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Couples et vecteurs de variables aleatoires

Preparation a l'agregation interne

1 Couples et vecteurs aleatoires discrets

1.1 Loi conjointe

On se donneXetYdeux variables aleatoires discretes avecX( ) =fxi;i2NgetY( fyj;j2Ng. Laloi conjointedu couple (X;Y) est donnee par (X;Y)( ) (ou parX( ) et Y( )) ainsi que par les probabilites P(X=x;Y=y) =Pf!;X(!) =xetY(!) =yg;pour tout couple (x;y)2(X;Y)(

Remarque :On doit bien entendu avoirP

x;yP(X=x;Y=y) = 1. Plus generalement, siX1;:::;Xnsontnvariables aleatoires discretes a valeurs dansN, la loi conjointe du vecteur (X1;:::;Xn) est donnee par l'ensemble-image (X1;:::;Xn)( )Nn ainsi que par les probabilitesP(X1=i1;:::;Xn=in), pour toutn-uplet (i1;:::;in)2Nn. Exemple 1 :Fixonsp2]0;1[ et >0 et considerons le couple de variables aleatoires (X;Y) a valeurs dansf0;1g Ndont la loi est donnee par :

P(X= 0;Y= 0) = 1p

P(X= 1;Y=k) =pek=k!;pour toutk2N

P(X=j;Y=k) = 0 sinon.

On a bien

P i;jP(X=i;Y=j) = 1 : on a donc bien ecrit la loi d'un couple aleatoire discret. Exemple 2 :On dispose d'une urne contenant quatre jetons numerotes de 1 a 4, et on tire au sort successivement deux jetons sans remise. On note (X;Y) les resultats des deux tirages. On a :P(X=i;Y=i) = 0 pour toutientre 1 et 4 etP(X=i;Y=j) = 1=12 si

1i;j4 eti6=j.

On peut ecrire les probabilites sous la forme du tableau suivant (ou par exemple dans la deuxieme case de la premiere ligne, on litP(X= 1;Y= 2)) :

XnY1234

Exemple 3 : Loi trinomiale.On se xe un nombre entiernstrictement positif et deux parametres reels positifspxetpytels quepx+py1. La loi trinomiale (n;px;py) est la loi du couple (X;Y) tel que (X;Y)( )2N2et donnee pour tout (i;j)2N2tels quei+jnpar :

P(X=i;Y=j) =n!i!j!(nij)!pixpjy(1pxpy)nij;

2 etP(X=i;Y=j) = 0 sinon. Exercice :Montrer que l'on denit bien ainsi la loi d'un couple aleatoire. La loi trinomiale est une extension de la loi binomiale. Imaginons en eet une experience qui a trois issues possibles, noteex,yetz, avec comme probabilite de realisationpx,pyet p z= 1pxpy. Repetonsnfois cette experience (nest xe) de facon independante et comptons le nombre d'apparitions dex(nombre noteX) et dey(noteZ) parmi cesnrepetitions. C'est alors un exercice de denombrement que de demontrer que le couple (X;Y) suit alors une loi trinomiale de parametres (n;px;py).

1.2 Lois marginales

Denition 1.1Les (deux)lois marginalesdu couple(X;Y)sont les lois des variables alea- toiresXetY. On les obtient de la facon suivante :

P(X=x) =X

y2Y( )P(X=x;Y=y);

P(Y=y) =X

x2X( )P(X=x;Y=y):

Preuve :On a

fX=xg=fX=x;Y2Y( )g=[ y2Y( )fX=x;Y=yg: Comme la reunion est denombrable et disjointe, il vient :

P(X=x) =X

y2Y( )P(X=x;Y=y): Plus generalement, un vecteur (X1;:::;Xn) a valeurs dansZnpossedenlois marginales unidimensionnelles, mais egalementn(n1) lois marginales bidimensionnelles, et ainsi de suite.

On a par exemple

P(X1=x) =X

(x2;:::;xn)2Zn1P(X1=x;X2=x2;:::;Xn=xn):

Reprenons les exemples precedents :

Exemple 1.

