[PDF] Sans titre RAPPELS ET COMPLÉMENTS. Le

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Chapitre 1

Rappels et compl´ements

Dans ce chapitre, nous introduisons des notations et quelques notions ensem- blistes utiles pour la suite de l"ouvrage. Nous y avons aussi rassembl´elespro- pri´et´es des fonctions usuelles, qui sont un pr´e-requis indispensable pour ce cours, mˆeme celles qui seront vues ult´erieurement, pour donner au lecteur un aide-

m´emoire complet. Les notions utilis´ees ici (continuit´e, d´erivabilit´e, convexit´e, li-

mites, ...) seront d´efinies dans les chapitres suivants dans un cadre plus g´en´eral, o`u les fonctions usuelles serviront d"exemples. Un lecteur familiaris´eauxsymboles math´ematiques, et pour qui les propri´et´es ´el´ementaires des fonctions usuelles

n"auraient plus de secret, peut se dispenser de la lecture de ce premier chapitre.1.1. Quelques notations

Les ensembles

Unensembleest une collection d"objets. SiEest un ensemble : - la notationx?Esignifiexappartient `aE. On dit aussi quexest un´el´ement deE. - la notationx??Esignifiexn"appartient pas `aE. Le symbole∅d´esigne l"ensemble vide, qui n"a aucun ´el´ement. Un ensemble qui ne contient qu"un seul ´el´ement s"appelle unsingleton.Les ensembles classiques de nombres Nous notonsNl"ensemble des entiers naturels, comme par exemple 1 ou 23, on ´ecrit 23?N. L"ensemble des entiers relatifs est not´equant`aluiZ, par exemple -3?Zmais aussi 4?Z.Ainsi,Nest unsous-ensembledeZ. Enfin, l"ensemble des nombres r´eels est not´eR, il comprend tous les nombres commeπou 45/789. Les r´eels sont parfois aussi appel´es desscalaires. On retrouvera cette terminologie au chapitre 10.

On noteR+

(resp.R- ) l"ensemble des nombres r´eels positifs ou nuls (resp. n´egatifs ou nuls). On d´esigne par une ´etoile un ensemble de nombres priv´ede0,ainsiR est l"ensemble de tous les nombres r´eels non nuls.

Quelques symboles ensemblistes

On d´efinit un ensemble, soit en donnant la liste de ses ´el´ements, soit par une propri´et´e qui les caract´erise :

E={-5,-1,0,3,6},F={x?R|x3

-3x+1?=0}.

2CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPL´EMENTS

Le symbole|se littel quedans la d´efinition d"un ensemble. Par exemple, {x?N|x<2}={0,1}, {x?R|x 2 +1<0}=∅. SiAetBsont deux ensembles, lar´eunion deAetB,not´eeA?B, qui se lit"A unionB», est l"ensemble form´eparles´el´ements qui appartiennent `aAou `aB.

