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Quatre exercices de vecteurs aléatoires.

que la consultation individuelle et privée sont interdites. Mathématiques. Vecteurs aléatoires discrets. Enoncés. Exercice 1.



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Exercices d'application corrigés 2.3 Variables aléatoires discrètes . ... Les vecteurs aléatoires réels ont beaucoup de propriétés similaires à celles.



Exercices : Vecteurs aléatoires discrets

Année 2015/2016. Vecteurs aléatoires discrets. Feuille d'exercices. 1 Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans {0 1} telles que :.



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? ? ?2 = ?(1 ? ?) corrigé 21. Exercice. 22 variable aléatoire discrète. Soit X une variable aléatoire discr`ete `a valeurs dans {12



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28 sept. 2004 3.3 Vecteurs aléatoires `a densité . ... 7 Quelques exercices corrigés ... En revanche si l'on conna?t la loi du couple discret (X



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d'une liste d'éxercices assez variés couvrant différents aspects des concepts vecteurs aléatoires discrets et de loi de probabilité respectives :.



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Exercice : Montrer que l'on définit bien ainsi la loi d'un couple aléatoire La loi trinomiale est une extension de la loi binomiale Imaginons en effet une 



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Mathématique du signal aléatoire Exercice 1 formule de Binôme corrigé 5 Exercice 6 calculs de probabilités Variable aléatoire discrète

  • Comment calculer la densité marginale ?

    On trouve la densité marginale en appliquant la formule du cours (par intégration). Remarquons que X X est à valeurs dans [0,1] [ 0 , 1 ] , et donc que pX(x)=0 p X ( x ) = 0 si x?[0,1] x ? [ 0 , 1 ] . Si x?[0,1] x ? [ 0 , 1 ] , on en déduit pX(x)=?+???pX,Y(x,y)dy=?1?x02dy=2(1?x).

  • Comment déterminer la loi d'un couple ?

    Soit Z = (X,Y) un couple de variables aléatoires discrètes. Définition et Théorème: La loi du couple (X,Y), appelée loi de probabilité simultanée ou loi conjointe, est la loi de la variable aléatoire Z définie par l'ensemble des nombres pij, (0 ? pij < 1) tels que : pij = Pr(X = xi ? Y = yi).

  • Comment déterminer la loi de XY ?

    La loi du couple (X, Y ) est définie par l'ensemble des probabilités : IP(X = x, Y = y) pour toutes valeurs possibles x et y. De même, pour y ? DY , on a IP(Y = y) = ?x?DX IP(X = x, Y = y).
  • La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète X se présente généralement sous forme de tableau. Elle donne les valeurs possibles prises par X et les probabilités associées à ces valeurs. Un joueur lance un dé équilibré à 6 faces : S'il obtient 1 ou 2, il ne gagne rien.
MINISTERE DE L"ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE A.MIRA DE BEJAIA

FACULTE DES SCIENCES EXACTES

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

Polycopi´e de cours

Variables al´eatoires `a plusieurs dimensions

N.SAADI

Ann´ee 2018-2019

Avant propos

Cet ouvrage s"adresse aussi bien aux chercheurs et professeurs qu"aux

´etudiants de

premier cycle des universit ´es. On y aborde les notions essentielles de la th´eorie des pro- babilit ´es dans le cas multidimensionnel, pour son application dans diff´erents domaines des sciences. Le lecteur est suppos ´e connaˆıtre les notions fondamentales de la th´eorie des probabilit ´es dans le cas unidimensionnel et le calcul int´egral, y compris les notions de bases sur l"alg `ebre lin´eaire.

Les bases math

´ematiques sont d´evelopp´ees de la mani`ere la plus naturelle pos- sible, de sorte `a pouvoir disposer rapidement des r´esultats essentiels. Les notions plus avanc

´ees et plus difficiles, comme celles r´esultant des diff´erentes d´efinitions de conver-

gence dans le cas multidimensionnel sont

´egalement pr´esent´es.

Ce polycopi

´e est issu d"un cours donn´e aux´etudiants de deuxi`eme ann´ee Licence Math ´ematiques de l"universit´e A.MIRA de B´ejaia. Il est compos´e de 5 chapitres enrichis d"une liste d" ´exercices assez vari´es couvrant diff´erents aspects des concepts´etudi´es.

