[PDF] Analyse-Algèbre 4 - CEL Jun 13 2012 Exercice 3

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DEUG MASS 2`eme ann´eeUniversit´e de Paris 1

Travaux dirig´es d"Analyse Alg`ebre 42001-2002

TD semaine 1

Exercice 1On consid`ere les formes quadratiques suivantes surR4: q

1(x1,x2,x3,x4) =x1x2

q

2(x1,x2,x3,x4) =x1x3+ (x4)2

q

3(x1,x2,x3,x4) = 2x1x2-x3x4

q

4(x1,x2,x3,x4) = (x1)2-5x2x3+ (x4)2.

Donner les formes bilin´eaires sym´etriques dont sont d´eriv´ees ces formes quadratiques ainsi que

leur ´ecriture matricielle. Exercice 2Montrer que les applications suivantes sont des formes bilin´eaires sym´etriques sur Eet d´eterminer leurs formes quadratiques associ´ees.

1)E=R[X],?(P,Q) =?1

0P?(t)Q?(t)dt+P(0)Q(1) +P(1)Q(0).

2)E=Cn(R,R),?(f,g) =?nk=0f(k)(0)g(k)(0).

Exercice 3Soitf1etf2deux formes lin´eaires surE, espace vectoriel de dimensionnsurR. On consid`ere l"applicationqdeEdansRd´efinie par : q(u) =f1(u)f2(u), pour toutu?E.

1) Montrer queqest une forme quadratique surEet donner la forme bilin´eaire sym´etrique

dont elle est d´eriv´ee.

2) On suppose que ici quen= 3 et que :

f

1(u) =u1-2u2

f

2(u) = 2u1+u2.

Montrer quef1etf2sont ind´ependantes, et qu"il existe une baseBdeEtelle que pour tout u?E,q(u) =x1x2o`ux1etx2sont les deux premi`eres composantes deudans la baseB. Ecrire le changement de base et v´erifier la formule du changement debase. Exercice 4 (extrait de l"interrogation 1 d"avril 1999)SoitAune matrice r´eelle carr´ee de taillentelle quetA=-Ao`utAd´esigne la matrice transpos´ee deA. SoitB= (e1,...,en) une base deRn. Soitfla forme bilin´eaire deRndont la matrice dans la baseBestA: si le vecteur u, (respectivementv) est repr´esent´e dans la baseBpar la matrice colonneX(respectivement

Y) , on a :

f(u,v) =tXAY.

1) Montrer que pour tout couple (u,v) de vecteurs deRn, onf(u,v) =-f(v,u).

2) Montrer que pour tout vecteur deRn,u, on af(u,u) = 0.

3) En d´eduire queAne poss`ede aucune valeur propre r´eelle non nulle.

4) En d´eduire que siAest non nulle, alorsAn"est pas diagonalisable surR.

1

TD semaine 2

Exercice 1Soit?une forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee surEde dimension finie. Soit

FetGdeux sous-espaces deE. Montrer que (F+G)??=F??∩G??et (F∩G)??=F??+G??. Exercice 2Soit?une forme bilin´eaire sym´etrique surEet soit (u1,u2,...,up)pvecteurs de Enon isotropes et deux `a deux orthogonaux. Montrer qu"ils forment un syst`eme libre deE. Montrer sur un exemple que le r´esultat est faux si on ne suppose pas que les vecteurs sont non isotropes. Exercice 3Pour les formes quadratiques de l"exercice 1 du TD 7, calculez le noyau et le rang.

Calculez leq1-orthogonal du vecteuru= (1,1,1,0).

Exercice 4SoitE, un espace vectoriel de dimensionnet soit (e1,...,en), une base deE. Soit

?une forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee surEet soitgune forme lin´eaire surE.

1) On consid`ere l"applicationψdeEdansRnd´efinie par :

pour toutu?E,ψ(u) = (?(u,e1),...,?(u,en)). Montrer queψest une application lin´eaire bijective deEdansRn.

2) Montrer qu"il existe un uniqueu?Etel queψ(u) = (g(e1),...,g(en)).

3) Montrer que pour toutv?E,f(u,v) =g(v).

