[PDF] Chapitre 5 : Application - Forces Centrales

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uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 1 / 10Chapitre5:Application-ForcesCentralesI-ForceCentraleI.1)-DéfinitionUnpointmatérielestsoumisàuneforcecentrale,sicetteforceesttoujoursdirigéeversunpointfixeOduréférentielconsidéré.EnchoisissantOcommecentreduréférentiel,laforces'écritdonc:!=!!!.!!étantlevecteurunitaireradialdescoordonnéespolaire(noté!!

ansl chapitr 1).Danscecasaussi,laforcecentrale!estparallèleauvecteurposition!".Exemples:♠ Interactiongravitationnelle:!=-!!!!!!!!!♠ Interactionélectrostatique(ForcedeCoulomb):!=!!!!!!!!!!!!!♠ Forcederappeld'unressort:!=-!"!I.2)-ConservationduMomentCinétiqueLemomentc inétiqued'une forcecentraleparrapporta upointverslequel elleestdirigéeestconservé:!!!(!/!)!"=0Preuve:!!!(!/!)!"=!!"∧!!(!/!)!"=!!"!"∧!!(!/!)+!"∧!!!(!/!)!"!!!(!/!)!"=!(!/!)∧!!(!/!)+!"∧!!(!/!)=!"∧!!(!/!)EnutilisantleP.F.D.deladynamique:!!(!/!)=!,etsachantque!,estuneforcecentrale(! // !" )onendéduitque!!!(!/!)!"=0.I.3)-MouvementPlanUneconséque nceimmédiatedelaconservationdu momentcinétiqueestque lemouvementd'unpointmatérielsoumisàuneforcecentraleestplan.Eneffet,lemomentcinétiqueétantperpendiculaireauvecteurpositionetauvecteurvitesse,cesdeuxvecteursappartiennentdoncàunplanfixe(puisqueperpendiculaireà!!!/!=!!")quiestleplandumouvement.Decefait,engénéral,lescoordonnéespolairessontplusadéquatespourladescriptiond'unmouvementàforcecentrale.

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uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 2 / 101.4)-LoidesairesConstantedesaires:Unedeuxièmeconséquencedelaconservationdumomentcinétiquedanslecasdesforcescentralesestquelaquantité!!!estconstante:!!!=!Cestappeléelaconstantedesaires.Eneff et,enutilisantlesexpres sions encoordonnéespolair esduvecteur position,!"=!!!,etduvecteurvit esse,!!/!=!!!+!!!!,onobt ientl'expressiondumomentcinétique:!!!/!=!"∧!!!/!=!!!∧!!!!+!!!!=!!!!!Lemomentcinétiqueétantconservéonendéduitque!!!estuneconstante.Loidesaires(2èmeloideKepler):Laloidesairesstipulequelavitessearéolaireestconstantepourunmouvementàforcecentrale.Celapeutêtre aussiexprimés ouslaformes uivante:"L v ct urpositionbalai

ssurfac ségal s n sint rvall s

t mpségaux».Preuve:Lavitessearéol aireestdéfini ecommeétant letauxdevariation,dansletemps,delasurfacebalayéparlevecteurposition:!=!"!"!"étantl'élémentdesurfacebalayéparlevecteurpositionenunin tervalle detemps!"(àn pa sconf on

r av cl'absciss curvilign !").Enutilisantleschémaàcotéonpeutécrirel'élémentdesurfaceenfonctiondel'élémentd'angle:!"=!!"#2=12!!!"Lavitessearéolaires'écritalors:!=!"!"=12!!!"!"=12!!!=12!Cétantlaconstantedesaires,celadémontrequelavitessearéolaireestunequantitéconstantedanslecasd'unmouvementàforcecentrale.I.5)-FormulesdeBinet1.5.1)-PremièreformuledeBinet(Energiecinétique):L'énergiecinétiqued'un pointmatérielsoumisà uneforcecentral eestdonnéepa rl'expressionsuivante:!!=12!!!=12!!!!′!+!!oùonautilisélesnotationssuivantes:!=1! et !!=!"!".

