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COURSALGÈBRE4 - ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS
I- PRODUIT SCALAIRE SUR UNR-EV.................................................................11. FORMES BILINÉAIRES SYMÉTRIQUES..................................................................1
2. PRODUIT SCALAIRE...........................................................................................1
3. EXEMPLES INCONTOURNABLES.........................................................................1
4. NORME EUCLIDIENNE.......................................................................................2
II- ORTHOGONALITÉ.............................................................................................3
1. VECTEURS ORTHOGONAUX................................................................................3
2. SOUS-ESPACES VECTORIELS ET ORTHOGONALITÉ...............................................3
III- ESPACES EUCLIDIENS......................................................................................4
1. BASES ORTHONORMÉES....................................................................................4
2. SUPPLÉMENTAIRE ORTHOGONAL.......................................................................4
3. PROJECTION ORTHOGONALE SUR UN SEV DE DIMENSION FINIE..........................4
4. PROCÉDÉ DEGRAM-SCHMIDT..........................................................................5
5. DISTANCE À UN SEV DE DIM FINIE.....................................................................5
6. FORMES LINÉAIRES ET ORTHOGONALITÉ............................................................5
Dans tout ce chapitre, E est un espace vectorielréelqui sera, sauf précision, dedimension quelconque.I- PRODUIT SCALAIRE SUR UNR-EV1. FORMES BILINÉAIRES SYMÉTRIQUES
Uneforme bilinéaire symétriquesur E est une application?:E2→Rvérifiant : ??(x0,y0)?E2,??(·,y0):x?→?(x,y0) ?(x0,·):y?→?(x0,y)sont linéaires; (bilinéaire) ??(x,y)?E2,?(x,y)=?(y,x);(symétrique)DÉFINITION1Formes bilinéaires symétriques REMARQUE: En pratique, on commence par la propriété?(symétrie) et on poursuit avec lalinéarité par rapport à l"une des variables, la bilinéarité(?) s"ensuit.2. PRODUIT SCALAIRE
Unproduit scalairesur E est une fbs sur E qui vérifie de plus : ??x?E,?(x,x)?0;(positive) ??x?E,?(x,x)=0=?x=0.(définie) ou de façon équivalente : ?+??x?E\{0E},?(x,x)>0NOTATION:en général, le produit scalaire des vecteursxetyse note?x|y?ou (x|y).DÉFINITION2Produit scalaireUnespace préhilbertien réelest un espace vectoriel réel muni d"un produit scalaire.
Un espaceeuclidienest un espace préhilbertien réel de dimension finie.DÉFINITION3Espace préhilbertien réel
3. EXEMPLES INCONTOURNABLESDansRn.?X|Y?=n?
i=1xiyidéfinit un produit scalaire. Expression matricielle : ?X|Y? =n? i=1x iyi=X?YOn l"appelleproduit scalaire canoniquedeRn.
?1?ALGÈBRE4- ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELSSPÉCIALESPSI - LYCÉEBUFFONDansMnR.?A|B? =tr?A?B?définit un produit scalaire surMn(R) appeléproduit sca-
laire canoniquedeMn(R). Ce n"est autre que l"analogue du produit scalaire canoniquedeRn, en effet son expres- sion en fonction des coefficients est ?A|B?=tr?A?B?=?1?i,j?na
ijbijPolynômes.
?P|Q?=∞? k=0a kbk où les (ak) et (bk) sont les coefficients de P et Q définit un produit scalaire surR[X]. On l"appelle leproduit scalaire canoniquedeR[X]. Fonctions continues sur un segment. Sia"Un polynôme admettant strictement plus de racines que son degré est le polynôme nul."REMARQUE
4. NORME EUCLIDIENNE
Soit E un espace préhilbertien réel.
On définit lanorme euclidienned"un vecteur par :?x?=? ?x|x?.DÉFINITION4Norme euclidienne
Pour tout (x,y)?E2:
?x+y?2=?x?2+?y?2+2?x|y?(identité remarquable) ?x-y?2=?x?2+?y?2-2?x|y?(identité remarquable) ?x?2-?y?2=?x+y|x-y?(identité remarquable)
2?x?2+2?y?2=?x+y?2+?x-y?2(identité du parallélogramme) ?x|y?=1
2??x+y?2-?x?2-?y?2?(identité de polarisation)
?x|y?=14??x+y?2-?x-y?2?(identité de polarisation) PROPOSITION1IdentitésPour tout (x,y)?E2,|?x|y?|??x??y?De plus l"égalité a lieu si et seulement sixetysont liés.PROPOSITION2Inégalité deCAUCHY-SCHWARZPour tout (x,y)?E2,?x+y???x?+?y?