Table des mati`eres

1 G´en´eralit´es sur les vecteurs al´eatoires 4

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Rappels sur les variables al

´eatoires unidimensionnelles . . . . . . . . . . .4

1.3 Couples de variables al

´eatoires r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.3.1 Probabilit

´e image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.3.2 Fonction de r

´epartition d"un couple de variables al´eatoires . . . . .7

1.3.3 Ind

´ependance de variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.3.4 Cas de variables al

´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.3.5 Lois conjointes d"un couple de variables al

´eatoires discr`etes . . . .10

1.3.6 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.7 Cas des V.a.r absolument continues . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.8 Transformation d"un couple al

´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . .20

1.4 Vecteur al

´eatoire`a plusieurs dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

1.5 Distributions marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.5.1 Ind

´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

1.5.2 Loi multinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.6 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2 Caract´eristiques des vecteurs al´eatoires 32

2.1 Esp

´erance, variance et covariance d"un couple de variables al´eatoires . . .32

2.1.1 Th

´eor`eme de transfert, Esp´erance d"une somme . . . . . . . . . . .32

2.1.2 Covariance et coefficient de corr

´elation . . . . . . . . . . . . . . . .33

2.2 Esp

´erance, variance et covariance d"un vecteur al´eatoire . . . . . . . . . .36

2.3 Recherche de densit

´e , changement de vecteur al´eatoire-fonction d"un vecteur al ´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

2.4 Exercices du chapitre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3 Fonctions caract´eristiques 52

3.1 Transform

´e de Fourier d"une mesure born´ee . . . . . . . . . . . . . . . . .52

3.2 Fonctions caract

´eristiques d"un vecteur al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . .53

3.3 Moments et fonction caract

´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 2

3.4 Fonction g

´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

3.4.1 Fonction g

´en´eratrice des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

3.5 Exercice du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4 Vecteur al´eatoire gaussien (normal) 61

4.1 Vecteur al

´eatoire gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

4.1.1 Quelques cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.2 Distributions marginales et conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.3 Ind

´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

4.3.1 Transformation lin

´eaire d"un vecteur gaussien . . . . . . . . . . . .72

4.4 Exercices du chapitre 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

5 Convergence des suites de vecteurs al´eatoires 77

5.1 Rappel : Modes de convergence des suites de variables al

´eatoires . . . . .77

5.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5.1.2 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5.1.3 Convergence presque- s

ˆure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

5.2 Convergence en loi des suites de vecteurs al

´eatoires . . . . . . . . . . . . .79

5.3 Convergence en probabilit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

5.3.1 Propri

´et´es de la convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

5.4 Convergence en loi et fonction caract

´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . .82

5.5 Th

´eor`eme central limite vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

5.6 Th

´eor`eme de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

5.7 Th

´eor`eme de Cochran, lois du2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

5.8 Exercices du chapitre 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

Bibliographie 87

Chapitre 1

G´en´eralit´es sur les vecteurs al´eatoires 1.1

Introduction

Lanotiondevecteursal

grandeurs num ´eriques d´ependants de l"issue d"une mˆeme exp´erience al´eatoire. Par exemple, dans l"observation d"une population quelconque on peut s"int

´eresser`a mesu-

rer l" ˆage, la taille, le poids... de chaque individu. On forme alors un vecteur d"observa- tions al ´eatoires. Si on surveille une particule M´evoluant dans le plan ou dans l"espace, on peut s"int ´eresser`a sa position en fonction du temps d´etermin´ee par le vecteur de ses coordonn

´ees al´eatoires.

1.2 Rappels surlesvariablesal´eatoiresunidimensionnelles

L"espace(

;A;P) On d

´esigne par

l"ensemble des´epreuves ou´ev´enements´el´ementaireswet parA une tribu sur , c"est-`a-dire une classe de parties de qui v´erifie les axiomes suivantes : (A1):?2 Aet 2 A; (A2):Aest stable par passage au compl´ementaire :A2 A )Ac2 A; (A3):Aest stable par r´eunion et intersection d´enombrables i.e. Si(An)n2Nest une suite d"

´el´ements deA, alorsS

n2NAnetT n2NAnsont dansA.

