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SECOND DEGRÉ (Partie 1)

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SECOND DEGRÉ (Partie 2)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRÉ (Partie 2). I. Lecture graphique du signe d'une fonction. 1) Tableau de signes.



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FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2

Soit une fonction polynôme du second degré telle que ( ) = 2 + . parabole dont les branches sont tournées vers le bas et dont le sommet est ...



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est l'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction . Méthode : Représenter graphiquement une fonction du second degré à partir de sa forme.



SECOND DEGRÉ (Partie 1)

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Chapitre 3 : La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c

2ème degré TQ math 4h 4ème année Caractéristiques d'une parabole d'axe vertical : sommet ; axe de symétrie ; concavité. PROCESSUS. CONNAITRE.



Axe de symétrie dune parabole (1)

Le second degré • 11. Thème 1 • Jour 2. Axe de symétrie d'une parabole (2). Rappel. La parabole d'équation = +. +. 2 y ax bx c admet pour axe de symétrie.



IE6 second degré 2017-2018

ballon est la parabole d'équation y = -05x² + 2



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La courbe représentant une fonction du second degré est une parabole Cette courbe est celle de f(x) = x2 ? x + 1 Il existe toutes sortes de paraboles mais la 



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La parabole possède un axe de symétrie Il s'agit de la droite d'équation x =? Méthode : Représenter graphiquement une fonction polynôme de degré 2



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Le graphique de la fonction f(x) = ax² + bx + c (avec a ? 0) est une parabole Cette parabole : ? Possède un axe de symétrie : droite parallèle à y d' 



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Cette trajectoire est un arc de parabole d'équation : = On note la fonction définie sur R par = où et sont exprimés en mètre 1 De quelle hauteur le ballon 



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Un polynôme du second degré est une parabole tournée vers le haut ou vers le bas : Mais comment sait-on si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas 



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a) Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole ? b) En déduire le tableau de variations complet de ? sur l'intervalle [0 ;8] c) Quelle est alors 



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Le second degré • 11 Thème 1 • Jour 2 Axe de symétrie d'une parabole (2) Rappel La parabole d'équation = + + 2 y ax bx c admet pour axe de symétrie

  • Comment trouver la formule d'une parabole ?

    Etape 1 : Calcul du discriminant ? = b² - 4ac. Si ? < 0 : Pas de solution à l'équation ; Si ? = 0 : Une seule solution S = -b/2a ; Si ? > 0 : Deux solutions à l'équation S = {(-b-racine(?))/2a, (-b+racine(?))/2a}.
  • Comment calculer ? ?

    Le discriminant est strictement positif, donc le trinôme admet deux racines réelles qui sont en fait les solutions de l'équa- tion : Calcul des solutions : x1 = ?b? ?? 2a = ?2? ?16 2? = ?2?4 2 = ?3 x2 = ?b+ ?? 2a = ?2+ ?16 2? = ?2+4 2 = 1. L'ensemble solution est donc S = {?3;1}.
  • Comment trouver x1 et x2 avec Delta ?

    avec ? = ? b 2a et ? = ? b2 ? 4ac 4a .
Seconde 4 IE6 polynôme du second degré 2017-2018 sujet 1 1

Exercice 1 : (7 points)

On considère la fonction f définie sur par f(x) = -2x² - 4x + 6.

1) Vérifier que la forme canonique de f est -2(x + 1)² + 8.

2) En déduire le tableau de variation de f sur .

3) Résoudre sur l'équation f(x) = 0.

4) En déduire la forme factorisée de f.

5) Résoudre sur l'inéquation f(x) < 0.

Exercice 2 : le lancer franc (3 points)

Lors d'un lancer franc au basket, le joueur se situe à environ 4,60 m du centre du panier, lui-même fixé à 3,05 m du sol. Le joueur lance le ballon au niveau des épaules à 1,65 m du sol. On admet, que dans le repère choisi, la courbe décrite dans l'espace par le ballon est la parabole d'équation y = -0,5x² + 2,6x + 1,65, où x est la distance horizontale, en m, du ballon au joueur et y la hauteur, en m, du ballon au sol. On donnera les valeurs demandées arrondies au cm près.

1) Peut-on affirmer que le joueur a réussi son panier ?

Justifier la réponse.

2) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?

Justifier la réponse par un calcul.

Seconde 4 IE6 polynômes du second degré 2017-2018 sujet 2 2

Exercice 1 : (7 points)

On considère la fonction f définie sur par f(x) = 3x² - 12x - 15.

1) Vérifier que la forme canonique de f est 3(x - 2)² - 27.

2) En déduire le tableau de variation de f sur .

3) Résoudre sur l'équation f(x) = 0.

4) En déduire la forme factorisée de f.

5) Résoudre sur l'inéquation f(x) 0.

Exercice 2 : le lancer franc (3 points)

Lors d'un lancer franc au basket, le joueur se situe à environ 6,75 m du centre du panier, lui-même fixé à 3,05 m du sol. Le joueur lance le ballon au niveau des épaules à 1,75 m du sol. On admet, que dans le repère choisi, la courbe décrite dans l'espace par le ballon est la parabole d'équation y = -0,3x² + 2,2x + 1,75, où x est la distance horizontale, en m, du ballon au joueur et y la hauteur, en m, du ballon au sol. On donnera les valeurs demandées arrondies au cm près.

1) Peut-on affirmer que le joueur a réussi son panier ?

Justifier la réponse.

2) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?

Justifier la réponse par un calcul.

