HYPERBOLE
parabole et hyperbole) par foyer et directrice et une étude plus approfondie de leurs propriétés voir le complément Coniques.
CONIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr l'hyperbole (du grec huperbolê : huper = au dessus ; ballein = lancer).
LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE inverse est appelée une hyperbole. . ?2 ?1 025 1 2 3.
MANUELS DU SECONDAIRE 2013-2014
Hyperbole math. 978-2-09-172675-5. Mathématiques Term Es spécifique non spécialiste. Hyperbole Terminale ES spécifique /. L spécialité (2012).
FONCTION INVERSE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Remarque : La courbe d'équation = de la fonction inverse appelée hyperbole de centre.
Corrigés des exercices Objectif Bac
b) f(x) – (2x – 2) = (x – 1)[(2 – e–x. ) – 2] = – e–x. (x – 1) f(x) – (2x – 2) est du signe de 1 – x. est au-dessus de ? sur [0 ; 1] et au-dessous sur
Hyperbole et orthocentre ? ? = et lon note
l'hyperbole (?) d'équation : = et l'on note l'orthocentre du triangle . ? Partie I. Utilisation de Geogebra. Construire la figure avec Geogebra
HYPERBOLES
On a ici deux asymptotes : une asymptote horizontale (axe des abscisses droite. ) et une asymptote verticale. (axe des ordonnes
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Hyperbole Terminale - Option Maths Complémentaires (2020)
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Une hyperbole est l'ensemble des points du plan dont la valeur absolue de la différence des distances à deux points fixes distincts F et F' est une
HYPERBOLE PDF Asymptote Géométrie analytique - Scribd
i La courbe représentative de f est appelée Hyperbole i Les droites : x 0 et y 0 sont appelées Asymptotes à l'hyperbole H :
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I Ellipses hyperboles paraboles A) Ellipse C'est une courbe admettant dans un repère orthonormé (O?i?j) une équation du type x2 a2 + y2 b2 = 1
Mathématiques Lycée Collection Hyperbole - Site compagnon
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[PDF] Les coniques - Lycée dAdultes
19 sept 2021 · Les grecs leur avaient donné comme nom : ellipse hyperbole parabole • La condition a + b = 0 signifie que les coefficients a et b ne
Comment calculer le hyperbole ?
(D), (D'), droites d'équation x = a2/c et x = – a2/c : directrices de l'hyperbole. K : pied de la directrice sur l'axe Ox. d = FK = b2/c . L'hyperbole est dite équilatère lorsque a = b, soit , c'est-à-dire lorsque les asymptotes sont perpendiculaires.Quel est la fonction de l'hyperbole ?
L'hyperbole du grec huper (au-dessus, au-delà) et ballein (lancer, jeter) consiste à exprimer une idée ou un sentiment de façon exagérée, qu'il s'agisse d'insister sur un point ou de produire une forte impression. Son emploi est extrêmement fréquent et elle prend de multiples formes.Comment savoir si une courbe est une hyperbole ?
En mathématiques, une hyperbole est une courbe plane obtenue comme la double intersection d'un double cône de révolution avec un plan. Elle peut également être définie comme conique d'excentricité supérieure à 1, ou comme ensemble des points dont la différence des distances à deux points fixes est constante.- Point milieu du segment joignant les foyers d'une hyperbole. Le centre d'une hyperbole est aussi le point de rencontre de ses axes de symétrie et de ses asymptotes.
FONCTION INVERSE
Partie 1 : Définition et allure de la courbe
Vidéo https://youtu.be/Vl2rlbFF22Y
1) Définition
Définition : La fonction inverse est définie sur ℝ\ 0 par2) Représentation graphique
Remarque : La courbe d'équation =
de la fonction inverse, appelée hyperbole de centreO, est symétrique par rapport à l'origine.
