITRE1

1.1 Espaces vectoriels 4

1.1.1 Familles libres, familles liŽes, familles gŽnŽratrices 4

1.1.2 Sommes, sommes directes 4

1.2 Applications linŽaires 9

1.2.2 Interpolation de Lagrange 10

1.3 DualitŽ 13

1.3.1 GŽnŽralitŽs 13

1.3.2 Hyperplans 14

1.3.3 Bases duales 16

1.4 Calcul matriciel 22

1.4.1 Trace 22

1.4.2 Blocs 27

DŽterminants35

2.1 Le groupe symŽtrique 36

2.1.1 Structure de

n 36

2.1.2 Transpositions 36

2.1.3 Cycles 39

2.2 Applications multilinŽaires 41

2.2.1 GŽnŽralitŽs 41

2.2.2 Applications multilinŽaires alternŽes 41

2.3 DŽterminant d'une famille de

nvecteursdans une base d'un ev de dimension n 43

2.3.1 Espace

L n SEB43

2.3.2 PropriŽtŽs 44

2.4 DŽterminant d'un endomorphisme 45

2.5 DŽterminant d'une matrice carrŽe 46

Cours

CHAPITRE2www.biblio-scientifique.net

IV

2.6 DŽveloppement par rapport ˆ une rangŽe 49

2.6.1 Cofacteurs et mineurs 49

2.6.2 Comatrice 53

2.7 Calcul des dŽterminants 55

2.7.1 DŽterminant d'une matrice triangulaire 55

2.7.2 Manipulation de lignes et de colonnes 55

2.7.3 Cas

n ?2, n?358

2.7.4 DŽterminant de Vandermonde 59

2.7.5 DŽterminant dÕune matrice triangulaire par blocs 60

2.8 Orientation d'un espace vectoriel rŽelde dimension finie

64

2.9 SupplŽment : Rang et sous-matrices 65

RŽduction des endomorphismes et des matrices carrŽes 73

3.2 Polyn™me caractŽristique 79

3.3 DiagonalisabilitŽ 86

3.4 Trigonalisation 98

3.5 Polyn™mes d'endomorphismes, polyn™mes de matrices carrŽes

106

3.5.1 GŽnŽralitŽs 106

3.5.2 Polyn™mes annulateurs 109

3.5.4 IdŽaux de

K[X](PSI 118

3.6 Applications de la diagonalisation 119

3.6.1 Calcul des puissances d'une matrice carrŽe 119

3.6.2 Suites rŽcurrentes linŽaires simultanŽes

du 1 er ordre ˆ coefficients constants 123

3.6.3 Suites rŽcurrentes linŽaires ˆ coefficients constants 124

Espaces prŽhilbertiens rŽels129

4.1 Formes bilinŽaires symŽtriques, formes quadratiques 130

4.1.1 GŽnŽralitŽs 130

4.1.2 InterprŽtation matricielle 132

4.2 Rappels sur les espaces euclidiens 137

4.2.1 Produit scalaire 137

4.2.2 OrthogonalitŽ 141

CHAPITRE4

CHAPITRE3www.biblio-scientifique.net

V © Dunod. La photocopie non autorisŽe est un dŽlit.

