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SPÉCIALESPSI - LYCÉEBUFFON

COURS

ALGÈBRE4 - ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS

I- PRODUIT SCALAIRE SUR UNR-EV.................................................................1

1. FORMES BILINÉAIRES SYMÉTRIQUES..................................................................1

2. PRODUIT SCALAIRE...........................................................................................1

3. EXEMPLES INCONTOURNABLES.........................................................................1

4. NORME EUCLIDIENNE.......................................................................................2

II- ORTHOGONALITÉ.............................................................................................3

1. VECTEURS ORTHOGONAUX................................................................................3

2. SOUS-ESPACES VECTORIELS ET ORTHOGONALITÉ...............................................3

III- ESPACES EUCLIDIENS......................................................................................4

1. BASES ORTHONORMÉES....................................................................................4

2. SUPPLÉMENTAIRE ORTHOGONAL.......................................................................4

3. PROJECTION ORTHOGONALE SUR UN SEV DE DIMENSION FINIE..........................4

4. PROCÉDÉ DEGRAM-SCHMIDT..........................................................................5

5. DISTANCE À UN SEV DE DIM FINIE.....................................................................5

6. FORMES LINÉAIRES ET ORTHOGONALITÉ............................................................5

Dans tout ce chapitre, E est un espace vectorielréelqui sera, sauf précision, dedimension quelconque.I- PRODUIT SCALAIRE SUR UNR-EV

1. FORMES BILINÉAIRES SYMÉTRIQUES

Uneforme bilinéaire symétriquesur E est une application?:E2→Rvérifiant : ??(x0,y0)?E2,??(·,y0):x?→?(x,y0) ?(x0,·):y?→?(x0,y)sont linéaires; (bilinéaire) ??(x,y)?E2,?(x,y)=?(y,x);(symétrique)DÉFINITION1Formes bilinéaires symétriques REMARQUE: En pratique, on commence par la propriété?(symétrie) et on poursuit avec la

linéarité par rapport à l"une des variables, la bilinéarité(?) s"ensuit.2. PRODUIT SCALAIRE

Unproduit scalairesur E est une fbs sur E qui vérifie de plus : ??x?E,?(x,x)?0;(positive) ??x?E,?(x,x)=0=?x=0.(définie) ou de façon équivalente : ?+??x?E\{0E},?(x,x)>0

NOTATION:en général, le produit scalaire des vecteursxetyse note?x|y?ou (x|y).DÉFINITION2Produit scalaireUnespace préhilbertien réelest un espace vectoriel réel muni d"un produit scalaire.

Un espaceeuclidienest un espace préhilbertien réel de dimension finie.DÉFINITION3Espace préhilbertien réel

3. EXEMPLES INCONTOURNABLES•DansRn.?X|Y?=n?

i=1xiyidéfinit un produit scalaire. Expression matricielle : ?X|Y? =n? i=1x iyi=X?Y

On l"appelleproduit scalaire canoniquedeRn.

?1?

ALGÈBRE4- ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELSSPÉCIALESPSI - LYCÉEBUFFON•DansMnR.?A|B? =tr?A?B?définit un produit scalaire surMn(R) appeléproduit sca-

laire canoniquedeMn(R). Ce n"est autre que l"analogue du produit scalaire canoniquedeRn, en effet son expres- sion en fonction des coefficients est ?A|B?=tr?A?B?=?

1?i,j?na

ijbij

•Polynômes.

?P|Q?=∞? k=0a kbk où les (ak) et (bk) sont les coefficients de P et Q définit un produit scalaire surR[X]. On l"appelle leproduit scalaire canoniquedeR[X]. •Fonctions continues sur un segment. SiaCe n"est plus un produit scalaire surCpm([a,b]).La seule propriété non triviale est à chaque fois la propriété?(séparation). On utilise

une des propriétés suivantes (à apprendre par coeur) : "Une somme (finie) de carrés est nulle ssi tous les termes de lasomme sont nuls." "La somme d"une SATP est nulle ssi le terme général de la sérieest nul." "L"intégrale d"une fonctioncontinuepositive est nulle ssi la fonction est identiquement nulle." (valable que l"intervalle d"intégration soit un segment oupas)

"Un polynôme admettant strictement plus de racines que son degré est le polynôme nul."REMARQUE

4. NORME EUCLIDIENNE

Soit E un espace préhilbertien réel.

On définit lanorme euclidienned"un vecteur par :?x?=? ?x|x?.