Par exemple,{1,4}={1}?{4}et

R=R ?R ?{0}, qui signifie que l"ensemble des nombres r´eels est l"union des nombres r´eels stric- tement positifs, des nombres r´eels strictement n´egatifs et de 0. Le signe∩d´ecrit l"intersectionde deux ensembles et se lit"AinterB».A∩B est l"ensemble des ´el´ements qui appartiennent `aAet `aB. Par exemple, {1,4,6}∩{1,4,5}={1,4}etR ∩Z=N. Nous utilisons aussi le signe?qui montre qu"un ensemble est inclus dans un autre, on dit que c"est unsous-ensemble.Onaparexemple{1,4}?{1,4,5}et N?Z?R.L"inclusionde l"ensembleAdans l"ensembleBsignifie que tous les ´el´ements deAsont aussi des ´el´ements deB. Lorsque un ensemble est inclus dans un autre, on peut en faire la soustraction : siA?B,alorsonpeut´ecrireB\A, qui se lit"Bpriv´edeA», et qui repr´esente les ´el´ements qui sont dansBmais pas dansA. Par exemple{1,4,6}\{1}={4,6} etR =R\{0}. Attention, il faut v´erifier que les ensembles sont compatibles, c"est-`a-dire que le premier ensemble contient bien le second. SiAetBsont deux ensembles (par exemple des intervalles deR), on noteA×B, qui se lit"AcroixB», l"ensemble des couples (a,b)telsquea?Aetb?B. L"ensembleA×Bs"appellele produit cart´esiendes ensemblesAetB.Ilest ´equivalent d"´ecrirea?A,b?Bet (a,b)?A×B. L"ordre est important : l"ensembleA×Bn"est ´egal `a l"ensembleB×Aque siA=B.SiA=B, on utilise aussi la notationA 2 au lieu deA×AetA 3 pourA×A×A. On rencontrera ainsi souvent la notationR 2 pour l"ensemble des couples de nombres r´eels etR 3 pour les triplets de nombres r´eels. Nous retrouverons le produit cart´esien dans le chapitre 10.

Symboles math´ematiques

Pour faciliter l"´ecriture des ´enonc´es math´ematiques, nous utilisons -lesigne?qui signifieil existe(la lettreEen miroir), -lesigne?pourquel que soit(oupour tout), c"est la lettreArenvers´ee, premi`ere lettre du mot anglaisall,quisignifietout.

Nous obtenons par exemple :

?x?R ,?y?R ,x=y 2 ce qui signifie que pour tout r´eel positifx,ilexisteunr´eel positifytel quex=y 2

1.2. RAPPELS SUR LES FONCTIONS USUELLES3

Implication et ´equivalence

Dans ce paragraphe, les lettresPetQrepr´esentent des propositions, c"est-`a- dire des ´enonc´es math´ematiques, auxquels on peut attribuer la valeur "vrai" ou "faux". La notationP=?Qse lit"PimpliqueQ», et elle signifie que siPest vraie, alorsQest vraie. La notationP??Qse lit"PetQsont ´equivalentes», et elle signifie queP impliqueQet queQimpliqueP. Cessymbolesnesontpasdessignesst´enographiques, et ils doivent ˆetre utilis´es `a bon escient.

Fonction factorielle

Pour toutn?N,ond´efinit la fonction factorielle de la fa¸con suivante : 0! = 1 et pour toutn?1,

1.2. Rappels sur les fonctions usuelles

Ce paragraphe regroupe les propri´et´es fondamentales des fonctions dites usuelles : valeur absolue, fonctions polynˆomes, exponentielle, logarithme et fonctions puis- sance. Les fonctions trigonom´etriques ne seront pas ´etudi´ees dans ce livre. Il s"agit essentiellement de rappels du cours de Terminale S. Les notions de limites, d´erivabilit´eetsym´etries sont red´efinies dans les chapitres suivants.

1.2.1. Valeur absolue

D´efinition 1.1.-?x?R, on appellevaleur absolue dexle nombre r´eel positif not´e |x| d´ef =max(x,-x)=?xsix?0 -xsix<0. Les deux figures ci-dessous repr´esentent les graphes des fonctionsx?→|x|et x?→|x-2|+ 1. On pourra remarquer leurs similitudes. 1

1-1-2xy

012 123
xy 0

4CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPL´EMENTS

Le changement de|x|en|x-2|d´ecale la figure de deux unit´es vers la droite, et l"ajout de la constante 1 d´ecale le graphe d"une unit´e vers le haut. Cette remarque se g´en´eralise pour passer de la courbe repr´esentative d"une fonctionf`a celle de la fonctionx?→f(x-a)+b.