4.3•• Endomorphismes•remarquablesd?un•espace•vectoriel•euclidien•

146

4.3.1 Endomorphismes symŽtriques 146

4.3.2 Endomorphismes orthogonaux 153

4.4 Adjoint•158

4.4.1 Adjoint dÕun endomorphisme dÕun espace euclidien 158

4.4.2 Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien 162

4.5•• RŽduction•des•matrices•symŽtriques•rŽelles••163

4.5.2 RŽduction simultanŽe 169

4.5.3 PositivitŽ 170

5.1 Formes•sesquilinŽaires•188

5.1.1 GŽnŽralitŽs 188

5.1.2 Cas de la dimension finie 190

193

5.2.1 Produit scalaire hermitien 193

5.2.2 OrthogonalitŽ 197

GŽomŽtrie203

6.1• Courbes•du•plan•204

6.1.1 Enveloppe d'une famille de droites du plan 204

6.1.2 Rappels sur lÕabscisse curviligne et le rayon de courbure 211

6.1.3 Centre de courbure 216

6.1.4 DŽveloppŽe d'une courbe du plan 220

6.1.5 DŽveloppantes d'une courbe du plan 223

6.2 Courbes•de•l?espace•227

6.2.1 GŽnŽralitŽs 227

6.2.2 Tangente en un point 229

6.2.3 Abscisse curviligne 231

6.3 Surfaces•235

6.3.1 GŽnŽralitŽs 235

6.3.2 Plan tangent en un point 238

6.3.3 Surfaces usuelles 244

6.3.4 Quadriques 252

6.3.5 Surfaces rŽglŽes, surfaces dŽveloppables 261

6.3.6 Exemples de recherche de courbes tracŽes sur une surface

et satisfaisant une condition diffŽrentielle 267

CHAPITRE6

CHAPITRE5www.biblio-scientifique.net

VI

Chapitre 1278

Chapitre 2284

Chapitre 3293

Chapitre 4322

Chapitre 5347

Chapitre 6350

Index des notations373

Index alphabŽtique375

Solutions des exerciceswww.biblio-scientifique.net © Dunod. La photocopie non autorisŽe est un dŽlit. VII

PrŽface

Jeune lycŽen,j'avais,pour les manuels scolaires,une vŽnŽration quasi-religieuse. Que reprŽsentaient pour moi ce

s livres

qu'une main zŽlŽe avait soigneusement recouverts en dŽbut d'annŽe ? Je ne saurais le dire avec prŽcision : ils conte-

pect des termes de l'ouvrage ; approximative, la restitution n'Žtait pas valable. L'utilisation, par les professeurs, des po-

que cela Žtait dž bien plus aux difficultŽs de reprographie qu'ˆ un non-dŽsir de ces professeurs d'

imprimer leur griffe

progression, y puisaient les exercices. Je me souviens, d'ailleurs, d'avoir ŽtŽ troublŽ quand, en Terminale, mon profes-

seur de Math., que je rŽvŽrais aussi, se permettait parfois quelques critiques ˆ l'Žgard d'un ouvrage qu

'il nous avait pour-

tant conseillŽ ! Quant aux auteurs de ces livres, ils restaient Žnigmatiques : qui Žtaient ces demi-dieux dŽtenteurs du

Savoir ?

Plus tard, mes rapports d'Žtudiant avec les manuels didactiques ont, Žvidemment, ŽvoluŽ, mais je crois avoir, na•vement

sans doute, conservŽ cette approche faite d'envie et de respect qui m'empche, par exemple, de porter des annotations

en marge Ð je ne jouerai pas la farce d'un Pierre de Fermat ! Ð et cet a priori favorable qui me rendrait difficile la rŽ-

daction d'une critique objective.

Heureusement, tel n'est pas mon propos aujourd'hui ! Mais j'ai voulu, par ces quelques mots, souligner l'importance ca-

pitale Ð mme dans le subconscient de chacun Ð de ces livres de cours sur lesquels vous travaillez durant vos Žtudes et

qui vous accompagnent toute votre vie.

Aucun professeur, fžt-il auteur de manuels, ne songerait ˆ conseiller un livre en remplacement d'un enseignement vi-

judicieusement alternŽes, dans la vision d'ensemble des questions dont traite l'ouvrage. Il y rech

erchera, avec la certi-

tude de les obtenir, telle dŽmonstration qu'il n'a pas bien comprise, tel exemple ou contre-exemple qui l'aidera ˆ mieux

assimiler une notion, la rŽponse ˆ telle question qu'il n'a pas osŽ poser sinon ˆ lui-mme... Pour que le livre joue ce r™le d'assistant Ð certes passif mais constamment disp onible Ð il doit, je pense, tre proche des

prŽoccupations immŽdiates de l'Žtudiant, ne pas exiger, pour sa lecture, un savoir qui n'a pas encore ŽtŽ acquis, ne pas

rebuter par l'exposŽ trop frŽquent de notions trop dŽlicates ; mais il doit, cependant, contenir une substance suffisante

pour constituer les solides fondations sur lesquelles s'Žchafaude la pyramide du savoir scientifique.

premier cycle universitaire, demande, ˆ c™tŽ de la nŽcessaire compŽtence, des qualitŽs pŽdagogiques certaines, affinŽes

par une longue expŽrience professionnelle dans ces sections, une patience et une minutie rŽdactionnelles inou•es.