DÉFINITION4Norme euclidienne

Pour tout (x,y)?E2:

• ?x+y?2=?x?2+?y?2+2?x|y?(identité remarquable) • ?x-y?2=?x?2+?y?2-2?x|y?(identité remarquable)

• ?x?2-?y?2=?x+y|x-y?(identité remarquable)

•2?x?2+2?y?2=?x+y?2+?x-y?2(identité du parallélogramme)

• ?x|y?=1

2??x+y?2-?x?2-?y?2?(identité de polarisation)

• ?x|y?=14??x+y?2-?x-y?2?(identité de polarisation) PROPOSITION1IdentitésPour tout (x,y)?E2,|?x|y?|??x??y?

De plus l"égalité a lieu si et seulement sixetysont liés.PROPOSITION2Inégalité deCAUCHY-SCHWARZPour tout (x,y)?E2,?x+y???x?+?y?

De plus l"égalité a lieu si et seulement sixetysont positivement colinéaires.PROPOSITION3Inégalité deMINKOWSKI(triangulaire)

On en déduit l"inégalité triangulaire inversée :???x?-?y?????x-y?

et son cas d"égalité :xetysont positivement colinéaires.REMARQUELa norme euclidienne est une norme.PROPOSITION4

Un vecteur estunitaireounormélorsque sa norme vaut 1.DÉFINITION5Vecteur unitaire ?2? ALGÈBRE4- ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELSSPÉCIALESPSI - LYCÉEBUFFONII- ORTHOGONALITÉ

1. VECTEURS ORTHOGONAUX

Les vecteursxetysontorthogonauxlorsque?x|y?=0.

NOTATION:x?y.DÉFINITION6Vecteurs orthogonaux

Le seul vecteur orthogonal à tout vecteur vecteur de E est le vecteur nul :

x=0E?? ?y?E,?x|y?=0REMARQUEUne famille de vecteurs de E estorthogonalelorsque ses vecteurs sont orthogonaux

deux à deux. Une famille de vecteurs de E estorthonorméelorsque ses vecteurs sont orthogonaux deux à deux et unitaires.DÉFINITION7Familles orthogonalesx?y?? ?x+y?2=?x?2+?y?2

Si (x1,...,xn) est orthogonale alors???n?

i=1xi???2=n?

i=1?xi?2(réciproquefausse pourn?3)THÉORÈME1PythagoreToute famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre.PROPOSITION5

Toute famille orthonormée est donc libre.REMARQUE

2. SOUS-ESPACES VECTORIELS ET ORTHOGONALITÉ

Deux parties A et B de E sontorthogonalessi?a?A,?b?B,?a|b?=0. On note alors A?B.DÉFINITION8Parties orthogonales

Soit A une partie de E. L"orthogonal deA est A?=?x?E /?a?A,?x|a?=0?DÉFINITION9Orthogonal d"une partieSi A?B alors B??A?PROPOSITION6Orhogonalité et inclusionSoit E un espace préhilbertien réel et A une partie non vide deE. Alors :

•A?est un sous-espace vectoriel de E,

•A?=(VectA)?,

•A?(A?)?.PROPOSITION7Si F1,...Fpsont des sous-espaces vectoriels 2 à 2 orthogonaux alors ilssont en somme

directe.

On note alors : F

1??F2??...??FpPROPOSITION8

En particulier, F et F?sont en somme directe.

Attention, ils ne sont pas nécessairement supplémentaire!(cf.TD).Onverra un peu plus loin qu"une condition suffisante pour qu"ils le soient est que F est de dimension finie. ?3?

ALGÈBRE4- ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELSSPÉCIALESPSI - LYCÉEBUFFONIII- ESPACES EUCLIDIENS

Unespace euclidienest un espace préhilbertien réel de dimension finie. EXEMPLE DE RÉFÉRENCE:Rnmuni de son produit scalaire canonique.DÉFINITION10Espace euclidien

1. BASES ORTHONORMÉES

Tout espace euclidien admet une base orthonormée.THÉORÈME2Existence de BONSoitB=(e1,...,en) une base orthonormée de E. Pourx((x

1... x n))

Bety((y

1... y n))

B, on a :

•?x|y?=n? i=1xiyi=X?Y •?x?2=n? i=1x2 i=X?X •?i??1,n?,xi=?x|ei?soit :x=n? i=1?x|ei?eiPROPOSITION9Coordonnées dans une BON

2. SUPPLÉMENTAIRE ORTHOGONALOn rappelle que si F est un sev de E, F et F?sont en somme directe. Mais ils ne sont pas, en

toute généralité, nécessairement supplémentaires. Un cas particulier où ils le sont est lorsque F est de dimension finie. Soit E un espace préhilbertien réel (de dim quelconque) et F un sous-espace vectoriel dedimension finiede E.

