[PDF] Sur Les Train Algèbres De Degré Quatre: Structures Et Classifications

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Communications in Algebra

Publication details, including instructions for authors and subscription information: http://www.tandfonline.com/loi/lagb20 Sur Les Train Algèbres De Degré Quatre: Structures Et

Classifications

Cristián Mallol a , Michelle Nourigat b & Richard Varro b a Department of Mathematical Engineering , U.F.R.O , Temuco, Chile b Department of Mathematics and Informatics , U.P.V , Montpellier, France

Published online: 09 Feb 2009.

To cite this article: Cristián Mallol , Michelle Nourigat & Richard Varro (2009) Sur Les Train Algèbres De Degré Quatre:

Structures Et Classifications, Communications in Algebra, 37:2, 532-547, DOI: 10.1080/00927870802251146

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Communications in Algebra

, 37: 532-547, 2009

Copyright © Taylor & Francis Group, LLC

ISSN: 0092-7872 print/1532-4125 online

DOI: 10.1080/00927870802251146

SUR LES TRAIN ALGÈBRES DE DEGRÉ QUATRE:

STRUCTURES ET CLASSIFICATIONS

Cristián Mallol

1 , Michelle Nourigat 2 , and Richard Varro 2 1 Department of Mathematical Engineering, U.F.R.O, Temuco, Chile 2 Department of Mathematics and Informatics, U.P.V, Montpellier, France We study train algebras of fourth degree, give some genetic examples and explicit the plenary train identities associated. These algebras fall ultimately into four classes; the first two of them do not have 1/2 as train root and thus have idempotents. For these types we provide structure theorems, which are then used for classification purposes in small dimensions. Key Words:Peirce Decomposition; Plenary train algebras; Principal train algebras.

2000 Mathematics Subject Classification:17D92.

1. INTRODUCTION

Une algèbre pondérée est une paire?A???formée d"uneK-algèbreAsur un corps commutatifKet d"un morphisme non nul d"algèbres??A→K, appelé pondération deA. Cette notion, introduite par Etherington (1940/1945), est à la base de l"étude de nombreuses algèbres non associatives qui interviennent dans la modélisation algèbrique de la Génétique (cf. Lyubich, 1992; Lynn Reed, 1997;

Worz-Busekros, 1980).

Étant donnée uneK-algèbre commutative pondérée?A????pourx?Aon définitL x ?A→A,z?→xzet les puissances principales dex?Aparx k+1 =L kx x? Une algèbre commutative pondérée?A???est une train algèbre de degrénsi et seulement si tout élémentxdeAvérifie l"identité?-polynomiale: x n n-1 k=1 k ??x? n-k x k =0? l"entiern≥2 pour lequel cette identité est vérifiée étant minimal.

On a:?

n-1 k=1 k =1. Par ailleurs, on sait qu"une algèbre pondérée?A???est une train algèbre d"équationx n n-1 k=1 k ??x? n-k x k si et seulement siy n n-1 k=1 k y k pour touty?A,??y?=1. Ceci est équivalent à dire qu"il existe un polynôme unitaireT?K?X?de degrén-1 tel queT?L y ?y=0 pour touty?A,??y?=1.

La minimalité du degré de la train algèbre entraîne l"unicité de ce polynôme; il est

Received May 14, 2007; Revised January 8, 2008. Communicated by A. Elduque. Address correspondence to Cristián Mallol, Department of Mathematical Engineering, U.F.R.O, Casilla 54-D, Temuco, Chile; Fax: +56-45-325359; E-mail: cmallol@ufro.cl

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SUR LES TRAIN ALGÈBRES DE DEGRÉ QUATRE 533

appelé le train polynôme deAet les racines de ce polynôme sont appelées les train racines principales. La structure algèbrique de la décomposition de Peirce des train algèbres de degrénadmettant un idempotent est étudiée dans Guzzo (1994) quand les train racines principales sont deux à deux distinctes et dans Gutierrez Fernandez (2000) quand les train racines sont multiples. Pour les train algèbres de degré 4, on sait d"après Lopez-Sanchez and Rodriguez (1996) que si 1 2 nest pas train racine alors elles admettent un idempotent et par Mallol and Varro (2002), que si lune des train racines vaut 1 2 on ne peut assurer ni lexistence ni la non-existence dun idempotent, plus précisément il existe dans ce cas, en toute dimension, des train algèbres de degré 4 admettant un idempotent et dautres pas.