D´efinition 1.1.L"ensemble des parties de

,P( )est un exemple de tribu sur . Un ´el´ement A d"une tribuAsera appel´e ´ev´enement al´eatoire . D´efinition 1.2.On appelle probabilit´e d´efinie sur l"espace( ;A)toute applicationP:A ! [0;1]satisfaisant les 3 axiomes suivantes : (i)0P(A)1;8A2 A: 4

Chapitre 1 G

´en´eralit´es sur les vecteurs al´eatoires(ii)P( ) = 1: (iii)Pour toute suite(Ai)i2Nd"´ev´enements deAdeux `a deux disjoints (incompatibles) : P i2NA i! =X i2NP(Ai)

Proposition 1.2.1.(Propri´et´es g´en´erales d"une probabilit´e). Toute probabilit´ePsur(

;A) v´erifie les proprir´et´es suivantes :

1.P(?) = 0:

2.8A2 A;P(A) = 1P(A):

3.8A2 A;8B2 A;AB)P(A)P(B):

4.8A2 A;8B2 A;P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B):

D´efinition 1.3.Le couple(

;A)est appel´e espace probabilisable.

D´efinition 1.4.Le triplet(

;A;P)est appel´e espace probabilis´e. D´efinition 1.5.On appelle espace mesurable tout couple(E;")form´e par un ensembleEet une tribu"surE. D´efinition 1.6.SoitCun sous ensemble deP(E). La tribu engendr´ee parCest la plus petite

tribu contenantC. Cette tribu peut ´egalement ˆetre d´efinie comme l"intersection de toutes les

tribus contenantC. On la note(C). D´efinition 1.7.SiE=R, on appelle tribu bor´elienneB(R)la tribu"engendr´ee par la classe des intervalles deRde la forme] 1;a[poura2R.

D´efinition 1.8.Soient(

;A)et(E;")deux espaces masurables. On dit quefest une appli- cation mesurable de( ;A)dans(E;")si l"image r´eciproque parfde tout ´el´ement de"est un ´el´ement deA. Autrement dit,fest mesurable sif1(") A.

D´efinition 1.9.Soit(

;A;P)un espace de probabilit´e et(E;")un espace mesurable. Une variable al´eatoireXest une application mesurable de( ;A)dans(E;")c"est -`a- dire une appli- cationX: !Etelle que pour tout bor´elienBde"l"ensemble X

1(B) =fw2

:X(w)2Bg A:

On distingue les cas suivants :

a.SiEest d´enombrable, la variable al´eatoireXest dite discr`ete. Dans ce cas,Eest muni de la tribuP(E)etXv´erifie

8x2E:f!2

:X=xg 2 A: 5

Chapitre 1 G

´en´eralit´es sur les vecteurs al´eatoiresb.SiE=R,lavariableal´eatoireXestditevariableal´eatoirer´eellecontinue.Eng´en´eral,

Rest muni de sa tribu de Borel"=B(R), dans ce casXest une variable al´eatoire r

´eelle continue de(

;A;P)dans(R;B(R)). c.SiE=Rn, on parle de variables al´eatoires r´eelles multidimensionnelles ou vecto- rielles ou encore de vecteurs al ´eatoires r´eels. En g´en´eral,Rnest muni de sa tribu de Borel"=B(Rn), dans ce casXest un vecteur al´eatoire de( ;A;P)dans (R;B(Rn)). On utilisera les abr´eviations (v.a), (v.a.r), (v.a.d) pour d´esigner une variable al ´eatoire, une variable al´eatoire r´eelle et une variable al´eatoire discr`ete respectivement. D´efinition 1.10.SiXest une v.a.r etPX:B(R)![0;1]d´efinie parPX(B) =P(X1(B)) deX. On dit ´egalement queXsuit la loi de probabilit´ePXet on note XPX: D´efinition 1.11.la tribu bor´elienneB(Rn)surRnest la tribu engendr´ee par les ensembles de la forme nY i=1(] 1;xi[)ouxi2R;8i= 1;:::;n: 1.3

Couples de variables al ´eatoiresr ´eelles

D´efinition 1.12.Un coupleZ= (X;Y)de variables al´eatoires r´eelles est une application me- surableZd´efinie par : Z: !R2 w7!Z(w) = (X(w);Y(w)):

Proposition 1.3.1.

