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HYPERBOLE

parabole et hyperbole) par foyer et directrice et une étude plus approfondie de leurs propriétés voir le complément Coniques.



CONIQUES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr l'hyperbole (du grec huperbolê : huper = au dessus ; ballein = lancer).



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Corrigés des exercices Objectif Bac

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19 sept 2021 · Les grecs leur avaient donné comme nom : ellipse hyperbole parabole • La condition a + b = 0 signifie que les coefficients a et b ne 

  • Comment calculer le hyperbole ?

    (D), (D'), droites d'équation x = a2/c et x = – a2/c : directrices de l'hyperbole. K : pied de la directrice sur l'axe Ox. d = FK = b2/c . L'hyperbole est dite équilatère lorsque a = b, soit , c'est-à-dire lorsque les asymptotes sont perpendiculaires.

  • Quel est la fonction de l'hyperbole ?

    L'hyperbole du grec huper (au-dessus, au-delà) et ballein (lancer, jeter) consiste à exprimer une idée ou un sentiment de façon exagérée, qu'il s'agisse d'insister sur un point ou de produire une forte impression. Son emploi est extrêmement fréquent et elle prend de multiples formes.

  • Comment savoir si une courbe est une hyperbole ?

    En mathématiques, une hyperbole est une courbe plane obtenue comme la double intersection d'un double cône de révolution avec un plan. Elle peut également être définie comme conique d'excentricité supérieure à 1, ou comme ensemble des points dont la différence des distances à deux points fixes est constante.
  • Point milieu du segment joignant les foyers d'une hyperbole. Le centre d'une hyperbole est aussi le point de rencontre de ses axes de symétrie et de ses asymptotes.
[1-4]

Hyperboleetorthocentre

Problème

Dansunrepèreortho no rmé, onconsi dèretrois l'hyperboled'équation: , etl 'onnote l'orthocentredutriangle.

PartieIUtilisationdeGeogebra

ConstruirelafigureavecGeogebra,puisfaire varie r

lespoint setdel'hyp erbole().

Quelsembleêt relelieugéométriquedu point

lorsquelespoints,, etdécriventl'hyperbole ()enrest antdistinctsdeuxàdeux?

Danstoutelasuite, onnotelesabsci ssesde,

etrespectivement.Onaainsi: 1 1 1

PartieIIDémonstrationd'unLemme

Onsepr opose dedémontrerleLemme:"lespoints

A,BetCdeuxàdeuxdistin ct sdel'hyperbo lene

peuventpasêtrealignés».

Notonslad roitepassantparet.

1.Montrerquel'équationcartésienn eréduitedel a

droiteest: 1

2.Endéd uirequel'abscissed'unpointco mmunà

etvérifie:().

Montrerqu'ilnepeutpasyavoirtroi spoints

communsàet, puisconclure. LeLem meétantàprésentdémon tré,c'estdoncen toutelégitimitéqu el'onpeutparlerdutriangle.

PartieIIIEquationsdeshauteurs

1.Onnote laha uteurissuededutria ngle

a.Exprimerlescoordonnéesdeà l'aidede et. b.Soitun pointquelconquede.

Justifierque:= 0.

Endéd uirequ'uneéquationdeest:

()()1 1 1

2.Donnersansjustificationune équationdela

hauteurissuedeetdela hauteurissuede dutria ngle.

PartieIVCoordonnéesdupoints

1.Ondonn eunecopied'écranlorsde l'utili sationde

XCAS:

Expliquerpourquoionpeutconjecturerque:

1

2.Onsouhai tevérifierlaconjectureén oncéeàla

questionprécédente. a.Vérifierquelepointdecoo rdonnées: 1 appartientà. aussileséquatio nsdeetdeobtenuesen

III 2. Quereprése ntelepointpourle

triangle?

PartieVLieugéométriqued upoint

relation= . Quepeut- onendéduirepour?

2.Soitun pointquelconquede(). Montrerque

l'onpeuttrouver troispoints,,de(), distinctsdeuxàdeux,telsquesoit l'orthocentredutriangle.

3.Synthèse

Quelestlelie ugéométriqu edup oint?

1S Fin

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[2-4]

Corrigé

PartieI

Il semblequepourtouspoints,,distinctsdeuxà

deuxapparten antà, l'orthocentredutria ngle appartientà(), etqueto utpointdeest l'orthocentred'aumoinsuntriangle; onpeut doncraisonnablem entpenserque: " leli eugéométriqued upointestl'hyperb ole()».

PartieII

1.Montrerquel'équationcartésien neréduitede la

droiteest:

Supposonsque:.

Commeet, onendé duit,

puisenprenan tl'inve rserdecesdeuxnombres nonnuls: , c'est-à-dire:.

Onobti entalors:et, cequies t

incompatibleavecladonnée.

L'hypothèse"» doitparconséqu entêtre

rejetée,etl'onpeutaffirmerque .

Ladro iten'estasparallèleàl' axedes

ordonnéedeetiles tdonclé gitimedeche rcher l'équationcartésienneréduitede.