Determinons la loi deX:Xest a valeurs dansf0;1get on a :

P(X= 0) =X

j2NP(X= 0;Y=j) = 1p:

De la m^eme facon :

P(X= 1) =X

j2NP(X= 1;Y=j) =X j0pe j=j! =p: 3 La variable aleatoireXsuit donc une loi de Bernoulli de parametrep. Calculons aussi la loi de Y:

P(Y= 0) =P(X= 0;Y= 0) +P(X= 1;Y= 0) = 1p+pe:

Et pour toutj1,

P(Y=j) =P(X= 0;Y=j) +P(X= 1;Y=j) =pej=j!:

Exemple 2 :Il sut de sommer en colonne pour avoir la loi deX, et en ligne pour obtenir celle deY. En pratique, on peut ajouter une colonne et une ligne au tableau pour y ecrire les lois de XetY. Et avant de conclure, on prend le soin de verier que la somme de cette colonne (et de cette ligne) vaut 1. On trouve ici queXetYsuivent une loi uniforme surf1;2;3;4g. Exemple 3 :On considere le couple (X;Y) de loi trinomiale (n;px;py). Determinons la loi marginale deX: xonsj2 f0;:::;nget evaluonsP(X=j). On a

P(X=j) =nX

k=0P(X=j;Y=k) njX k=0P(X=j;Y=k) +nX k=nj+1P(X=j;Y=k) njX k=0n!j!k!(njk)!pjxpky(1pxpy)njk+ 0 n!j!(nj)!pjxnjX k=0(nj)!k!(njk)!pky(1pxpy)njk n j p jx(1px)nj La variable aleatoireXsuit donc une loi Bin(n;px). Un calcul similaire montre queYsuit une loi binomiale Bin(n;py).

1.3 Loi def(X;Y)

Probleme :On dispose d'un couple de variables aleatoires discretes (X;Y) dont on conna^t la loi conjointe et on voudrait conna^tre la loi de la variable aleatoireZ=f(X;Y), ouf: X( )Y( )!Rest une fonction donnee. Par exemple, on a souvent besoin de conna^tre la loi deX+Y, ou celle deXY, ou deXY. Et determiner la loi deXa partir de celle de (X;Y) revient a considerer la fonctionf(x;y) =x.

Proposition 1.2On aZ(

) =f((X;Y)( ))et pour toutz2f((X;Y)( )), on a

P(Z=z) =X

(x;y)2(X;Y)( );f(x;y)=zP(X=x;Y=y): 4 Exemple :Reprenons une nouvelle fois l'exemple 1 et considerons la fonctionf(x;y) =xy. La variable aleatoireXYest a valeurs dansNet on a

P(XY= 0) =P(X= 0;Y= 0) +P(X= 1;Y= 0) = 1p+pe

et, pour toutk2N,

P(XY=k) =P(X= 1;Y=k) =pekk!:

Un cas particulier important. Nous considerons ici la fonctionf(x;y) =x+y. On obtient :

P(X+Y=z) =X

(x;y)2(X;Y)( );x+y=zP(X=x;Y=y) X x2X( )P(X=x;Y=zx) X y2Y( )P(X=zy;Y=y) Plus generalement, siX= (X1;:::;Xn) est un vecteur aleatoire discret etf:X( )!R est une fonction donnee, on a :

P(f(X1;:::;Xn) =z) =X

x

On en deduit le corollaire fondamental suivant :

Proposition 1.3SoientXetYdeux variables aleatoires discretes et integrables. Alors la variable aleatoireZ=X+Yest integrable et on aE(X+Y) =E(X) +E(Y). Preuve :En eet, on vient de voir queZest une variable aleatoire discrete et que sa loi est donnee par : pour toutz2(X+Y)(

P(X+Y=z) =X

x2X( )P(X=x;Y=zx)

On a donc

E(jX+Yj) =X

z2(X+Y)( )2 4 jzjX x2X( )P(X=x;Y=zx)3 5 Puis

E(jX+Yj) =X

z2(X+Y)( )2 4 X x2X( )jx+ (zx)jP(X=x;Y=zx)3 5 5

En utilisant l'inegalite triangulaire, il vient :