(i) Etant donn´e un couple(X;Y)de variables al´eatoires de(R2;B(R2))et

B2B(R2), l"ensemblefw2

(X(w);Y(w))2Bgest un ´ev´enement. (ii)Inversement, soit une application(X;Y) : !R2telle que :

8B2B(R2);fw2

(X(w);Y(w))2Bg 2 A: Alors(X;Y)est un couples de v.a de(R2;B(R2))XetYsont des variables al´eatoires r´eelles.

Notation

Etant donn

´e un couple(X;Y)de variables al´eatoires de(R2;B(R2)), on note pour tout

B2B(R2);((X;Y)2B) =fw2

(X(w);Y(w))2Bg: 6

Chapitre 1 G

´en´eralit´es sur les vecteurs al´eatoires1.3.1Probabilit ´eimage

Th´eor`eme1.3.2.Soient(

r´eelles . Alors l"applicationPXY:B(R2)![0;1]d´efinie par :

8B2B(R2);PXY(B) =P((X;Y)2B)

est une probabilit´e sur(R2;B(R2)appel´ee probabilit´e image dePpar(X;Y). D´efinition 1.13.Soit un espace probabilis´e( ;A;P). On dit que deux applications de dans

Rforment un couple de variables al´eatoires r´eelles deB(R2)si, pour tout couple(x;y)de r´eels ,

[Xx]et[Yy]sont des ´el´ements deA. On dit que(X1;X2)et(Y1;Y2)sont ´equidistribu´es lorsque P

X1X2(B) =PY1Y2(B);8B2B(R2):

1.3.2 Fonction de r ´epartitiond"un couple de variables al ´eatoires

Notations

Soit(X;Y)un couple de variables al´eatoires r´eelles de(R2;B(R2)). Etant donn´esB etCdansB(R);BCest un bor´elien deR2. On note alors :

P((X;Y)2BC)) =P(X2B;Y2C) =P((X2B)\(Y2C)):

P(Xx;Yy) =P(X2] 1;x];Y2] 1;y]):

P(X < x;Y < y) =P(X2] 1;x[;Y2] 1;y[):

D´efinition 1.15.Soit(X;Y)un couple de variables al´eatoires de(R2;B(R2)). On appelle fonc- tion de r´epartition du couple(X;Y), l"application F

X;Y:R2![0;1]

d´efinie par :

8(x;y)2R2;FX;Y(x;y) =P([Xx]\[Yy]) =P(Xx;Yy):

On dit aussi queFX;Yest la loi du couple(X;Y).

;A;P).

Alors :

(i)Pour tout(a;b)2R2et tout(h;k)2R2+, on a P(a < Xa+h;b < Yb+k) =FXY(a+h;b+k)FXY(a;b+k)FXY(a+h;b)+FXY(a;b): 7

Chapitre 1 G

´en´eralit´es sur les vecteurs al´eatoires(ii)FX;Yest croissante surR,et continue`a droite par rapport`a chacune de ses variables.

(iii)Pour toutyr´eel fix´e, lim x!1FX;Y(x;y) = 0;limx!+1FX;Y(x;y) =FY(y):

Pour toutxr´eel fix´e,

lim x!1FX;Y(x;y) = 0;limy!+1FX;Y(x;y) =FX(x): (iv) limx!+1( limy!+1FX;Y(x;y)) = limy!+1( limx!+1FX;Y(x;y)) = 1:

D´emonstration.

(i) Pour tout(a;b)2R2et tout(h;k)2R2+, on a P(a < Xa+h;b < Yb+k) =P((X;Y)2]a;a+h]]b;b+k]) =PX;Y(]a;a+h]]b;b+k]):

Par suite :

P X;Y(]a;a+h]]b;b+k]) =PX;Y(] 1;a+h]] 1;b+k])PX;Y(] 1;a+h]] 1;b])

PX;Y(] 1;a]] 1;b+k]) +PX;Y(] 1;a]] 1;b])

=FXY(a+h;b+k)FXY(a;b+k)FXY(a+h;b) +FXY(a;b): (ii)Fixons par exempleyet soitaetxdeux r´eels tels queax:[Xa][Xx]d"o`u, [Xa]\[Yy][Xx]\[Yy]:

On en d

´eduit que

P[(Xa)\(Yy)]P[(Xx)\(Yy)]:

C"est-

`a-dire : F

X;Y(a;y)FX;Y(x;y):

D"autre part,

F

X;Y(x;y)FX;Y(a;y) =P[(Xx))\(Yy)]P[(Xa))\(Yy)]

quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42
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