Partie 2 : Dérivée et sens de variation
1) Dérivée
Propriété : La dérivée de la fonction inverse est définie sur ℝ\ 0 par -2 -1 0,25 1 2 3 -0,5 -1 4 1 0,5 1 3 2Démonstration (pour les experts) :
Vidéo https://youtu.be/rQ1XfMN5pdk
Or : lim
= lim 1 Pour tout nombre , on associe le nombre dérivé de la fonction égal à - Ainsi, pour tout de ℝ\{0}, on a : 1 22) Variations
Propriété : La fonction inverse est décroissante sur -∞;0 et sur0;+∞
Démonstration :
Pour tout de ℝ\
0 < 0.Donc est décroissante sur
-∞;0 et sur0;+∞
Partie 3 : Comportement de la fonction inverse aux bornes de son ensemble de définition1) En +∞
On s'intéresse aux valeurs de
lorsque x devient de plus en plus grand. x 5 10 100 10000 ...0,2 0,1 0,01 0,0001 ?
On constate que
se rapproche de 0 lorsque x devient de plus en plus grand. On dit que la limite de f lorsque x tend vers +∞ estégale à 0 et on note :
lim =0.Graphiquement, pour des valeurs de plus en plus
grandes, la courbe de se rapproche de plus en plus de l'axe des abscisses. 32) En -∞
On s'intéresse aux valeurs de
lorsque x devient de plus en plus " grand dans les négatifs » x ... -10000 -100 -10 -5 ? -0,0001 -0,01 -0,1 -0,2On constate que
se rapproche de 0 lorsque x devient de plus en plus " grand dans les négatifs ». On dit que la limite de lorsque tend vers -∞ est égale à 0 et on note : lim =0. Graphiquement, pour des valeurs de plus en plus " grandes dans les négatifs », la courbe de se rapproche de plus en plus de l'axe des abscisses. On dit que l'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe de la fonction inverse en -∞ et en +∞.3) Au voisinage de 0
L'image de 0 par la fonction n'existe pas. On s'intéresse cependant aux valeurs de lorsque x se rapproche de 0. x -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 ... 0,001 0,01 0,1 0,5 -2 -10 -100 -1000 ? 1000 100 10 2A l'aide de la calculatrice, on constate que :
- Pour >0 : devient de plus en plus grand lorsque se rapproche de 0. On dit que la limite de lorsque tend vers 0 pour >0 est égale à +∞ et on note :
lim Graphiquement, pour des valeurs positives, de plus en plus en proches de 0, la courbe de se rapproche de plus en plus de l'axe des ordonnées. 4 - Pour <0 : devient de plus en plus " grand dans les négatifs » lorsque se rapproche de 0. On dit que la limite de lorsque tend vers 0 pour <0 est égale à -∞ et on note : limGraphiquement, pour des valeurs négatives, de
plus en plus en proches de 0, la courbe de se rapproche de plus en plus de l'axe des ordonnées. On dit que l'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la fonction inverse. - Si ′()≥0, alors est croissante. Méthode : Étudier une fonction obtenue par combinaisons linéaires de la fonction inverse et d'une fonction polynomialeVidéo https://youtu.be/P3Ui9-Pk8p8
Soit la fonction définie sur ℝ∖ 0 par =1-2-1) Calculer la fonction dérivée de .
2) Déterminer le signe de ′ en fonction de .
3) Dresser le tableau de variations de .
4) Représenter la fonction dans un repère.
Correction
1) On a :
=1-2-2×Rappels sur les formules de dérivation :
Fonction f Dérivée f '
=0 =2 0 =3 5Donc :
=-2- 2× "- =-2+ -2 2 22) On commence par résoudre l'équation
()=0.Soit : 2-2
=0Donc : 2=2
Soit :
=1Et donc : =1 ou =-1.
′ est du signe du numérateur car le dénominateur est positif. Le numérateur est une fonction du second degré représentée par une parabole sont les branches sont tournées vers le bas (=-2 est négatif). Elle est donc d'abord négative (avant =-1) puis positive (entre =-1 et =1) et à nouveau négative (après =1).3) On dresse alors le tableau de variations en appliquant le théorème :
En effet :
-1 =1-2× -1 =5 1 =1-2×1- =-34) En testant, pour des valeurs négatives de plus en plus en proches de 0,
devient de plus en plus grand. Pour des valeurs positives, devient de plus en plus " grand dans les négatifs ». L'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la fonction . 6quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19[PDF] parabole convexe
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