E(jX+Yj)X

z2(X+Y)( )2 4 X x2X( )(jxj+jzxj)P(X=x;Y=zx)3 5 X z2(X+Y)( )2 4 X x2X( )jxjP(X=x;Y=zx)3 5 X z2(X+Y)( )2 4 X x2X( )jzxjP(X=x;Y=zx)3 5

Etudions tout d'abord la premiere somme :

X z2(X+Y)( )2 4 X x2X( )jxjP(X=x;Y=zx)3 5 =X x2X( )2 4 jxjX z2(X+Y)( )P(X=x;Y=zx)3 5 X x2X( )[jxjP(X=x)] =E(jXj)

Passons a la deuxieme somme : sommer surx2X(

) ou surxtel quezx2Y( ) ne change pas la valeur de cette somme. On a donc X z2(X+Y)( )2 4 X x2X( )jzxjP(X=x;Y=zx)3 5 =X z2(X+Y)( )2 4 X zx2Y( )jzxjP(X=x;Y=zx)3 5 X z2(X+Y)( )2 4 X y2Y( )jyjP(X=zy;Y=y)3 5 X y2Y( )2 4 jyjX z2(X+Y)( )P(X=zy;Y=y)3 5 X y2Y( )jyjP(Y=y) =E(jYj) On remarque donc que siXetYsont integrables,X+Yl'est egalement, et en eectuant le m^eme calcul sans les valeurs absolues, on conclut queE(X+Y) =E(X) +E(Y). Exemple :Supposons que (X;Y) suit une loi trinomiale (n;px;py) et calculons la loi deX+Y. Cette variable aleatoire est a valeurs dansNet on a, pour tout entierk:

P(X+Y=k) =nX

j=0P(X=j;Y=kj): Pour toutk > n, chacun des termes de cette somme est nul doncP(X+Y=k) = 0. 6

Fixons maintenant un entierk2 f0;:::;ng. On a :

P(X+Y=k) =kX

j=0P(X=j;Y=kj) kX j=0n!j!(kj)!(nk)!pjxpkjy(1pxpy)nk n!(nk)!(1pxpy)nkkX j=01j!(kj)!pjxpkjy n!k!(nk)!(1pxpy)nk(px+py)k: La variable aleatoireX+Ysuit donc une loi binomiale Bin(n;px+py).

1.4 Loi conditionnelle

Considerons un couple (X;Y) de variables aleatoires discretes, dont on conna^t la loi jointe et xonsytel queP(Y=y)>0. Laloi conditionnelledeXsachant l'evenementfY=ygest donnee par le fait que c'est une loi surX( ) ainsi que par les probabilites conditionnellesP(X=xjY=y) pour tout x2X(

On verie aisement queX

x2X( )P(X=xjY=y) = 1 ce qui implique que la loi conditionnelle deXsachantfY=ygest la loi d'une variable aleatoire. De plus, la formule des probabilites totales implique que

P(X=x) =X

y2Y( )P(X=xjY=y)P(Y=y): Cette denition de la loi conditionnelle s'etend a des vecteurs aleatoires : par exemple pour un triplet aleatoire (X;Y;Z), on peut etudier la loi conditionnelle deXsachantfY=yg, la loi conditionnelle deXsachantfY=yetZ=zg, la loi conditionnelle du couple (X;Y) sachant fZ=zg... Exemple 1 :La loi deYsachantfX= 1gest donnee parY( )2Net, pour tout entier positifk, on a

P(Y=kjX= 1) =P(Y=ketX= 1)P(X= 1)=pekk!1p

=ekk!: La loi conditionnelle deYsachant quefX= 1gest donc une loi de Poisson de parametre 7 Exemple 2 :La loi deXsachantfY= 1gest la loi uniforme surf2;3;4g. Exemple 3: Supposons que (X;Y) suit une loi trinomiale (n;px;py) et calculons la loi conditionnelle deXsachantfY=kg, pour un entierk2 f0;:::;ng. Remarquons tout d'abord que sij <0 ouj > nk,P(X=jjY=k) = 0. Fixons maintenant un entierj2 f0;:::;nkg. On a

P(X=jjY=k) =P(X=jetY=k)P(Y=k)

(nk)!j!(nkj)! px1py j1pxpy1py nkj La loi conditionnelle deXsachantfY=kgest donc une loi binomiale (nk;px=(1py)).

