SECOND DEGRÉ (Partie 1)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRÉ (Partie 1). I. Fonction polynôme de degré 2. Définition : On appelle fonction
SECOND DEGRÉ (Partie 2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRÉ (Partie 2). I. Lecture graphique du signe d'une fonction. 1) Tableau de signes.
1ES Résumé du cours sur le second degré. Les paraboles. On
La courbe représentant une fonction du second degré est une parabole. Cette courbe est celle de f(x) = x2 ? x + 1. Il existe toutes sortes de paraboles mais la
FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. III. Extremum. La courbe représentative de f est une parabole qui admet un axe de symétrie.
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
Soit une fonction polynôme du second degré telle que ( ) = 2 + . parabole dont les branches sont tournées vers le bas et dont le sommet est ...
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
est l'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction . Méthode : Représenter graphiquement une fonction du second degré à partir de sa forme.
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRÉ (Partie 1). I. Fonction polynôme de degré 2. Définition : On appelle fonction
Chapitre 3 : La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c
2ème degré TQ math 4h 4ème année Caractéristiques d'une parabole d'axe vertical : sommet ; axe de symétrie ; concavité. PROCESSUS. CONNAITRE.
Axe de symétrie dune parabole (1)
Le second degré • 11. Thème 1 • Jour 2. Axe de symétrie d'une parabole (2). Rappel. La parabole d'équation = +. +. 2 y ax bx c admet pour axe de symétrie.
IE6 second degré 2017-2018
ballon est la parabole d'équation y = -05x² + 2
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La courbe représentant une fonction du second degré est une parabole Cette courbe est celle de f(x) = x2 ? x + 1 Il existe toutes sortes de paraboles mais la
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La parabole possède un axe de symétrie Il s'agit de la droite d'équation x =? Méthode : Représenter graphiquement une fonction polynôme de degré 2
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Le graphique de la fonction f(x) = ax² + bx + c (avec a ? 0) est une parabole Cette parabole : ? Possède un axe de symétrie : droite parallèle à y d'
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comprendre la distinction entre la dérivée première qui nous informe à propos de la pente de la tangente d'une fonction et la dérivée seconde qui indique
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Cette trajectoire est un arc de parabole d'équation : = On note la fonction définie sur R par = où et sont exprimés en mètre 1 De quelle hauteur le ballon
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Reproduis et complète le graphique de la deuxième phase par translation de la courbe de r ou utilise un traceur de courbes 2 On appelle g la fonction
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Un polynôme du second degré est une parabole tournée vers le haut ou vers le bas : Mais comment sait-on si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas
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a) Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole ? b) En déduire le tableau de variations complet de ? sur l'intervalle [0 ;8] c) Quelle est alors
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Le second degré • 11 Thème 1 • Jour 2 Axe de symétrie d'une parabole (2) Rappel La parabole d'équation = + + 2 y ax bx c admet pour axe de symétrie
Comment trouver la formule d'une parabole ?
Etape 1 : Calcul du discriminant ? = b² - 4ac. Si ? < 0 : Pas de solution à l'équation ; Si ? = 0 : Une seule solution S = -b/2a ; Si ? > 0 : Deux solutions à l'équation S = {(-b-racine(?))/2a, (-b+racine(?))/2a}.Comment calculer ? ?
Le discriminant est strictement positif, donc le trinôme admet deux racines réelles qui sont en fait les solutions de l'équa- tion : Calcul des solutions : x1 = ?b? ?? 2a = ?2? ?16 2? = ?2?4 2 = ?3 x2 = ?b+ ?? 2a = ?2+ ?16 2? = ?2+4 2 = 1. L'ensemble solution est donc S = {?3;1}.Comment trouver x1 et x2 avec Delta ?
avec ? = ? b 2a et ? = ? b2 ? 4ac 4a .
Exercice 1 : (7 points)
On considère la fonction f définie sur par f(x) = -2x² - 4x + 6.1) Vérifier que la forme canonique de f est -2(x + 1)² + 8.
2) En déduire le tableau de variation de f sur .
3) Résoudre sur l'équation f(x) = 0.
4) En déduire la forme factorisée de f.
5) Résoudre sur l'inéquation f(x) < 0.
Exercice 2 : le lancer franc (3 points)
Lors d'un lancer franc au basket, le joueur se situe à environ 4,60 m du centre du panier, lui-même fixé à 3,05 m du sol. Le joueur lance le ballon au niveau des épaules à 1,65 m du sol. On admet, que dans le repère choisi, la courbe décrite dans l'espace par le ballon est la parabole d'équation y = -0,5x² + 2,6x + 1,65, où x est la distance horizontale, en m, du ballon au joueur et y la hauteur, en m, du ballon au sol. On donnera les valeurs demandées arrondies au cm près.1) Peut-on affirmer que le joueur a réussi son panier ?
Justifier la réponse.
2) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?
Justifier la réponse par un calcul.
Seconde 4 IE6 polynômes du second degré 2017-2018 sujet 2 2Exercice 1 : (7 points)
On considère la fonction f définie sur par f(x) = 3x² - 12x - 15.1) Vérifier que la forme canonique de f est 3(x - 2)² - 27.
2) En déduire le tableau de variation de f sur .
3) Résoudre sur l'équation f(x) = 0.
4) En déduire la forme factorisée de f.
5) Résoudre sur l'inéquation f(x) 0.
Exercice 2 : le lancer franc (3 points)
Lors d'un lancer franc au basket, le joueur se situe à environ 6,75 m du centre du panier, lui-même fixé à 3,05 m du sol. Le joueur lance le ballon au niveau des épaules à 1,75 m du sol. On admet, que dans le repère choisi, la courbe décrite dans l'espace par le ballon est la parabole d'équation y = -0,3x² + 2,2x + 1,75, où x est la distance horizontale, en m, du ballon au joueur et y la hauteur, en m, du ballon au sol. On donnera les valeurs demandées arrondies au cm près.1) Peut-on affirmer que le joueur a réussi son panier ?
