[PDF] [PDF] HYPERBOLE - Toutes les Maths

View - Download [PDF] HYPERBOLE - Toutes les Maths

Previous PDF

Next PDF

HYPERBOLE

Le but de ce qui suit est de décrire rapidement et simplement les principales propriétés de l"hyperbole, comme nous

l"avons fait dans le chapitre 15 de TLM1 pour l"ellipse et la parabole. Pour une introduction uni...ée des coniques (ellipse,

parabole et hyperbole) par foyer et directrice et une étude plus approfondie de leurs propriétés, voir le complémentConiques

sur le site http ://touteslesmaths.fr. Dans tout ce qui suit, le plan est rapporté à un repère orthonormé.

1 Dé...nition de l"hyperbole

Soientaetbdeux nombres réels positifs. Nous dé...nissons l"hyperbole(H)de paramètresaetbpar son équation

cartésienne réduite :x2a 2-y2b

2=1(1)

On notera l"analogie de cette équation avec celle de l"ellipse x2a 2+y2b 2=1:

Comme l"ellipse, l"hyperbole

(H)admetOxetOycomme axes de symétrie, etOcomme centre de symétrie. A l"aide de la relation ch

2t-sh2t=1(TLM1 page 142), on voit que,pourx0;l"hyperbole(H)d"équation cartésienne(1)admet la

représentation paramétrique : x=acht; y=bsht(2)

On notera que la représentation paramétrique ne permet de décrire que les points de l"hyperbole d"abscisse positive, car

cht0pour touttréel.

La représentation paramétrique va nous donner l"allure de l"hyperbole. On fait variertentre0et+1;car le changement

t -tcorrespond à la symétrie par rapport àOx:On ax0=ashtety0=bcht:D"où les variations simultanées dexety:x't

x yy'0 +0 +a 0+1 +1 +1Au point de paramètret=0;on a une tangente verticale. Lorsquet!+1;on a une branche in...nie.

On calcule d"abord lim

t!+1yx =limt!+1ba tht=ba :On calcule ensuite : lim t!+1 y-ba x =limt!+1[b(sht-cht)]=limt!+1-be-t=0:

Donc la droite d"équationy=ba

xest asymptote oblique à l"hyperbole.

En utilisant les symétries par rapport àOxetOy, on obtient sa représentation graphique (...gure 1 page suivante).

Remarque 1Par analogie avec le cas du cercle et de l"ellipse (TLM1, page 179), on voit que la forme générale de

l"équation cartésienne d"une hyperbole dont les axes sont parallèles aux axes de coordonnées est :

TLM1Sections coniques2(

x-x )2a

2-(y-y

)2b

2=1:(3)

Cette hyperbole est centrée en

(x ;y ):Si le second membre vaut-1;les rôles dexetysont inversés et l"hyperbole se présente comme dans la ...gure 2 ci-dessous.O

Figure 1xayy =b

ax y =b axxy

OFigure2W2 Foyers et excentricité

Revenons à l"équation réduite

(1):On dé...nit lademi distance focalecde l"hyperbole par c=pa

2+b2(4)

et lesfoyersFetF0comme les points de coordonnées(c;0)et(-c;0):On retiendra que(4)s"écrit aussic2=a2+b2, ce qui

revient au théorème de Pythagore. Comme le coe¢ cient directeur de l"asymptote oblique est ba ; aetbpeuvent s"interpréter

comme indiqué sur la ...gure3:Pour obtenir géométriquement les foyers de l"hyperbole, on reportera au compas la longueur

cà partir du centreO.Axe focalO

Figure 3F'cc

abAxe non focal FA'ApComme pour l"ellipse, l"excentricitéede l"hyperbole est dé...nie par e=ca :(5)

Puisquec=pa

2+b2> a;dans le cas de l"hyperbole on ae > 1:

3 Propriétés bifocale et paramètre

constante. Plus précisément,pour tout pointMde l"hyperbole(H), on a j

FM-F0Mj=2a(6)

TLM1Sections coniques3Cette relation est à comparer à la propriété bifocale de l"ellipse (formule 15.6 page 180 de TLM1). Voir l"exercice 4

ci-dessous pour la démonstration.

En...n, le paramètrepde l"hyperbole (à ne pas confondre avec le paramètretqui sert à dé...nir la représentation paramé-

trique) est la distance entre un des foyers et le point de l"hyperbole obtenu quand on remonte perpendiculairement à l"axe

focal, c"est-à-dire l"axe qui porte les foyers (voir ...gure 3). Comme pour l"ellipse, on démontre que

p=b2a :(7)

Le tableau ci-dessous résume les propriétés comparées de l"ellipse et de l"hyperbole.EllipseHyperbole

Equation réduirex

2a 2+y2b 2=1x 2a 2-y2b

2=1Représentation graphiqueFigure 15.2 (TLM1)Figure 3 ci-dessus

Foyersc=pa

2-b2c=pa

2+b2Excentricitée=cae=ca

Propriété bifocaleFM+F0M=2aj

FM-F0Mj=2aParamètrep=b2ap=b2a

4 Hyperbole en coordonnées polaires

Nous démontrons ici quela conique(C)d"équation polaire r=p1-ecos:(8)

oùp > 0ete > 1;est une hyperbole dont un des foyers estO;d"axe focalOx;d"excentricitéeet de paramètrep:

Ceci complète la description des coniques dé...nies par leur équation polaire (TLM1, remarque 15.3 page 183).