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uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 3 / 10Preuve:Encoordonnéespolaireslevecteurvitesses'écrit:!=! !!+!!!!etsonmoduledéfinipar:!=!!+!!!!Enutilisant!=!!ona!"!"=-!!!etonécrit!=!"!"=!"!"!"!"=!"!"!"!"!"!"=-!!!!′!Ouencore!=-!"′oùonautiliséladéfinitiondelaconstantedesaires:!=!!!=!!!!.Cequidonnedonc!!=!!!′!L'autretermedanslemoduledelavitesses'écrit:!!!!=!!!!=!!!!Lecarrédumoduledelavitesses'écritdonc!!=!!+!!!!=!!!′!+!!!!!!=!!!′!+!!CequidonnelapremièreformuledeBinet.1.5.2)-DeuxièmeformuledeBinet(Laforce):Laforcecentraleexercéesurunpointmatérielpeutêtreécritesouslaforme:!=!!(!/!)=-!!!!!!"+!!!avec!"=!!!!!!.Preuve:Encoordonnéespolaireslevecteuraccélérations'écrit:!!/!=!-!!!!!+!!+2!!!!=!-!!!!!Lacompos antesuivant!!estnulle,puisque !!+2!!=!!!"!"=0,où!=!!!estlaconstantedesaires.Onpeutécrirelacomposanteradialedel'accélérationenfonctiondeC,uetu'':Onavaitdéjàétablique!=-!"′cequidonnepour! :!=!!!"=-!!!!!"=-!!!!!"!"!"=-!"′′!=-!!!′′!!.Dansladernièreégalitéonautilisé!=!!!.Onaaussi!!!=!!!!=!!!!Levecteuraccélérations'écritalors:!!/!=!-!!!!!=-!!!!!!!-!!!!!!!!/!=-!!!!!!!+!!!Quipermetd'établirladeuxièmeformuledeBinetenutilisantleP.F.D.

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uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 4 / 10II-ChampNewtonienII.1)-DéfinitionUneforceestditeNewtoniennesic'estuneforcecentralequivarieselonlaloi1/r2:!=-!!!!!kétantuneconstante.Laforceestattractivesikestpositive;elleestrépulsivesikestnégative.Exemples:♠ Interactiongravitationnelle:!=!!!!!♠ Interactionélectrostatique(ForcedeCoulomb):!=-!!!!!!!!!II.2)-EquationdelaTrajectoireL'équationdifférentielledumouvementd'unpointmatérielsoumisàuneforcecentrales'écrit:!!!!!!+!=!!!!Cetteéquationp eutêtreétablieenut ilisantlesformulesde Binetavecleprinci pefondamentaledeladynamiqueouencoreenut ilisant laco nservationdel'énergiemécanique.Preuve1(enutilisantlePFD):UneforceNewtoniennes'écritsouslaforme:!=-!!!!!=-!!!!!où!=1/!.D'unautrecôté,enutilisantladeuxièmeformuledeBinetonécritlaforcesousforme:!=-!!!!!!"+!!!Enégalisantlesdeuxexpressionsonobtient-!!!!!=-!!!!!!"+!!!!=!!!!"+!ouencore!"+!=!!!!Preuve2(enutilisantlaconservationdeEm):UneforceNew tonienneét antuneforceconservative,ell edérived'u neénergiepotentiellequis'écritsouslaforme(utiliser!=-grad!!):!!=-!!+!"#.Enconsidérantquel'énergiepotentielles'annuleàl'infinionobtient:!!=-!!=-!"D'autrepartl'énergiecinétiques'écritenutilisantlapremièreformuledeBinet:!!=12!!!!′!+!!L'énergiemécaniques'écritalors:!!=!!+!!=-!"+12!!!!′!+!!

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uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 5 / 10!étantconservative,l'énergiemécaniquedoitêtreconservée:!"!!"=0-!!"!"+12!!!!!!!!"+!!!!"=0ouencore-!!"!"!"!"+12!!!2!′!"′!"+2!!"!"=0-!!"!"!"!"+12!!!2!′!"′!"!"!"+2!!"!"!"!"=0ensimplifiantpar!"!"!"!"=!′!"!"quinepeutêtrenul:-!+!!!!"′!"+!=0quipermetd'écrire(sachantque!"!!"=!′′):!"+!=!!!!Lasolut iondel'équationdifféren tielle(d esecondordreavecsecondmembre )dumouvements'écritsouslaforme:!!=!!cos!-!!+!!!!Enutilisantlesnotationssuivantes:!!=!!!! ,!=!!!avec! dénotantlesignedekc.à.

.!=1 si !>0!=-1 si !<0 ,onobt ientl'expressiondel'équationdelatrajectoireentermesdescoordonnéespolaires(!,!) :!!=!!+!cos!-!!C'estl'équationd'uneconiquedeparamètrepetd'excentricité ,oùOestl'undesfoyers.Danstoutela suite,onvapren dre!!=0et!=1(forceattractive),donn antcommeéquationdelatrajectoire:!!=!1+!cos!II.3)-Classificationd'uneTrajectoireselonsonexcentricitéSuivantlavaleurdel'excentricité ,onpeutobtenirplusieurstypesdetrajectoires.II.3.1)TrajectoirecirculairePour!=0,laconiqueestuncercle,puisquedanscecas!=!estconstant.