N.B. On a montr´e qu"`a toute forme lin´eaireg, on peut associer un unique vecteurudeEtel que pour toutv?E,g(v) =?(u,v).

Exercice 5SoitMune matrice r´eelle sym´etriquen×n, soit?la forme bilin´eaire associ´ee

surRnet soituun vecteur non nul deRn. Montrer que la restriction de?`aF={v?Rn|

v·u= 0}(l"orthogonal au sens classique deu) est non d´eg´en´er´ee si et seulement si la matrice

(n+ 1)×(n+ 1) suivante est inversible : ?M u tu0? 2

TD semaine 3

Exercice 11) SoitM3la matrice 3×3 suivante (on supposea?=b) M 3=( (a b b b a b b b a)

1)a) Calculer le rang, donner les valeurs propres et une base orthogonorm´ee(pour le produit

scalaire usuel deR3) form´ee de vecteurs propres.

1)b) SoitPla matrice de passage de la base canonique `a la base de vecteurs propres. V´erifiez

que tPP=I3. On a donctPM3P=P-1M3P. Quelle esta priorila diff´erence entre les deux termes en terme d"interpr´etation ?

2) on supposen≥3, reprendre 1) avec la matrice de taillen×n:

M n=( (a b b ... b b a b ... b b b a ... b............... b b b ... a)

3) On se place dansRnque l"on munit de la forme quadratique dont l"expression dans la base

canonique (e1,...,en) deRnest : q(x1,...,xn) =n? i=1(xi-¯x)2,avec ¯x=1 nn j=1x j.

3a) Montrer que :

q(x1,...,xn) =n? i=1x 2 i-n¯x2.

3b) En d´eduire que :

q(x1,...,xn) = (1-1/n)n? i=1x 2 i-2/n? jxk et que la matrice deqrelativement `a la base canonique est une matriceN1aveca= 1-1/net b=-1/n.

3c) D´eduire de 3b) et 2) une base (e?1,...,e?n) deRndans laquelle la matrice deqest diagonale,

avec une diagonale ´egale `a (0,1,...,1). Remarque :Ceci a une application en statistiques. Supposons quey1,...,ynsoient des

r´ealisations ind´ependantes d"une loi normaleN(m,σ2) de param`etres inconnus. On est int´eress´e

par l"estimation deσ2. Le calcul pr´ec´edent appliqu´e auxxi=yi-mest l"´etape cruciale pour

montrer que :1

σ2q(x1,...,xn)

suit une loiχ2(n-1). Par cons´equent, 1 n-1n i=1(yi-¯y)2 est un estimateur sans biais deσ2. 3 Exercice 2 (extrait de l"examen de juin 1999. Cet exercice est un exercice type).

SoitMla matrice suivante :?1 11 1?

1) Donner la signature de la forme bilin´eaire sym´etrique deR2associ´ee `aMdans la base

canonique. SoitAla matrice suivante etfla forme bilin´eaire sym´etrique deR4associ´ee `aAdans la base canonique deR4. A=( (1 1 1-1

1 1-1 1

1-1 1 1

-1 1 1 1)

2) Montrer quefn"est pas d´efinie positive, n"est pas d´efinie n´egative et est nond´eg´en´er´ee.

3) Soite1(respectivemente2) le vecteur de coordonn´ees (1,1,0,0) (respectivement (0,0,1,1)).

Soitvun vecteur de coordonn´ees (x,y,z,t) qui est orthogonal `ae1et `ae2pourf. Simplifier l"expression def(v,v).

4) Trouver un vecteure3orthogonal `ae1et `ae2tel quef(e3,e3)>0. Trouver un vecteur non

nule4orthogonal `ae1,e2et `ae3.

5) Montrer que (e1,e2,e3,e4) est une base deR4et calculer la matrice defdans cette base.

Donner la signature def. Comparer aux r´esultats de la question 2. Exercice 3Soitλetμdeux r´eels. Discuter selon le signe deλetμla signature de la forme quadratiqueqrepr´esent´ee dans une base par la matrice :

M=?λ0

0μ?