1.5 Independance de variables aleatoires discretes

Denition 1.4Deux variables aleatoires discretesXetYsont ditesindependantessi pour toutx2X( )et touty2Y( ), les evenementsfX=xgetfY=ygsont independants, c'est-a-dire :

P(X=x;Y=y) =P(X=x)P(Y=y):

SiXetYsont deux variables aleatoires discretes independantes, on aura donc, pour tout y2Y( ) et toutx2X( ) tels queP(Y=y)>0 etP(X=x)>0,P(X=xjY=y) =

P(X=x) etP(Y=yjX=x) =P(Y=y).

Plus generalement, lesnvariables aleatoires discretesX1;:::;Xnsont(mutuellement ou nan) independantessi, pour tout choix dex12X1( );:::;xn2Xn( ), on a

P(X1=x1;:::;Xn=xn) =P(X1=x1):::P(Xn=xn):

Remarques :

L'independancenanentra^ne l'independance 2 a 2 (mais la reciproque est fausse).Ecrire la preuve de ce resultat pourn= 3. Des evenementsA1;:::;Ansont independants si et seulement si les variables aleatoires 1

A1;:::;1Anle sont.

Proposition 1.5Si lesnvariables aleatoires discretesX1;:::;Xnsont independantes alors on aX( ) =X1( ) Xn( Remarque :Lorsque les variables aleatoiresXetYsont independantes, conna^tre les lois marginales permet donc de conna^tre la loi jointe du couple (X;Y), alors que pour des variables aleatoires quelconques, cela ne sut pas. 8

1.6 Esperance, matrice de covariance

Dans un souci de clarte, tous les resultats de ce paragraphe et du suivant sont enonces pour les couples de variables aleatoires discretes, et ils s'etendent sans peine aux vecteurs aleatoires discrets.

On considere un couple aleatoire discret (X;Y).

Denition 1.6L'esperance du couple(X;Y)est denie siXetYsont integrables et on a alors :E(X;Y) = (E(X);E(Y)). SiXetYsont deux variables aleatoires de carre integrable, la covariance deXet deY, ou covariance du couple(X;Y), est donnee par cov(X;Y) =E(XY)E(X)E(Y) =E[(XE(X))(YE(Y))]: SiXetYsont deux variables aleatoires de carre integrable, la matrice de covariance du couple(X;Y)est la matrice

C=var(X)cov(X;Y)

cov(X;Y)var(Y) Plus generalement, la matrice de covariance d'un vecteur(X1;:::;Xn), dont chacune des com- posantes est de carre integrable, est une matricenndont les termes diagonaux sont les variances desXiet dont le terme(i;j)est la covariancecov(Xi;Xj)pour touti6=j. Remarque :Le calcul de l'esperance deXou deYne fait intervenir que les lois marginales, mais nous allons voir qu'il n'est pas necessaire d'expliciter ces lois marginales. Proposition 1.7Si(X;Y)est un couple de variables aleatoires discretes, pour toute fonction h:R2!Rtelle queX x2X( );y2Y( )jh(x;y)jP(X=x;Y=y)<1; la variable aleatoireh(X;Y)est integrable et on a

E(h(X;Y)) =X

x2X( );y2Y( )h(x;y)P(X=x;Y=y): Preuve :NotonsZ=h(X;Y). On a une ecriture explicite de la loi deZ: cette variable aleatoire est discrete et on a, pour toutz2(h(X;Y))(

