[PDF] Probabilités et Applications 28 sept. 2004 3.3

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ProbabilitesetApplications

BenjaminJOURDAIN

28septembre2004

2

Tabledesmatieres

1Introduction:probabilitesurunespaceni1

2Variablesaleatoiresdiscretes11

3Variablesaleatoiresadensite27

i iiTABLEDESMATIERES

4Simulation43

5Convergenceettheoremeslimites53

6Vecteursgaussiens67

TABLEDESMATIERESiii

7Quelquesexercicescorriges73

7.1 ivTABLEDESMATIERES

Chapitre1

Introduction:probabilitesurun

espaceni outillage.

1.1Probabilitesurunespaceni,evenements

1.1.1Denitions

=f!1;!2;:::;!ng l'ensembledecesresultats.

Exemple1.1.1.{Jetd'unepieceapileouface:

=fP;Fg. {Jetd'unde: =f1;2;3;4;5;6g.

NdunombreNkd'experiences

uctuede deprobabilite.

OnappelleevenementunepartieAde

.LafrequencedeAc'est-a-direlaproportion k:!k2AFk.Onestdoncamenea associerlaprobabiliteP k:!k2Apkal'evenementA.

Commelafrequencede

vaut1,enpassantalalimite,onobtientPn k=1pk=1. =f!1;!2;:::;!ngestune

81kn;pk0etnX

k=1p k=1: 1

OnattribueatoutevenementA

lenombre

P(A)=X

k:!k2Ap k quiestappeleprobabilitedel'evenementA.

Exemple1.1.3.Jetdedeuxdesasixfaces:

=f(i;j):1i;j6gouidesignela delaponderation suivante:

81i;j6;p(i;j)=1

36:

A=f(1;1);(2;2);:::;(6;6)getP(A)=6X

i=1p (i;i)=6

36=16:

S(i;j)=i+j.Donc

fS=2g=f(1;1)gP(S=2)=1=36 fS=3g=f(1;2);(2;1)gP(S=3)=1=18 fS=4g=f(1;3);(2;2);(3;1)gP(S=4)=1=12 fS=10g=f(4;6);(5;5);(6;4)gP(S=10)=1=12 fS=11g=f(5;6);(6;5)gP(S=11)=1=18 fS=12g=f(6;6)gP(S=12)=1=36

Terminologieconcernantlesevenements:

{SiP(A)=0,l'evenementAestditnegligeable. {SiP(A)=1,ilestditpresques^ur. nA. {SiA;B

Probabilitedel'evenementA[B:

Pardenition,P(A[B)=P

k:!k2A[Bpk: BA UABU UABBA CC

P(A[B)=X

k:!k2A\Bcp k+X k:!k2A\Bp k+X k:!k2Ac\Bp k X k:!k2A\Bcp k+X k:!k2A\Bp k! + X k:!k2Ac\Bp k+X k:!k2A\Bp k! X k:!k2A\Bp k X k:!k2Ap k+X k:!k2Bp kX k:!k2A\Bp k =P(A)+P(B)P(A\B): Ainsi

P(A[B)=P(A)+P(B)P(A\B):

Fonctionindicatrice:

!f0;1gdenie par 8!2 ;1A(!)=(

1si!2A

0sinon.

faconcondenseef1A1B=1g?

Conclureque

1A\B=1A1B:

Montreregalementque

1Ac=11Aet1A[B=1A+1B1A\B:

1.1.2Probabilitesuniformes

).Onditalors qu'ilsontequiprobables.

OnaalorspourtoutevenementA

P(A)=X

k:!k2A1Card( )=Card(A)Card( =f(i;j):1i;j6gest munidelaprobabiliteuniforme. riend'uniforme. surlequelontravaille.

Rappelsdedenombrement

Onsedonnen;p2Navecpn.

ensembleanelementsest Ap n=n!(np)!=n(n1):::(np+1): 2 nd,...,(np)eme)element.

Cpn=n!p!(np)!:

Onchoisitcommeespacedeprobabilite

=ff:[1;n]![1;365]goupour1in, delaprobabiliteuniforme.OnaCard( )=365n. A etA\Ac=;,

P(A[Ac)=P(A)+P(Ac)P(A\Ac))P(A)=1P(Ac):

365et

P(Ac)=Card(Ac)

Card( et

P(A)=1365

365364365:::365n+1365:

1.2.1Probabiliteconditionnelle

quel'ondonneaunevenementA:

Denition1.2.1.Soit

munid'uneprobabilitePetA;B .Laprobabilitecondition-

P(AjB)=P(A\B)=P(B)siP(B)>0

P(A)sinon.