Alors F

?est un supplémentaire de F dans E, qu"on appellesupplémentaire orthogonal

de F dans E.THÉORÈME3Supplémentaire orthogonalDans E euclidien, toute famille orthonormée de vecteurs de Epeut être complétée en

une base orthonormée de E.COROLLAIRE1Théorème de la base orthonormée incomplète

Si F est un sev dedimension finiede E (de dimension quelconque) alors (F?)?=FCOROLLAIRE2Double orthogonalDans le cas où E est euclidien (de dimension finien) et F et G sont des sev de E :

•E=F??(F?)

•(F?)?=F

•dimF?=n-dimF

•(F+G)?=F?∩G?et (F∩G)?=F?+G?COROLLAIRE3Propriétés des orthogonaux

3. PROJECTION ORTHOGONALE SUR UN SEV DE DIMENSION FINIE

Soient E un espace préhilbertien (de dim quelconque) F un sevde dimension finiede

E (alors E=F??F?).

•Laprojection orthogonalesur F est la projection sur F parallèlement à F?.

•Lasymétrie orthogonalepar rapport à F est la symétrie par rapport à F parallèlement

à F

?.DÉFINITION11Projectionet symétrie orthogonalesSoitpun projecteur.pest une projection orthogonale??kerp?Imp.PROPOSITION10Soit F un sev dedimension finiede E (de dimension quelconque).

L"expression de laprojection orthogonale sur F dansune BONB=(e1,...,ep)deF est : ?x?E,pF(x)=p? i=1?x|ei?eiPROPOSITION11Expression de la projection orthogonale ?4?

ALGÈBRE4- ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELSSPÉCIALESPSI - LYCÉEBUFFON4. PROCÉDÉ DEGRAM-SCHMIDT

Soit E un espace euclidien etF=(e1,...,en) une famille libre de E. Il existe une famille orthonormée (u1,...,un) telle que : ?k??1,n?, Vect(u1,...,uk)=Vect(e1,...,ek)

Cette famille est unique avec la condition supplémentaire :?k??1,n?,?ek|uk?>0.THÉORÈME4ProcédédeGRAM-SCHMIDT

On retiendra, en notantpk-1est la projection orthogonale sur Vect(e1,...,ek-1) : u 1=1 ?e1?e1 u k=1?vk?vkoùvk=ek-k-1? i=1?ui|ek?ui=ek-pk-1(ek) EN PRATIQUELa matrice de passage deFàUest triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs.REMARQUE

5. DISTANCE À UN SEV DE DIM FINIE

Soit E un espace préhilbertien réel, F un sous-espace vectorielde dimension finiede

E etxun vecteur de E.

La fonction?x:????F→R+

y?→ ?x-y?atteint son minimum en un vecteur et un seul; il s"agit depF(x).THÉORÈME5 Soit E un espace préhilbertien réel, F un sous-espace vectorielde dimensionfiniede E etxun vecteur de E. On appelledistance de x àF le réel d(x,F)=infy?F?x-y? =??x-pF(x)?? Avec PYTHAGORE, d2(x,F)=?x?2-??pF(x)??2DÉFINITION12Distance à un sous-espace vectoriel de F à l"aide du procédé de GRAM-SCHMIDTet on applique la formule vue ci-dessus.

Les calculs sont lourds dès quen?3.

ASTUCE:on projettera sur le "plus petit» des deux parmi F et F?, l"autre s"en déduira. MÉTHODE ALTERNATIVE:on pourra, si (ei)1?i?nest une base quelconque de F, écrire y=pF(x)???y?F x-y?F?

•La 1recondition donney=n?

i=1yiei, les inconnues sont lesyi

•la 2econdition donnex-n?

i=1yieiorthogonal à tous lesei ce qui fournit un système linéaire den=dimF équations en lesninconnuesyiqu"il reste à résoudre.

Les calculs sont parfois moins lourds.EN PRATIQUE

6. FORMES LINÉAIRES ET ORTHOGONALITÉ

Soit E un espace euclidien et?une forme linéaire sur E.

Il existe un uniquea?E tel que

?x?E,?(x)=?x|a?

Un tel vecteuraest ditnormalà l"hyperplan ker?.PROPOSITION12Dualité orthogonaleSoit E euclidien et F=a?un hyperplan de E. Alors d(x,F)=|?x|a?|

?a?. PROPOSITION13Distance d"un vecteur à un hyperplan ?5?quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32
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