De plus l"égalité a lieu si et seulement sixetysont positivement colinéaires.PROPOSITION3Inégalité deMINKOWSKI(triangulaire)
On en déduit l"inégalité triangulaire inversée :???x?-?y?????x-y?et son cas d"égalité :xetysont positivement colinéaires.REMARQUELa norme euclidienne est une norme.PROPOSITION4
Un vecteur estunitaireounormélorsque sa norme vaut 1.DÉFINITION5Vecteur unitaire ?2? ALGÈBRE4- ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELSSPÉCIALESPSI - LYCÉEBUFFONII- ORTHOGONALITÉ1. VECTEURS ORTHOGONAUX
Les vecteursxetysontorthogonauxlorsque?x|y?=0.
NOTATION:x?y.DÉFINITION6Vecteurs orthogonaux
Le seul vecteur orthogonal à tout vecteur vecteur de E est le vecteur nul :x=0E?? ?y?E,?x|y?=0REMARQUEUne famille de vecteurs de E estorthogonalelorsque ses vecteurs sont orthogonaux
deux à deux. Une famille de vecteurs de E estorthonorméelorsque ses vecteurs sont orthogonaux deux à deux et unitaires.DÉFINITION7Familles orthogonalesx?y?? ?x+y?2=?x?2+?y?2Si (x1,...,xn) est orthogonale alors???n?
i=1xi???2=n?i=1?xi?2(réciproquefausse pourn?3)THÉORÈME1PythagoreToute famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre.PROPOSITION5
Toute famille orthonormée est donc libre.REMARQUE2. SOUS-ESPACES VECTORIELS ET ORTHOGONALITÉ
Deux parties A et B de E sontorthogonalessi?a?A,?b?B,?a|b?=0. On note alors A?B.DÉFINITION8Parties orthogonalesSoit A une partie de E. L"orthogonal deA est A?=?x?E /?a?A,?x|a?=0?DÉFINITION9Orthogonal d"une partieSi A?B alors B??A?PROPOSITION6Orhogonalité et inclusionSoit E un espace préhilbertien réel et A une partie non vide deE. Alors :
A?est un sous-espace vectoriel de E,
A?=(VectA)?,
A?(A?)?.PROPOSITION7Si F1,...Fpsont des sous-espaces vectoriels 2 à 2 orthogonaux alors ilssont en somme
directe.On note alors : F
1??F2??...??FpPROPOSITION8
En particulier, F et F?sont en somme directe.
Attention, ils ne sont pas nécessairement supplémentaire!(cf.TD).Onverra un peu plus loin qu"une condition suffisante pour qu"ils le soient est que F est de dimension finie. ?3?ALGÈBRE4- ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELSSPÉCIALESPSI - LYCÉEBUFFONIII- ESPACES EUCLIDIENS
Unespace euclidienest un espace préhilbertien réel de dimension finie. EXEMPLE DE RÉFÉRENCE:Rnmuni de son produit scalaire canonique.DÉFINITION10Espace euclidien1. BASES ORTHONORMÉES
Tout espace euclidien admet une base orthonormée.THÉORÈME2Existence de BONSoitB=(e1,...,en) une base orthonormée de E. Pourx((x
1... x n))Bety((y
1... y n))B, on a :
•?x|y?=n? i=1xiyi=X?Y •?x?2=n? i=1x2 i=X?X •?i??1,n?,xi=?x|ei?soit :x=n? i=1?x|ei?eiPROPOSITION9Coordonnées dans une BON2. SUPPLÉMENTAIRE ORTHOGONALOn rappelle que si F est un sev de E, F et F?sont en somme directe. Mais ils ne sont pas, en
toute généralité, nécessairement supplémentaires. Un cas particulier où ils le sont est lorsque F est de dimension finie. Soit E un espace préhilbertien réel (de dim quelconque) et F un sous-espace vectoriel dedimension finiede E.Alors F
?est un supplémentaire de F dans E, qu"on appellesupplémentaire orthogonalde F dans E.THÉORÈME3Supplémentaire orthogonalDans E euclidien, toute famille orthonormée de vecteurs de Epeut être complétée en
une base orthonormée de E.COROLLAIRE1Théorème de la base orthonormée incomplèteSi F est un sev dedimension finiede E (de dimension quelconque) alors (F?)?=FCOROLLAIRE2Double orthogonalDans le cas où E est euclidien (de dimension finien) et F et G sont des sev de E :
E=F??(F?)