Onchoisit

estunelleetlesecondungarcon.

A=fundesenfantsestungarcong=fFG;GF;GGg

B=fundesenfantsestunelleg=fFF;FG;GFg:

OnaP(B)=Card(B)

Card( )=12.

Donclaprobabiliterechercheeest

P(AjB)=P(A\B)

P(B)=1=23=4=23:

laprobabilitepourquel'autresoitungarcon.

P(A\B)=P(AjB)P(B)

quisegeneraliseen pourmevenementsA1;:::;Am. pourquelesdeuxpiecessoientcorrectes. estbonne. quelaprobabilitechercheeest

P(A1\A2)=P(A2jA1)P(A1)=5

935=13:

P(A)=Card(A)

Card( )=C26C210=6!8!2!10!4!2!=65109=13: (i.e.dessous-ensemblesdisjoints de dontlareunionest )etA t.q.P(A)>0.Alorspourtout1in,

P(BijA)=P(AjBi)P(Bi)Pm

j=1P(AjBj)P(Bj): denominateurvautPm ilestegal resultatdesontestestpositif.

1.3.EXERCICES7

1.2.2Independance

Denition1.2.6.Soit

independantssi

P(A\B)=P(A)P(B):

8I[1;m];P \

i2IA i! =Y i2IP(Ai):

Attention

{IlnesutpasqueP(A1\A2\:::\Am)=Qm i=1P(Ai)pourquelesevenements soientindependants. independants.

Exemple1.2.9.JetdedeuxpiecesaPileouFace:

=fPP;PF;FP;FFgoupar munidelaprobabiliteuniforme.

A=fPP;PFgP(A)=1=2

B=fPF;FFgP(B)=1=2

C=fPP;FFgP(C)=1=2

A\B=fPFgP(A\B)=1=4=P(A)P(B)

A\C=fPPgP(A\C)=1=4=P(A)P(C)

B\C=fFFgP(B\C)=1=4=P(B)P(C)

A\B\C=;P(A\B\C)=06=P(A)P(B)P(C):

1.3Exercices

nullespeuvent-ils^etreindependants?

Quelleestlaprobabilited'obtenir\CHAT"?

soitlabonne(1kn). lesdeuxdesasixfaces.Quelestvotrechoix? (ouformuledePoincare) P n[ i=1A i =nX k=1(1)k+1pkoupk=X

1i1

Onpourracommencerparetablirque

P n[ i=1A i =P(An)+P n1[ i=1A i P n1[ i=1(Ai\An) \tasses+sous-tasses"assortis. (b)EndeduireP(N=0). (c)Al'aideduresultatprecedent,montrerque

P(fN=kg\Ai1\Ai2\:::\Aik)=(nk)!

n! 1nkX l=1(1)l+1l!! (d)Pour1kn,donnerP(N=k).

4,12et34.Trouver

facecachee.Choisissez-vousrougeoublanc? quevotresecondenfantaitlesyeuxbleus?

1.4.RESUME9

1.4Resume

SoitA;B

P(A[B)=P(A)+P(B)P(A\B):

PourB=Ac,cetteegaliteserecrit

P(A)=1P(Ac):

PourA;B

l'evenementBlenombre

P(AjB)=P(A\B)P(B):

8I[1;m];P \

i2IA i! =Y i2IP(Ai):

P(A\B)=P(A)P(B):

Chapitre2

Variablesaleatoiresdiscretes

2.1Espacedeprobabilite

Danslecasd'unespace

quelconquede =fP;Fg enesemblequiestinni.Desque l'onconsidereaunesous-classedeP( )appeleetribu. surcetensemble):

Denition2.1.1.UnetribuAsur

estuneclassedepartiesde quiverielestrois proprietessuivantes: i);; 2A. ii)A2A)Ac2A. i2IAietT i2IAisont dansA.

OnappelleevenementsleselementsdeA.

Exemple2.1.2.{f;;

gestlapluspetitetribusur .Onl'appelletribugrossiere. {P( )estlaplusgrossetribusur .Onl'appelletribudiscrete. {SiA ,f;;A;Ac; gestunetribusur

Denition2.1.3.Soit

munid'unetribuA.Onappelleprobabilitesur( ;A)une applicationP:A![0;1]quiverie i)P( )=1. j2I;Ai\Aj=;)alors P i2IA i =X i2IP(Ai): 11quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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