P(Z=z) =X

(x;y)2(X;Y)( );h(x;y)=zP(X=x;Y=y) La variable aleatoireZest donc integrable si la somme S=X z2(h(X;Y))( )0 jzjX (x;y)2(X;Y)( );h(x;y)=zP(X=x;Y=y)1 A 9 converge. Or cette somme peut s'ecrire S=X z2(h(X;Y))( )0 X (x;y)2(X;Y)( );h(x;y)=zjh(x;y)jP(X=x;Y=y)1 A X (x;y)2(X;Y)( )jh(x;y)jP(X=x;Y=y) La m^eme procedure appliquee a la somme sans les valeurs absolues permet d'obtenir le resultat desire pourE(h(X;Y)). Application :Cette proposition permet d'ecrire notamment les esperances deX, deYou de XYsans expliciter la loi de ces variables aleatoires. Si le couple (X;Y) est discret, on a ainsi

E(X) =X

(x;y)2(X;Y)( )xP(X=x;Y=y)

E(Y) =X

(x;y)2(X;Y)( )yP(X=x;Y=y)

E(XY) =X

(x;y)2(X;Y)( )xyP(X=x;Y=y) lorsque les series convergent.

Revenons maintenant a la matrice de covariance :

Proposition 1.81. Une matrice de covarianceCest toujours une matrice symetrique et positive (i.e., pour toutv2Rn,< v;Cv >0).

2. SiXetYsont deux variables aleatoires independantes et integrables, on aE(XY) =

E(X)E(Y)et donccov(X;Y) = 0. La reciproque de ce resultat est fausse.

3. SiXetYsont deux variables aleatoires independantes etfetgdeux fonctions telles que

les variables aleatoiresf(X)etg(Y)sont integrables, on aE(f(X)g(Y)) =E(f(X))E(g(Y)).

La reciproque de ce resultat est fausse.

4. Si les variables aleatoiresX1;:::;Xnsont independantes et de carre integrable, alors la

matrice de covariance de(X1;:::;Xn)est diagonale. La reciproque de ce resultat est fausse. Preuve :1.SoitX= (X1;:::;Xn) un vecteur aleatoire dont chaque composante est de carre integrable, notonsCsa matrice de covariance et xonsv= (v1;:::;vn) un vecteur deRn. Quitte a remplacer chaqueXiparXiE(Xi), on supposera les variables aleatoires centrees (d'esperance nulle). 10 On a < v;Cv >=X i;jC ijvivj X i;jE(XiXj)vivj =E X i;jv iXivjXj! =E X iv iXi! X jv jXj!! =E0 @ X iv iXi! 21
A

On a donc bien< v;Cv >0.

2.Considerons deux variables aleatoires discretesXetYindependantes et integrables. Mon-

trons queXYest integrable et calculons son esperance. On a

E(jXYj) =X

x2X( );y2Y( )jxyjP(X=x;Y=y) CommeXetYsont independantes,P(X=x;Y=y) =P(X=x)P(Y=y) donc

E(jXYj) =X

x2X( );y2Y( )jxyjP(X=x)P(Y=y) X x2X( )0 jxjP(X=x)X y2Y( )jyjP(Y=y)1 A 0 X x2X( )jxjP(X=x)1 A0 X y2Y( )jyjP(Y=y)1 A =E(jXj)E(jYj): On montre alors par un calcul similaire queE(XY) =E(X)E(Y), puis on en deduit que cov(X;Y) = 0.

3.et4.se deduisent aisement de2.

La proposition suivante, bien que tres simple a prouver, est fort utile : Proposition 1.9SiXetYsont deux variables aleatoires de carre integrable, on a var(X+Y) =var(X) +var(Y) + 2cov(X;Y):

Si de plus,XetYsont independantes, on a

var(X+Y) =var(X) +var(Y): 11 De plus, pour deux variables aleatoires de carre integrable, il est possible d'obtenir une majoration decov(X;Y) a partir des variances deXetY: Proposition 1.10 (Inegalite de Cauchy Schwarz)SoientXetYdeux variables aleatoires de carre integrable. On a jE(XY)j E(jXYj)pE(X2)E(Y2] jcov(X;Y)j pvar(X)var(Y) Preuve :Le deuxieme point s'obtient en appliquant le premier aXE(X) etYE(Y).quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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