Seconde 4 IE6 polynômes du second degré 2017-2018 sujet 1 3

Exercice 1 : (7 points)

On considère la fonction f définie sur par f(x) = -2x² - 4x + 6.

1) Vérifier que la forme canonique de f est -2(x + 1)² + 8.

2) En déduire le tableau de variation de f sur .

3) Résoudre sur l'équation f(x) = 0.

4) En déduire la forme factorisée de f.

5) Résoudre sur l'inéquation f(x) < 0.

1) -2(x + 1)² + 8 = -2(x² + 2x + 1) + 8 = -2x² - 4x 2 + 8 = -2x² - 4x + 6 = f(x)

2) Comme a = -2, alors f est croissante sur ]- ;-1] et décroissante sur [-1

f admet un maximum en x = -1 et ce maximum est 8.

Tableau de variations de f :

3) f(x) = 0 -2(x + 1)² + 8 = 0

-2(x + 1)² = -8 (x + 1)² = -8 -2 = 4 x + 1 = -2 ou x + 1 = 2 x = -2 1 ou x = 2 1 x = -3 ou x = 1 -3 ;1}.

4) La forme factorisée de f est donc f(x) = -2(x + 3)(x 1)

5) f(x) < 0 -2(x + 3)(x 1) < 0

(x + 3)(x 1) > 0 - ;-3[ ]1 ; + [. x f(x) -1 8 Seconde 4 IE6 polynômes du second degré 2017-2018 sujet 1 4

Vérification graphique :

Seconde 4 IE6 polynômes du second degré 2017-2018 sujet 1 5

Exercice 2 : le lancer franc (3 points)

Lors d'un lancer franc au basket, le joueur se situe à environ 4,60 m du centre du panier, lui- même fixé à 3,05 m du sol. Le joueur lance le ballon au niveau des épaules à 1,65 m du sol. On admet, que dans le repère choisi, la courbe décrite dans l'espace par le ballon est la

parabole d'équation y = -0,5x² + 2,6x + 1,65, où x est la distance horizontale, en m, du ballon au

joueur et y la hauteur, en m, du ballon au sol. On donnera les valeurs demandées arrondies au cm près.

1) Peut-on affirmer que le joueur a réussi son panier ?

Justifier la réponse.

2) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?

Justifier la réponse par un calcul.

1) Pour x = 4,6, y = -0,5×4,6² + 2,6×4,6 + 1,65 = 3,03 m

Donc le panier est réussi.

2) -0,5x² + 2,6x +

1,65. Le sommet de cette parabole a pour coordonnées S(ȕ avec y = -0,5(x - ǀ avec = -b

2a = -2,2

2×(-0,5) ǀ) = 5,03

La hauteur maximale atteinte par le ballon est de 5,03 m.

Vérification avec GeoGebra :

Seconde 4 IE6 polynômes du second degré 2017-2018 sujet 2 6

Exercice 1 : (7 points)

On considère la fonction f définie sur par f(x) = 3x² - 12x - 15.

1) Vérifier que la forme canonique de f est 3(x - 2)² - 27.

2) En déduire le tableau de variation de f sur .

3) Résoudre sur l'équation f(x) = 0.

4) En déduire la forme factorisée de f.

5) Résoudre sur l'inéquation f(x) 0.

1) 3(x 2)² - 27 = 3(x² - 4x + 4) 27 = 3x² - 12x + 12 27 = 3x² - 12x 15

2) Comme a = 3 > 0, alors f est décroissante sur ]- ; 2] et croissante sur [2 ; + [.

Tableau de variations de f :

3) f(x) = 0 3(x 2)² - 27 = 0

3(x 2)² = 27

(x 2)² = 27 3 x 2 = -3 ou x 2 = 3 x = -3 + 2 ou x = 3 + 2 x = -1 ou x = 5 -1 ;5}.

4) La forme factorisée de f est donc f(x) = 3(x + 1)(x 5)

5) 3(x + 1)(x (x + 1)(x

Donc x ]- ; -1] [5 ; + [.

x f(x) 2 -27 Seconde 4 IE6 polynômes du second degré 2017-2018 sujet 2 7

Vérification graphique :

Seconde 4 IE6 polynômes du second degré 2017-2018 sujet 2 8

Exercice 2 : le lancer franc(3 points)

Lors d'un lancer franc au basket, le joueur se situe à environ 6,75 m du centre du panier, lui-même fixé à

3,05 m du sol.

Le joueur lance le ballon au niveau des épaules à 1,75 m du sol. On admet, que dans le repère choisi, la courbe décrite dans l'espace par le ballon est la parabole d'équation y = -0,3x² + 2,2x + 1,75, où x est la distance horizontale, en m, du ballon au joueur et y la hauteur, en m, du ballon au sol. On donnera les valeurs demandées arrondies au cm près.

1) Peut-on affirmer que le joueur a réussi son panier ?

Justifier la réponse.

2) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?

Justifier la réponse par un calcul.

1) Pour x = 6,75, y = -0,3×6,75² + 2,2×6,75 + 1,75 = 2,93 m

Donc le panier est réussi.

2) -0,3x² + 2,2x +

1,75. Le sommet de cette parabole a pour coordonnées S(ȕ avec y = -0,3(x - ǀ avec = -b

2a = -2,2

2×(-0,3) = 11

3 ǀ) = -0,3

11 3

² + 2,211

3+ 1,75 = 347

60 5,78

La hauteur maximale atteinte par le ballon est de 5,78 m.

Vérification avec GeoGebra :

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