Jean-Marie Monier a eu le courage de se lancer dans ce gigantesque travail et les ouvrages qu'il nous propose aujour-

aison : il a, me semble-t il,

pleinement atteint le but qu'il s'Žtait fixŽ, ˆ savoir rŽdiger des livres de cours complets ˆ l'usage de tous les Žtudiants

et pas seulement des polytechniciens en herbe. Les nombreux ouvrages d'a pprofondissement ou de spŽcialitŽ seront,

Žvidemment, lus et savourŽs plus tard, ... par ceux qui poursuivront. Pour l'instant, il faut, ˆ l'issue de la Terminale,

: les mises en garde contre certaines erreurs

Ë tout instant, des exercices sont proposŽs qui vont l'interpeller : il sera heureux de pouvoir, quelques dizaines de pages

plus loin, soit s'assurer que, par une bonne dŽmarche il est parvenu au bon rŽsultat, soit glaner une prŽcieuse indica-

tion pour poursuivre la recherche : le livre forme un tout, efficace et cohŽrent.www.biblio-scientifique.net

PrŽface

VIII J'ai dit quel r™le majeur dans la formation d'un jeune esprit scienti fique peut jouer un manuel qui lui servira de rŽfŽ-

rence pendant longtemps. Sa conception, sa rŽdaction, sa prŽsentation sont, alors, essentielles : on ne peut que viser ˆ

la perfection !

C'est tout le sens du travail effectuŽ par Jean-Marie Monier avec une compŽtence, un gožt, une constance admirables,

depuis le premier manuscrit jusqu'aux ultimes corrections, dans les moindres dŽtails, avant la version dŽfinitive.

Ces ouvrages qui rŽpondent ˆ un rŽel besoin aujourd'hui, seront, j'en suis persuadŽ, apprŽciŽs par tous ceux ˆ qui ils

s'adressent Ð par d'autres aussi sans doute Ð ceux-lˆ mmes qui, plus tard, diront : Ç Ma formation mathŽmatique de base, je l'ai faite sur le MONIER ! È.

H. Durand

Professeur en MathŽmatiques SpŽciales PT*

© Dunod. La photocopie non autorisŽe est un dŽlit. IX

Avant-propos

grandes Žcoles (1 re annŽe PCSI-PTSI, 2 e annŽe PC-PSI-PT, PC*-PSI*-PT*), aux Žtudiants du premier cycle universi- taire scientifique et aux candidats aux concours de recrutement de professeurs.

Le plan en est le suivant :

Analyse PCSI-PTSI :Analyseen 1

re annŽe re annŽe

GŽomŽtrie PCSI-PTSI :GŽomŽtrieen 1

re annŽe

Analyse PC-PSI-PT :Analyseen 2

e annŽe e annŽe. Cette nouvelle Ždition rŽpond aux besoins et aux prŽoccupations des Žt udiant(e)s.

Une nouvelle maquette, ˆ la convivialitŽ accrue, assure un meilleur accompagnement pŽdagogique. Le programme

xercices-

types rŽsolus et commentŽs, incontournables et cependant souvent originaux, aident le lecteur ˆ franchir le passage du

mettent au lecteur de vŽrifier sa bonne comprŽhension du cours.

J'accueillerai avec reconnaissance les critiques et suggestions que le lecteur voudra bien me faire parvenir aux bons

Jean-Marie Monierwww.biblio-scientifique.net

X

Pour bien utiliser

La page dÕentrŽe de chapitre

Elle propose une introduction au cours,un

rappel des prŽrequis et des objectifs, ainsi quÕun plan du chapitre.

Le cours

Le cours aborde toutes les notions du pro-

gramme de faon structurŽe afin dÕen faciliter la lecture.

La colonne de gauche fournit des remarques

pŽdagogiques qui accompagnent lՎtudiant dans lÕassimilation du cours. Il existe quatre types de remarques,chacun Žtant identifiŽ par un pictogramme. N C R Q R Q R Q).. ?R).. Q GG N C N C N C N CN CN C N CN CN C N? C? N? C?

GŽomŽtrie

GŽomŽtrieMonier

Les?pictogrammes?dans?la?marge

Commentaires pour bien comprendre le cours(reformulation dÕun ŽnoncŽ, explication dÕunedŽmonstrationÉ).

Indication du degrŽ dÕimportance dÕun rŽsultat.

Mise en garde contre des erreurs frŽquentes.