Justifier la réponse.
2) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?
Justifier la réponse par un calcul.
Seconde 4 IE6 polynômes du second degré 2017-2018 sujet 1 3Exercice 1 : (7 points)
On considère la fonction f définie sur par f(x) = -2x² - 4x + 6.1) Vérifier que la forme canonique de f est -2(x + 1)² + 8.
2) En déduire le tableau de variation de f sur .
3) Résoudre sur l'équation f(x) = 0.
4) En déduire la forme factorisée de f.
5) Résoudre sur l'inéquation f(x) < 0.
1) -2(x + 1)² + 8 = -2(x² + 2x + 1) + 8 = -2x² - 4x 2 + 8 = -2x² - 4x + 6 = f(x)
2) Comme a = -2, alors f est croissante sur ]- ;-1] et décroissante sur [-1
f admet un maximum en x = -1 et ce maximum est 8.Tableau de variations de f :
3) f(x) = 0 -2(x + 1)² + 8 = 0
-2(x + 1)² = -8 (x + 1)² = -8 -2 = 4 x + 1 = -2 ou x + 1 = 2 x = -2 1 ou x = 2 1 x = -3 ou x = 1 -3 ;1}.4) La forme factorisée de f est donc f(x) = -2(x + 3)(x 1)
5) f(x) < 0 -2(x + 3)(x 1) < 0
(x + 3)(x 1) > 0 - ;-3[ ]1 ; + [. x f(x) -1 8 Seconde 4 IE6 polynômes du second degré 2017-2018 sujet 1 4Vérification graphique :
Seconde 4 IE6 polynômes du second degré 2017-2018 sujet 1 5Exercice 2 : le lancer franc (3 points)
Lors d'un lancer franc au basket, le joueur se situe à environ 4,60 m du centre du panier, lui- même fixé à 3,05 m du sol. Le joueur lance le ballon au niveau des épaules à 1,65 m du sol. On admet, que dans le repère choisi, la courbe décrite dans l'espace par le ballon est laparabole d'équation y = -0,5x² + 2,6x + 1,65, où x est la distance horizontale, en m, du ballon au
joueur et y la hauteur, en m, du ballon au sol. On donnera les valeurs demandées arrondies au cm près.1) Peut-on affirmer que le joueur a réussi son panier ?
Justifier la réponse.
2) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?
Justifier la réponse par un calcul.
1) Pour x = 4,6, y = -0,5×4,6² + 2,6×4,6 + 1,65 = 3,03 m
Donc le panier est réussi.
2) -0,5x² + 2,6x +
1,65. Le sommet de cette parabole a pour coordonnées S(ȕ avec y = -0,5(x - ǀ avec = -b2a = -2,2
2×(-0,5) ǀ) = 5,03
La hauteur maximale atteinte par le ballon est de 5,03 m.Vérification avec GeoGebra :
Seconde 4 IE6 polynômes du second degré 2017-2018 sujet 2 6Exercice 1 : (7 points)
On considère la fonction f définie sur par f(x) = 3x² - 12x - 15.1) Vérifier que la forme canonique de f est 3(x - 2)² - 27.
2) En déduire le tableau de variation de f sur .
3) Résoudre sur l'équation f(x) = 0.
4) En déduire la forme factorisée de f.
5) Résoudre sur l'inéquation f(x) 0.
1) 3(x 2)² - 27 = 3(x² - 4x + 4) 27 = 3x² - 12x + 12 27 = 3x² - 12x 15
2) Comme a = 3 > 0, alors f est décroissante sur ]- ; 2] et croissante sur [2 ; + [.
Tableau de variations de f :
3) f(x) = 0 3(x 2)² - 27 = 0
3(x 2)² = 27
(x 2)² = 27 3 x 2 = -3 ou x 2 = 3 x = -3 + 2 ou x = 3 + 2 x = -1 ou x = 5 -1 ;5}.4) La forme factorisée de f est donc f(x) = 3(x + 1)(x 5)
5) 3(x + 1)(x (x + 1)(x
Donc x ]- ; -1] [5 ; + [.
x f(x) 2 -27 Seconde 4 IE6 polynômes du second degré 2017-2018 sujet 2 7Vérification graphique :
Seconde 4 IE6 polynômes du second degré 2017-2018 sujet 2 8Exercice 2 : le lancer franc(3 points)
Lors d'un lancer franc au basket, le joueur se situe à environ 6,75 m du centre du panier, lui-même fixé à3,05 m du sol.
Le joueur lance le ballon au niveau des épaules à 1,75 m du sol. On admet, que dans le repère choisi, la courbe décrite dans l'espace par le ballon est la parabole d'équation y = -0,3x² + 2,2x + 1,75, où x est la distance horizontale, en m, du ballon au joueur et y la hauteur, en m, du ballon au sol. On donnera les valeurs demandées arrondies au cm près.1) Peut-on affirmer que le joueur a réussi son panier ?
Justifier la réponse.
2) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?
Justifier la réponse par un calcul.
1) Pour x = 6,75, y = -0,3×6,75² + 2,2×6,75 + 1,75 = 2,93 m
Donc le panier est réussi.
2) -0,3x² + 2,2x +
1,75. Le sommet de cette parabole a pour coordonnées S(ȕ avec y = -0,3(x - ǀ avec = -b2a = -2,2
2×(-0,3) = 11
3 ǀ) = -0,3
11 3² + 2,211
3+ 1,75 = 347
60 5,78
La hauteur maximale atteinte par le ballon est de 5,78 m.Vérification avec GeoGebra :
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