Faire un tableau qui en fonction du signe de det(M) et tr(M) donne la signature deq. Exercice 4Effectuer la r´eduction de Gauβdes formes quadratiques suivantes. En d´eduire une base orthogonale et la signature de la forme bilin´eaire sym´etrique associ´ee. q

1(x1,x2,x3) = (x1)2+ 6(x2)2-4x1x2+ 8x1x3

q

3(x1,x2,x3) =x1x2+x1x3.

Donner aussi des bases orthogonales en suivant le plan de la d´emonstrationdu th´eor`eme d"existence des bases orthogonales. Interros et partiels :vous pouvez traiter les exercices 1 de la premi`ere interrogation de2003 (questions 1 `a 3), et des partiels de juin et septembre 2003. 4

TD semaine 4

Exercice 1SoitMune matrice r´eellen×nquelconque. Montrer que la matricetMMest une

matrice sym´etrique positive et qu"elle est d´efinie si et seulement si la matriceMest inversible

(indication : on comparera tXtMMXet?MX?2). Exercice 2SoitMune matrice sym´etrique inversible. Montrer que l"inverse deMest sym´etrique. Montrer que siMest positive alors son inverse l"est aussi (indication : on utiliseraqueX?→MX est une bijection deRn, et on calculerat(MX)M-1(MX)).

Exercice 3Soit?une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive surEespace vectoriel. Soit

(u1,u2,...,up)pvecteurs deEet soitMla matricep×pd´efinie parmij=f(ui,uj). Montrer que les vecteurs (u1,u2,...,up) forment un syst`eme libre si et seulement si la matriceMest inversible. Exercice 4Soit?une forme bilin´eaire sym´etrique surE, espace vectoriel de dimension finie. Montrer que si?est anisotrope (aucun vecteur n"est isotrope) alors?est positive ou n´egative

et non d´eg´en´er´ee. On pourra raisonner par contraposition : prenantdes vecteursxetytels

queq(x)<0< q(y), on ´etudiera la fonctiont?→q(tx+ (1-t)y). Retrouvez ce r´esultat grˆace

au th´eor`eme de Sylvester. Interros et partiels :vous pouvez traiter l"exercice 1 du partiel de mai 2003. 5

TD semaine 5

Exercice 1.Soitn?N?, (a1,...,an)?Rn. On d´efinit surRnla forme bilin´eaire sym´etrique : ?(x,y) =n? i=1a ixiyi. Montrer que?est un produit scalaire si et seulement si : ?i, ai>0. Exercice 2.Consid´eronsE=R3sur lequel on met les deux produits scalaires : < x,y >

1=xx?+yy?+zz?

< x,y >

2=xx?+ 2yy?+xy?+x?y+zz?.

On note?il"orthogonal au sens du produit scalairei.

1) V´erifier que la seconde forme bilin´eaire est bien un produit scalaire.

2) Soitu= (1,1,0). Pr´eciseru?1etu?2.

3) A partir de la base canonique deR3, fabriquer une base orthonorm´ee pour le second produit

scalaire en utilisant le proc´ed´e de Gram-Schmidt.

4) Donner l"´equation des projections orthogonales relativement `a chaque produit scalaire sur :

F={(x,y,z)?R3, x+y= 0}

en utilisant dans les deux cas chacune des m´ethodes suivantes :

•en trouvant une base orthogonale deF.

•en ´ecrivant d"abordFcomme l"orthogonal d"un vecteure, puis en calculant en premier la projection sur< e >. Quelles sont, au sens de chacun de ces produits scalaires, les distances de (1,1,1) `aF? Exercice 3.DansR2euclidien canonique, dessiner les ensembles : et et les ´ecrire comme intersection d"ensembles de la forme : P Exercice 4 (optionnel)On se place dans l"espace vectoriel (de dimension 3)E=R2[X]

constitu´e des polynˆomes `a coefficients r´eels de degr´e au plus 2.On admettra que siP?E

v´erifieP≥0 et?1

0P(t)dt= 0, alorsP= 0. On d´efinit surEla forme bilin´eaire suivante :

< P,Q >=? 1 0

P(t)Q(t)dt.