Pour démontrer ce résultat, on procède comme dans le cas où0 < e < 1(TLM1 page 181). On peut écrire

r=p1-ecos,r-ercos=p:

Puisquex=rcos;il vientr=p+ex:En élevant au carré, on obtientr2=p2+2epx+e2x2;c"est-à-direx2+y2=

p

2+2epx+e2x2:D"où l"équation cartésienne de(C):

(e2-1)x2+2epx-y2= -p2,x2+2epe

2-1x-y2e

2-1= -p2e

2-1:

On fait alors apparaître des débuts de développements de carrés. L"équation cartésienne de(C)s"écrit

x+epe 2-1 2 -e2p2(e2-1)2-y2e

2-1= -p2e

2-1; c"est-à-dire encore x+epe 2-1 2 -y2e

2-1=p2(

e2-1)2:(9)

Finalement, l"équation cartésienne de(C)est

x+epe 2-1 2 pe 2-1 2-y2 ppe 2-1 2=1: TLM1Sections coniques4On voit donc que(C)est une hyperbole de centre -epe 2-1;0 ;avec a=pe

2-1; b=ppe

2-1:

On en déduit immédiatement quec=pa

2+b2=epe

2-1: Ceci prouve bien que(C)est une hyperbole d"axe focalOx;de foyerO(...gure 4).O

Figure 4xy

WL"excentricité est

ca =e;et le paramètre estp(prendre=2 dans l"équation polaire), C.Q.F.D.

EXERCICES

Exercice 1Construire les hyperboles d"équationsx24 -y2=1etx29 -y24 = -1:

Dans chaque cas, on fera ...gurer les sommets et les foyers, et on calculera l"excentricitéeet le paramètrep:

Exercice 2On considère la courbe()d"équation polaire r=51-32 cos:

1) Quelle est la nature de

()? Donner son excentricité et son paramètre.

2) Calculera; b; c:

3) Déterminer les sommetsAetA0de l"hyperbole, qui correspondent à=0et=:

4) Construire

5) Donner l"équation cartésienne de

Exercice 3On donne deux points distincts du plan,FetF0:Construire à la règle et au compas les sommets et les

asymptotes de l"hyperbole de foyersFetF0;d"excentricitée=2:Tracer cette hyperbole. Exercice 4Démontrer la propriété bifocale de l"hyperbole. Exercice 5Soit la courbe () dé...nie par l"équation polairer=coscos2:

1) Montrer que l"équation cartésienne de () estx2-y2-x=0:

2) En déduire que () est une hyperbole dont on déterminera le centre, les foyers, l"excentricité et le paramètre.

TLM1Sections coniques5SOLUTIONS DES EXERCICES

Exercice 1Pour la première hyperbole,a=2etb=1:L"axe focal est doncOx;le centreO;l"axe non focalOy:On a

les asymptotes grâce au pointBvéri...antAB=b=1(...gure 6). Les foyers sont les intersections du cercle de centreOde

rayonOB=cavec l"axe focal etc=pa

2+b2=p5:Donce=ca

=p5 2 etp=b2a =12

Pour la deuxième, l"équation s"écrit

y24 -x29 =1après multiplication par-1:

Donca=2(c"est la valeur qui ...gure sous le terme positif) etb=3:Puisqueaest situé sousy;l"axe focal estOy;

le centreO;l"axe non focalOx:On obtient les asymptotes grâce au pointBvéri...antAB=b=2(...gure 7). Les foyers

sont les points d"intersection du cercle de centreOde rayonOB=cavec l"axe focal et on ac=pa

2+b2=p13:Donc

e=ca =p13 2 etp=b2a =92 :AA'B FF'

Figure 6Figure 7A'AF

F'BExercice 21) Il s"agit d"une conique, d"excentricitée=32 > 1: Donc()est une hyperbole d"axe focalOx;de foyerO;de paramètrep=5:

2) On sait quep=b2a

ete=ca =pa 2+b2a :Donc icib2=5aet9a24 =a2+b2, c"est-à-direb2=54 a2:

On en déduit que

54
a2=5a;d"où après simpli...cation par5a; a=4etb=2p5:En...nc=ea=6:

3) Pour=0;on ar= -10et!er=!i :Donc le sommetAa pour coordonnées cartésiennesx= -10; y=0:

Pour=;on ar=2et!er= -!i :Donc le sommetAa pour coordonnées cartésiennesx0= -2; y0=0:

4) On place d"abord les sommetsAetA0;puis le centre

à partir du foyerOcarc=6;et en...n les asymptotes:Le deuxième foyer estF:Voir ...gure 8.

5) Cette équation s"écrit

(x-x )2a

2-(y-y

)2b

2=1;c"est-à-dire(x+6)216

-y220 =1:Oxy FAA'Wquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

[PDF] parabole maths seconde

[PDF] parabole convexe

[PDF] parabole maths définition

[PDF] exercice losange 5eme

[PDF] exercice parallélogramme 5eme pdf corrigé

[PDF] loi de pareto exercices corrigés

[PDF] loi pareto exemple calcul

[PDF] exercice pareto maintenance

[PDF] diagramme de pareto cours pdf

[PDF] exemple pareto avec excel

[PDF] exercice corrigé pareto pdf

[PDF] diagramme de pareto-exemple d'application

[PDF] grandeur inversement proportionnelle definition

[PDF] partie entière et exercices corrigés

[PDF] résoudre équation partie entière pdf