(F?)?=F
dimF?=n-dimF
(F+G)?=F?∩G?et (F∩G)?=F?+G?COROLLAIRE3Propriétés des orthogonaux3. PROJECTION ORTHOGONALE SUR UN SEV DE DIMENSION FINIE
Soient E un espace préhilbertien (de dim quelconque) F un sevde dimension finiedeE (alors E=F??F?).
Laprojection orthogonalesur F est la projection sur F parallèlement à F?.Lasymétrie orthogonalepar rapport à F est la symétrie par rapport à F parallèlement
à F
?.DÉFINITION11Projectionet symétrie orthogonalesSoitpun projecteur.pest une projection orthogonale??kerp?Imp.PROPOSITION10Soit F un sev dedimension finiede E (de dimension quelconque).
L"expression de laprojection orthogonale sur F dansune BONB=(e1,...,ep)deF est : ?x?E,pF(x)=p? i=1?x|ei?eiPROPOSITION11Expression de la projection orthogonale ?4?ALGÈBRE4- ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELSSPÉCIALESPSI - LYCÉEBUFFON4. PROCÉDÉ DEGRAM-SCHMIDT
Soit E un espace euclidien etF=(e1,...,en) une famille libre de E. Il existe une famille orthonormée (u1,...,un) telle que : ?k??1,n?, Vect(u1,...,uk)=Vect(e1,...,ek)Cette famille est unique avec la condition supplémentaire :?k??1,n?,?ek|uk?>0.THÉORÈME4ProcédédeGRAM-SCHMIDT
On retiendra, en notantpk-1est la projection orthogonale sur Vect(e1,...,ek-1) : u 1=1 ?e1?e1 u k=1?vk?vkoùvk=ek-k-1? i=1?ui|ek?ui=ek-pk-1(ek) EN PRATIQUELa matrice de passage deFàUest triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs.REMARQUE5. DISTANCE À UN SEV DE DIM FINIE
Soit E un espace préhilbertien réel, F un sous-espace vectorielde dimension finiedeE etxun vecteur de E.
La fonction?x:????F→R+
y?→ ?x-y?atteint son minimum en un vecteur et un seul; il s"agit depF(x).THÉORÈME5 Soit E un espace préhilbertien réel, F un sous-espace vectorielde dimensionfiniede E etxun vecteur de E. On appelledistance de x àF le réel d(x,F)=infy?F?x-y? =??x-pF(x)?? Avec PYTHAGORE, d2(x,F)=?x?2-??pF(x)??2DÉFINITION12Distance à un sous-espace vectoriel de F à l"aide du procédé de GRAM-SCHMIDTet on applique la formule vue ci-dessus.Les calculs sont lourds dès quen?3.
ASTUCE:on projettera sur le "plus petit» des deux parmi F et F?, l"autre s"en déduira. MÉTHODE ALTERNATIVE:on pourra, si (ei)1?i?nest une base quelconque de F, écrire y=pF(x)???y?F x-y?F?La 1recondition donney=n?
i=1yiei, les inconnues sont lesyila 2econdition donnex-n?
i=1yieiorthogonal à tous lesei ce qui fournit un système linéaire den=dimF équations en lesninconnuesyiqu"il reste à résoudre.Les calculs sont parfois moins lourds.EN PRATIQUE
6. FORMES LINÉAIRES ET ORTHOGONALITÉ
Soit E un espace euclidien et?une forme linéaire sur E.Il existe un uniquea?E tel que
?x?E,?(x)=?x|a?Un tel vecteuraest ditnormalà l"hyperplan ker?.PROPOSITION12Dualité orthogonaleSoit E euclidien et F=a?un hyperplan de E. Alors d(x,F)=|?x|a?|
?a?. PROPOSITION13Distance d"un vecteur à un hyperplan ?5?quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] algèbre bilinéaire forme quadratique
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