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uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 6 / 10II.3.2)TrajectoireelliptiquePour01,latr ajectoireest unehyperbole.Cependant,puisquelesdeux branchesdel'hyperbolesontdéconnectées,lepoint matérielsedéplaceuniquementsurl'unedesbranchesdel'hyperbole.L'unecorrespondàlatrajectoired'unpointmatér ielsousl'action d'uneforceattractiveetl'autre sousl'act iond'uneforcerépulsive.Lepérigéeestobtenupour!=0,etestsituéàunedistancerpdeO:!!=!!.Ilestànoteraussiquepour <1latrajectoireestfermée(c ercleouellipse) onparl ealors

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uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 8 / 10Ainsionobtientunétatlié(trajectoirefermée)pour!!<0,tandisqu'onaunétatlibre(trajectoireouverte)pour!!≥0.III-LoisdeKeplerLestroislo isdeKeplersont desloisempir iques,el lesontétéétablies àpartirdes observationsastronomiquesdumouvementdesplanètes:PremièreloideKeplerLatrajectoiredescentresdesplanètesdécrituneellipsedontl'undesfoyersestlesoleil.DeuxièmeloideKeplerLesrayonsvecteursbalaientdesaireségalespourdesintervallesdetempségaux;c'estlaloidesaires.III.3)TroisièmeloideKeplerLerapportentrelecarrédelapériodeTdelarévolutiond'uneplanèteautourdusoleiletlecubedudemi-grandaxeadelatrajectoireestindépendantdelaplanète:!!!!=4!!!!=4!!!!!"#$%#=ConstanteoùGestlaconstantedegravitationuniverselle,et!!"#$%#représentelamassedusoleil.IV-MouvementdesSatellitesOnconsidèrelemouvementd'unsatellitedemassemautourdelaterre.DanslasuiteonvanoterMTlamassedelaterreetRTsonrayon.Danscecas,laconstanteks'écrit:!=!"!!.Lemouvemen tdusatellitepeutêtr edécrit parsonénergiemécaniquequi estconservée:!!=-!"!!!!+12!!!!ouencore!!=-!2!1-!!=-!"!!2!1-!!Enfixant lesconditionsinitiales ,(c.à.

.pourr0donnéonfix eune vitesseinitialecorrespondante)onfixelanaturedelatrajectoireselonlavaleurdel'énergiemécaniqueobtenue.IV.1)PremièreVitesseCosmique-VitesseCirculaireLatraject oirecirculairedusatellitecorresp ondà =0etp=r0.Enutilisantles deuxexpressionsdel'énergiemécanique,onétablitlavitesseinitialeV0=VC,appeléepr mièr vit ss cosmiqu ,permettantd'avoircettetrajectoire:!!=-!"!!!!+12!!!!=-!"!!2!!!!=!!!!!

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uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 9 / 10Unsatellitelancéàunevitesseinitialeégaleàlapremièrevitessecosmique,àladistancer0ducentredelaterreauraunetrajectoirecirculairederayonr0.IV.2)DeuxièmeVitesseCosmique-VitessedeLibérationLavitess edelibération,aussi appelée deuxièmevitessecosmique,correspond àlavitesseinitialeminimale nécessairepourlibérerle satellitedel'attr actiongravitationnelledelaterrec.à.

.permettantausatellited'avoirunetrajectoireouverte.Lavitesseminimalepermettantd'avoirunetrajectoireouvertecorrespondàlavitessepourunetrajectoireparabolique:!=1⟹!!=0!!=-!"!!!!+12!!!!=0⟹!!=2!!!!!Parconséquentsilavitesseinitialed'unsatelliteestsupérieureouégaleàsavitessedelibérationsatrajectoires eraouve rte(paraboliqueouhyperbolique).L esatellites'éloigneradoncindéfinimentdelaterre.Application:Latrajec toireminimalequepeutavoirunsat ellitecorrespondà unetrajecto irecirculaireàaltitudenégligeabl eparrapportaurayondelat erre(r0≈RT).Ellecorrespondàunepremièrevitessecosmique:!!=!!!!!D'unautrecoté,lavitessedelibérationestégaleà!!=2!!!!!=2!!Parconséquent pouréviterdeperdre unsatel liteilfaut le lancer avecunevit esseinitialeV0telleque:!! Cours

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uPointmatéri lChapitre5:Application-ForcesCentralesSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 10 / 10Pourquelesatelliteaitunevitesseconstante,ilfautquesatrajectoiresoitcirculaire(sinon,onavuquelavitessedépenddeladistanceparrapportàlaterreonauradoncunevitessevariable),onutilisealorslapremièrevitessecosmique:!=!!=!!!!Orlavitesseangulaireestdonnéepar!=!!,etlapériodederotationpar!=2!!=2!!!=2!!!!!!Lerayondelatrajectoired'unsatellitegéostationnairedoitdoncêtre!=!!!!!4!!!!Applicationnumérique:!=6,67×10!!!!.!!/!"! ; !!=6×10!"!" ; !!=6400!"!=42 300 !"=6,6 !!Celacorrespondàunealtitude:ℎ=!-!!≈36 000 !"Remarque:Nepasconfondreunsatellitegéostationnaireàunsatellitegéosynchrone.Cedernieràlamêmepériodederotationquecelledelaterremaisiln'estpasfixeparrapportàcellela.Pourunobservateurliéàlaterrecesatelliterevientaumêmepointdel'espaceaprèsunepériodede24h.

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