2. EXEMPLES GÉNÉTIQUES

2.1. Hérédité de Deux Caractères Autosomiques

Partiellement Liés

Étant donnés, dans une population d"individus diploïdes, deux locus autosomiques partiellement liés d"allèles?a i et?b j 1 2 est le taux de recombinaison entre ces deux locus, la loi dalgèbre dé"nie sur lespace engendré par (a i ?b j ?a i ?b j ??a p ?b q ?=1-? 2?a i ?b j +a p ?b q 2?a i ?b q +a p ?b j modélise les résultats de la méiose à ces deux locus. Etherington (1939) a montré que cette algèbre est train de degré 3 de polynôme?X-1??X- 1-? 2 ?. Par conséquent la dupliquée commutative de cette algèbre, qui permet d"obtenir la distribution des génotypes dans la descendance, est train de degré 4 de polynômeX?X-1??X- 1-? 2

2.2. Hérédité d"un Caractère Di-Allélique à un Locus

Autotétraploïde

Considérons chez des individus autotétraploïdes un gène ayant pour allèlesa etb?Représentons parD k =a k b 4-k allèlesaet 4-kallèlesb. La loi d"algèbre définie sur l"espace vectoriel de base ?D 0 ?????D 4 ?par: D i D j =1 6 5 k=0 ?i+j k?? 4-i-j 2-k? D k donne la distribution en fréquences des gamètes de typeD 0 ?????D 4 produit par un individu de génotypea i+j b

4-?i+j?

?Etherington (1939) a établi que cette algèbre est train de polynôme?X-1??X- 1 6 ??On en déduit que son algèbre dupliquée, qui donne la distribution en fréquences de la descendance des croisementsa i+j b

4-?i+j?

a p+q b

4-?p+q?

?est train de degré 4 et de polynômeX?X-1??X- 1 6

2.3. Migration Entre Trois Populations

On considère des types génétiquesa

1 ?????a n , présents dans une population

subdivisée en trois colonies entre lesquelles ont lieu des migrations. Pour toutDownloaded by [The UC Irvine Libraries] at 15:26 03 March 2015

534 MALLOL ET AL.

ij la proportion par génération d"individus qui migrent de la coloniejvers la colonieiet on posem ii =1-? k?=i m ki ij et? m ki =1. On associe à cette population le?-espace vectorielAde base ?e 11 ?e 21
?e 31
?????e 1n ?e 2n ?e 3n ?et dans cette base la matriceM=diag?M 0 ?????M 0 ?où M 0 =?m ij . On munitAde la stucture algèbrique suivante:e ip e jq 1 2 M?e ip e jq ?. AlorsAest une algèbre de mutation (cf. Mallol and Varro, 2002) et six?t??A

est une distribution de fréquence à la générationtdes types génétiques considérés,

on ax?t+1?=x?t? 2 =Mx?t?. Par définitionMetM 0 ont le même polynôme minimal; comme pour toutx?A,??x?=1, on aM?x?=x 2 ,M 2 ?x?=2x 3 -x 2 et M 3 ?x?=4x 4 -2x 3 -x 2 on en déduit que si le polynôme minimal deM 0 est de degré

3 alors l"algèbreAest train de degré 4.

3. IDENTITÉS AUX PUISSANCES PLÉNIÈRES ASSOCIÉES

On suppose queKest un corps commutatif de caractéristique?=2?quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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