1) PourP=p1+p2X+p3X2etQ=q1+q2X+q3X2, calculez< P,Q >en fonction despi

et desqi. On obtient ainsi une forme bilin´eaire sym´etrique surR3, not´ee?. 6

1)a) Montrer que?est un produit scalaire deR3.

1)b) Calculer le?-orthogonal de (1,1,0) repr´esentant le polynˆome 1 +X.

1)c) Donner une base orthonorm´ee deR3pour?.

On se propose de reprendre la question 1) sans utiliser l"isomorphisme entreEetR3:

2)a) Montrer que< ..,.. >est un produit scalaire deE.

2)b) Calculer l"orthogonal de 1 +X.

2)c) Donner une base orthonorm´ee deE.

Exercice 5 (optionnel)On se place dans l"espace vectoriel (de dimension infinie)E= C

0(I,R), o`uI= [-1,1]. On introduit les sous-espaces vectoriels deE:

P={f?E,?x?I, f(-x) =f(x)}

I={f?E,?x?I, f(-x) =-f(x)}.

On introduit enfin le produit scalaire surE:

< f,g >=? 1 -1f(t)g(t)dt. Pourf?E, on notefpetfiles ´el´ements dePetId´efinis par : f p(x) =f(x) +f(-x)

2etfi(x) =f(x)-f(-x)2.

1) En remarquant que pour toutef?E,on af=fp+fi, montrez queE=P ? I.

2) Soitf? Petg? I. Montrez quef?g. En d´eduire queP?? I.

3) Soitf? P?. Calculez de deux mani`eres< f,fp>, et en d´eduire queP?=I.

Remarque : ici, nous sommes en dimension infinie, et nous avonsE=P?? P. Interros et partiels :vous pouvez traiter l"exercice 2 de la seconde interrogation de 2002, la question 4 de la premi`ere interrogation de 2003 et le second exercice de la seconde interrogation de 2003. 7

TD semaine 6

Exercice 1 (les r´esultats de cet exercice sont `a savoir retrouver rapidement ou `a connaˆıtre. Issu du sujet de partiel de juin 2002).Soitqune forme quadratique de R

2repr´esent´ee dans la base canonique par une matriceM. Montrer qu"il existe une matrice

orthogonalePtelle quetPMPsoit diagonale. En d´eduire, `a l"aide d"un exercice ant´erieur, la signature deqen fonction de det(M) et tr(M). Exercice 21) Montrer que deux matrices sym´etriquesAetBcommutent si et seulement si le produit est sym´etrique.

2) On se place dans le cas o`uAetBcommutent. On notef(resp.g) l"endomorphisme deRn

repr´esent´e par la matriceA(resp.B) dans la base canonique. On a doncf◦g=g◦f. Soit

1,...,λkles valeurs propres (r´eelles) def.

2)a) PosonsEi= Ker(f-λiid). Pourquoi a t-on :

R n=?ki=1Ei?

2)b) Montrer que siu?Ei, alorsg(u)?Ei. En d´eduire queginduit un endomorphismegisur

E i.

2)c) Montrer qu"il existe une base orthonorm´ee (pour le produit scalaire usuel deRn) deEi

dans laquelle la matrice degiest diagonale.

2)d) D´eduire de 2)c) qu"il existe une base orthonorm´ee (ε1,...,εn) deRndans laquelle les

matrices defetgsont toutes deux diagonales.

3) Exprimer matriciellement (sansfetg) sous forme d"une proposition ce que l"on a d´emontr´e

dans 2). Exercice 31) SoitNune matrice sym´etrique positive. Montrer qu"il existe une matriceH sym´etrique telle queHH=N. (Indication : utiliser le th´eor`eme sur la diagonalisation des matrices sym´etriques).

2) SoitMune matricen×ninversible telle que la matricetMMest diagonale. Montrer

qu"il existe une matrice sym´etrique d´efinie positiveHet une matrice unitaireUtelles que M=UH. (Indication : consid´erer la matricetMMet prendreHcomme la "racine carr´ee de cette matrice").

3) G´en´eraliser la conclusion pr´ec´edente pourMinversible quelconque.

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