On a les relations suivantes pourα?R

En rempla¸cantxparx-adans les formules pr´ec´edentes, on v´erifie que : si a?Retα?R En tra¸cant la droite r´eelle, on peut interpr´eter l"ensemble des r´eelsxtels que |x-a|?αcomme l"ensemble des r´eelsxqui sont `a une distance inf´erieure `aα du r´eela. Par exemple, dans la figure ci-dessous nous avons repr´esent´elesr´eels qui sont `a une distance au plusα=2dupointa=1.5, c"est-`a-dire l"ensemble?x?R||x-1.5|?2?.

01234-1

xa a+αa-α Proposition 1.2(Quelques propri´et´es de la valeur absolue) (i)?a?R,|a|?0et|a|=0??a=0. (ii)?(a,b)?R 2 ,|ab|=|a||b| (iii)?a?R,?b?R ,???a b? ??=|a||b| (iv)?(a,b)?R 2 ,???|a|-|b|????|a+b|?|a|+|b|. Cette derni`ere in´egalit´e s"appelle l"in´egalit´e triangulaire. Finalement, nous rappelons les liens entre la valeur absolue et la racine carr´ee :

1.2. RAPPELS SUR LES FONCTIONS USUELLES5

Proposition 1.3(Quelques relations entre valeur absolue et racine carr´ee)

Pour tous les r´eelsaetb,ona

(i)⎷ a 2 =|a|et|a| 2 =a 2 (ii)sib?R ,a 2 =b??a=±⎷b, (iii)a 2 ?b 2 ?? |a|?|b|??-|b|?a?|b|, (iv)a 2 Exemple 1.4.-Onaainsi|⎷

5-2|=⎷5-2, mais|⎷5-3|=3-⎷5, et?

(⎷5-3) 2 =3-⎷5.

1.2.2. Fonctions polynˆomes et fractions rationnelles

D´efinition 1.5.-Soitn?N. S"il existe des r´eelsa 0 ,a 1 ,...,a n aveca n =0 tels que ?x?R,f(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +···+a n x n alors la fonctionfd´efinie surRest appel´eefonction polynˆome (ou polynomiale).

Les r´eelsa

0 ,a 1 , ...,a n sont appel´es lescoefficients, et l"entiernledegr´e,du polynˆome. Unefonction affineest une fonction polynˆome de degr´e1. Une fonction polynˆomedelaformef(x)=axaveca?Rest appel´ee une fonction lin´eaire. Dans la d´efinition d"une fonction polynˆome, les exposants sont des nombres entiers positifs. Ainsi, la fonction d´efinie parf(x)=2x 1/2 +3x 1/3 n"est pas une fonction polynˆome. Les fonctions polynˆomes sont d´efinies et d´erivables surR. D´efinition 1.6.-Unefraction rationnelleest un quotient de deux fonctions polynˆomes.

6CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPL´EMENTS

Les fractions rationnelles sont d´efinies et d´erivables en tout point o`uled´enomi- nateur ne s"annule pas.

1.2.3. Fonction logarithmique

La fonctionlogarithme n´ep´erien,not´ee ln, est d´efinie sur ]0,+∞[. C"est la pri- mitive de la fonctionx?→ 1 x qui s"annule en 1. En particulier, ln est une fonction d´erivable sur ]0,+∞[, et ?x>0,(ln(x)) =1 xet ln(1) = 0. Les limites `a connaˆıtre de la fonction logarithme sont : lim x→0 ln(x)=-∞et lim x→+∞ ln(x)=+∞. On en d´eduit le tableau de variations puis le graphe. La fonction logarithmique est strictement croissante et son graphe est repr´esent´e sur la figure ci-dessous. Notons queeest l"unique r´eel strictement positif tel que lne= 1, il est approximativement

´egal `a2.71.

1 -1 -21234567 xy 0

Graphe dex?→ln(x)e

Les r`egles de calculs de la fonction logarithmique sont ?a,b?R ,ln(a)+ln(b)=ln(ab),ln?1 a? =-lna ?a?R ,?b?R ,ln?a b ?=bln(a).