Les?exercices?types?rŽsolus

types rŽsolus permettent dÕappliquer ses connaissances sur un ŽnoncŽ incontour- et commentŽe.www.biblio-scientifique.net XI

Les exercices et probl

mes Dans chaque chapitre,ˆ la fin dÕune sous-partie, des ŽnoncŽs dÕexercices sont proposŽs pour sÕentra"ner.La difficultŽ de chaque exercice est indiquŽe sur une Žchelle de 1 ˆ 4. A la fin de certains chapitres,des ŽnoncŽs de pro-

Les solutions des exercices et probl

mes Les solutions sont regroupŽes en fin dÕouvrage. cet•ouvrage N N Q NN NNN NNNNN N N NN N N U N N N N N? N R R N? RRN? N N N NR NR NR R NR R NR NR NR NR NR NR NR NR NRRNR NR NR NR Les m thodes ˆ retenir conna"tre.www.biblio-scientifique.net

Programmes PC,PSI,PT

XII

Programmes PC, PSI, PT

dimension•finie.

Chapitre 2 : DŽterminants

Chapitre 3 : RŽduction des endomorphismes et des matrices carrŽes

Chapitre 4 : Espaces prŽhilbertiens rŽels

PC.

Chapitre 5 : Espaces prŽhilbertiens complexes

3.1¥ Convergence,divergence

XIII © Dunod.•La•photocopie•non•autorisŽe•est•un•dŽlit.

Remerciements

la•saisie : Robert•AMBLARD, Bruno•ARSAC, Chantal•AURAY, Henri•BAROZ, Alain•BERNARD, Jean-Philippe

BERNE, Mohamed•BERRAHO, Isabelle•BIGEARD, Jacques•BLANC, GŽrard•BOURGIN, GŽrard-Pierre••BOU-

VIER, GŽrard•CASSAYRE, Jean-Paul•CHRISTIN, Yves•COUTAREL, Gilles•DEMEUSOIS, Catherine•DONY,

Hermin•DURAND, Jean•FEYLER, Marguerite•GAUTHIER, Daniel•GENOUD, Christian•GIRAUD, AndrŽ•GRUZ,

AndrŽ•LAFFONT, Jean-Marc•LAPIERRE,Annie•MICHEL, RŽmy•NICOLAì, Michel•PERNOUD, Jean•REY, Sophie

RONDEAU, RenŽ•ROY, Nathalie•et•Philippe•SAUNOIS, Patrice•SCHWARTZ, GŽrard•SIBERT, Mimoun•TAìBI.

volumes. www.biblio-scientifique.net

Courswww.biblio-scientifique.net

www.biblio-scientifique.net © Dunod. La photocopie non autorisŽe est un dŽlit. 3 1

CHAPITRE

1

Introduction

re, constituŽ de complŽments sur les espaces vectoriels et les applications linŽaires, de lÕŽtude de la dualitŽ et de la manipulation des matrices par blocs. dŽpasse le cadre de cet ouvrage. La dŽcomposition des matrices en blocs traduit souvent des propriŽtŽs pro- fondes des applications linŽaires quÕelles reprŽsentent,et la manipulation des blocs permet de rŽsoudre de faon ŽlŽgante certains exercices sur les matrices et les dŽterminants.

PrŽrequis

¥Espaces vectoriels normŽs (Analyse PC-PSI-PT, ch. 1)

¥SŽries (Analyse PC-PSI-PT, ch. 4)

Objectifs

¥DŽfinition et Žtude des notions de somme et de somme directe de plu-sieurs sev e ¥Acquisition des techniques de manipulation de la trace et des blocs dans le calcul matriciel.

1.1Espaces vectoriels 4

Exercice9

1.2Applications

linŽaires9

Exercices13

1.3DualitŽ13

Exercices22

1.4Calcul matriciel 22

Exercices26,33

Planwww.biblio-scientifique.net

4

KdŽsigne•un•corps•commutatif.•ConformŽment•au•programme, on•peut•se•limiter•aux•cas

K (N,K(C.

1?1?Espaces?vectoriels

1?1?1 Familles?libres??familles?liŽes??familles?gŽnŽra?

trices

DŽfinition 1

On•appelle•

combinaison linŽaired?une•famille• ?x i i)I x i i)I d?ŽlŽments•de•K, telle•que•x( i)I i x i

DŽfinition 2

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