Notons()lec oefficientdirecteuret()

repère. L'équationcartésienneréduitede estdonc:()(). Ona: 1 1 ×1 1

Comme:, onendéd uitque:

1 donc: 1 1 1 1 1 +1

L'équationcartésiennedeestdoncbi en:

1

2.Endéd uirequel'abscissed'unpointcomm unà

et()vérifie:().Montrer qu'ilnepeutpasyavoir troispo intscommunsà et(), puisconclure.

Lespointsc ommunsàet()sontlespoints

dontlescoordonné esvérifien tlesystème: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

L'équationduseconddegréd'inconnue:

()admetauplusdeux solutions.

Or,d'unepar t:

etd'aut repart: donclesdeuxnombr esdistinc tsetsontdeux solutionsdel'équation().

Onendé duitquel adroiten'apasd'aut re

pointencommunavec()queet, orestun pointde()distinctdeetdist inctde, par conséquentladroitenepas sepaspar: les point,etnesontpasalignés.

On peutobtenirplus rapidementl'équation

cartésienned'unedroitedecoefficientdirec teur connuetquipa ssepar(;)enutil isantla formule:=()+.

Autreméthode

L'équation²(+)+=0estdela

forme²+=0avecsommedeet, etproduitdeet..

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[3-4]

PartieIIIEquationsdeshauteurs

1.Hauteurissuededutrian gle

a.Calculerlescoordonnéesde.

Ona:(;).

Or: ;1 et;1 donc: ;1 1 b.Soit(;)unpoint quelconquede.

Justifierque:.=.

.= 0.

Endéduir equ'uneéquationdeest:

utiliserl'expressionanal ytiqueduproduit scalaire:

Onobtien tdonc,enutilisantlescoo rdonnés

deet: .=()()+1 1 1 etcomme ceproduitscala ireestn ul,onen déduit: ()()+1 1 1 = 0 estdoncbien : ()()+1 1 1 = 0

2.Donnersansjustificationune équationdela

hauteurissuedeetdela hauteur issuede du triangle.

Parpermutatio ncirculaire,onobtient:

()()+1 1 1 = 0 et: ()()+1 1 1 = 0

PartieIVCoordonnéesdupoints

1.

Commelesdeux équationsd 'inconnue(;) sont

etqueestlepointde d'int ersectiondecesdeux droites,onpeutconjecturerque : 1

2.a.Vérifierquelepointdecoor données:

et appartientà. Ona: ()()+1 1 1 =()1 +1 1 1 =()1 + =()1 + 1 + =()× 0 = 0

Lescoordonné esdevérifientl'équation

, donc. b.Parpermutatio nscirculaires,ondéduit quelescoordo nnéesdevérifientles

Onendé duitquele pointappartientaux

troishauteurs dutriangle, doncquele pointestl'orthoce ntredecetriangle.

Lepoin tetlepoi ntsontconfondus, eton

peutàprésentaffirmerque: 1

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[4-4]

PartieVLieugéométriqued upoint

1.Ona:

1 =1 1 1 Ona:= cequip rouveque lepointH, orthocentredutriangle, appartientà().

2.Soit(); montronsqueestl'orthoc entre

d'aumoinsuntria ngle, avec(), ,(),,etdistinctsdeuxàdeux.

Nousallonsé tudierlestroissuivants( autres

découpagespossibles):

Rappelonsquel'ona:;

Onpose :

(1 ;1)()1

Cestroispo intsappartientà()etilss ont

distinctsdeuxàdeux. Ona: = 1× ()×1 1 puis: 1 1 1 1 1 = y etdonc :.

Onvient doncdetrouvert roispoints,de

(), distinctsdeuxàdeux,telsquesoit l'orthocentredutriangle.

Rappelonsquel'ona:;

Onaalo rs

), soit

Posons,et

, donc.

L'orthocentredutria nglea pour

coordonnées: 1 1 1 et

Onendé duitque.

Onadon ct rouvétroispointsetde()

distinctsdeuxàdeux,telsquesoit l'orthocentredutriangle.

Rappelonsquel'ona:;

. Onaalo rs , soit:(1;1). Posons:, et . Onaalor s: ()(2)

L'orthocentredutria nglea pour

coordonnées: 1 1 et().

Onendé duitque.

Onadon ct rouvétroispointsetde()

distinctsdeuxàdeux,telsquesoit l'orthocentredutriangle.

Synthèse

Pourtoutpoint (), onpeuttr ouverau

moinsuntriangle,(),()et ()dontl'orthocentr eest.

3.Onamon tr éque:pourtouttrianglede

pointsde(), l'orthocentredutria ngle appartientà(), etrécip roquementtout pointdeestl'ortho centred'uncertain triangledontlessommetsap partienne ntà ().Onendé duitque lel ieugéométriquedeest l'hyperbole(). 1

On peut"vérifier »a vecGeoGebraen

désactivantl'affichagedel'hyperbole() d'équation puisenactiva ntlatrac edupoint, eten bougeantlespointsjusqu'àcequetoute l'hyperbolesoitreconstru ite:

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