1.2.4. Fonction exponentielle

La fonction exponentielle, not´ee exp, est d´efinie surR. C"est la fonction r´eciproque de la fonction logarithme. On a pour toutx?R,exp(x)=e x

Elle est d´erivable surRet l"on a

?x?R,(exp(x)) =exp(x),exp(0) = 1 et exp(x)>0.

1.2. RAPPELS SUR LES FONCTIONS USUELLES7

Le lien fondamental avec la fonction logarithme est le suivant : ?x?R,?y?R ,exp(x)=y??x=lny. Dans la relation ci-dessus, liant le logarithme est l"exponentielle,xest un r´eel quelconque, tandis queyest un r´eelstrictement positif. Les limites `a connaˆıtre de la fonction exponentielle sont : lim x→-∞ exp(x)=0,lim x→+∞ exp(x)=+∞. Les r`egles de calculs pour la fonction exponentielle sont ?a,b?R,exp(a)exp(b)=exp(a+b)et1 exp(a)=exp(-a) Enfin pour terminer, le graphe de la fonction exponentielle est repr´esent´esurla figure ci-dessous. 123

1-1-2-3xy

0

Graphe dex?→exp(x)

e

1.2.5. Fonctions puissances

Unefonction puissanceest une fonction de la formex?→x o`uα?R,ap- pel´el"exposant.Lad´efinition, les domaines de d´efinition et de d´erivabilit´edes fonctions puissances d´ependent de l"exposantα. Les fonctions puissances se rencontrent beaucoup en ´economie. Par exemple, si on constate dans le cadre d"une production, que les coˆuts d"usure augmentent plus rapidement que la production, on peut choisir de mod´eliser ce ph´enom`ene `a l"aide d"une fonction puissance d"exposant 0<α<1. De fa¸con analogue, lorsque nous ´etudierons les fonctions de deux variablesxetydans la seconde partie du cours, nous rencontrerons souvent les fonctions ditesde Cobb-Douglas,dela formef(x,y)=x y , souvent utilis´ees pour mod´eliser un probl`eme ´economique. On d´efinit d"abord les fonctions puissances pourαentier positif (α?N), puis pourαentier n´egatif (α?Z) puis enfin pourαr´eel quelconque (α?R).

8CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPL´EMENTS

Valeur deα

Domaine de d´efinitionD´efinition

n?N,n?1,x n R x n =x×x×···×x? nfois n?N ,x -n R x -nd´ef =1/x n n?N ,x 1/nR sinest pair

Rsinest impairFonction r´eciproque dex

n y=x 1/n ??x=y n

α?R

,x R x

αd´ef

=e

αlnx

Exemple 1.7.-`Apartirdesd´efinitions du tableau, on voit par exemple que, pour tout r´eel positif ou nul, x 1/2 =⎷x Nous rappelons maintenant quelques r`egles de manipulation des puissances. Pour tousα?R,β?Ret pour toutx>0ety>0, on a : x x =x ,(xy) =x y ,?x =x x =1 x ,x x =x D´eriv´ee de la fonction puissance.Pour toutα?R,lafonctionx?→x est d´erivable sur ]0,+∞[, et sa d´eriv´ee vaut, pour toutx>0,?x =αx

α-1

Remarque 1.8.- 1.Siαest un entier naturel, la formule pour la d´eriv´ee reste valable surR(par exemplex?→x 2 ), tandis que siαest un entier n´egatif, elle reste valable surR (par exemplex?→ 1 x

2. En utilisant la d´efinition de la puissance `a l"aide de l"exponentielle, on

convient quex 0 = 1, pour tout r´eelx>0. Exemple 1.9. - En appliquant la formule de d´erivation avecα= 1 2 ,onretrouve la d´eriv´ee de la racine carr´ee : x? =?x 1/2 =1 2x 1 2 -1 =1 2x -1/2 =1 21x
1/2 =1

2⎷x

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