1 Lois de Kepler lois de Newton
Les lois de Kepler démontrées avril 2014. 2 Deuxième loi de Kepler : la loi des aires. On considère un corps céleste P de masse m soumis à l'attraction d'un
Démonstration des lois de Kepler à laide du calcul différentiel et
Première loi : Les planètes décrivent des orbites ellip- tiques dont l'un des foyers est le Soleil. Deuxième loi : La droite joignant le centre du Soleil au
Chapitre 5 : Application - Forces Centrales
La trajectoire des centres des planètes décrit une ellipse dont l'un des foyers est le soleil. Deuxième loi de Kepler. Les rayons vecteurs balaient des aires
∫ ∫ ∫
Les trois lois de Kepler. Mécanique 3 & 4ème - 4. La loi des aires. C'est la deuxième loi de Kepler. Le vecteur r. G balaie des aires égales pendant des
Chapitre 13 Mouvements des satellites et des planètes
Une ellipse dont les foyers sont confondus est un cercle de rayon R = a. Deuxième loi de Kepler ou loi des aires. Le segment [SP] qui relie le centre S du
PHQ114: Mecanique I
30/05/2018 La démonstration de ce fait capital repose sur la troisième loi de Newton ... deuxième loi de Kepler dite loi des aires : l'aire balayée par ...
Chapitre 17 Forces centrales
b Deuxième loi de Kepler (loi des aires). Dans le référentiel héliocentrique 3.6 Trajectoire conique (démonstration hors programme). Partons du PFD projeté ...
1 Les lois de Kepler : rappels ! a3 T2 = cste. 2 Construction de lorbite
• Deuxième loi : Le rayon Soleil-Planète balaie des aires égales pendant des Pour leur démonstration voir le fichier Kepler-démontré.pdf. P est une ...
Chapitre 12 : Mouvement des planètes et des satellites
géostationnaire. (10). Retrouver la troisième loi de Kepler pour un satellite ou une planète en mouvement circulaire uniforme.
Article Les fonctions trigonométriques et la deuxième loi de Kepler
Lemme 1 (bien connu des physiciens) Une courbe paramétrée z(t) satisfait la loi des aires si et seulement si elle est associée à une loi centrale. Démonstration
1 Lois de Kepler lois de Newton
Les lois de Kepler démontrées avril 2014. 2 Deuxième loi de Kepler : la loi des aires. On considère un corps céleste P de masse m soumis à l'attraction d'un
Démonstration des lois de Kepler à laide du calcul différentiel et
Première loi : Les planètes décrivent des orbites ellip- tiques dont l'un des foyers est le Soleil. Deuxième loi : La droite joignant le centre du Soleil au
Lois de KEPLER
La 2ème loi de Kepler implique que ces surfaces Une démonstration semblable est dans le livre avec au centre la Terre et un satellite en orbite…
? ? ?
yc. Page 8. Annexe II. Les trois lois de Kepler. Mécanique 3 & 4ème - 8. Autre démonstration de la première loi de Kepler vitesse et hodographe. Voici une
Rappels La démonstration des lois de Kepler repose dune part sur
La démonstration des lois de Kepler repose d'une part sur la 2 eme loi du mouvement de. Newton qui régit la trajectoire d'un corps de masse m en fonction de
Rappels La démonstration des lois de Kepler repose dune part sur
La démonstration des lois de Kepler repose d'une part sur la 2 eme loi du mouvement de. Newton qui régit la trajectoire d'un corps de masse m en fonction de
M ` ?
Première loi de Kepler. Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil est l'un des foyers. Deuxième loi de Kepler. Le rayon-vecteur (c.
Clemenceau
Les 3 lois de Kepler (Noblet). Chute d'un obus 2ème formule de Binet (pour l'accélération) : ... Démonstration de la 3ème loi de Kepler :.
Chapitre 5 : Application - Forces Centrales
Loi des aires (2ème loi de Kepler):. La loi des aires stipule que la vitesse aréolaire est constante pour un mouvement à force centrale.
Chapitre 12 : Mouvement des planètes et des satellites
appliquant la deuxième loi de Newton aux satellites ou aux planètes. Retrouver la troisième loi de Kepler pour un satellite ou une planète en mouvement ...
Chapitre VII
Mouvements`a force centrale
VII.a. Lois de Kepler
En première approximation, le mouvement des planètes (1)autour du Soleil est régi par trois lois qui furent établies au 17 esiècle par l"astronome Johannes Kepler, à partir notamment des observations deMars réalisées par Tycho Brahe. Ces lois furent utilisées par Newton pour établir la loi de l"attraction
universelle. Voici leur énoncé traditionnel :Première loi de KeplerLes planètes décrivent des ellipses dont le Soleil est l"un des foyers.Deuxième loi de Kepler
Le rayon-vecteur (c
.-à-d.le segment) Soleil-planète balaie des aires égales en des temps égaux.Troisième loi de Kepler
Le rapport du cube du demi-grand axe de l"ellipse sur le carré de la période de révolution autour
du Soleil est le même pour toutes les planètes.Nous démontrerons ces lois et préciserons leur signification et leurs limites dans ce qui suit.
VII.b. Mobile fictif
SoientR=(O;~{;~|;~k) un référentiel galiléen etM1etM2deux points matériels de massesm1etm2.
NotonsGle centre d"inertie du systèmeS=fM1;M2g: m1!GM1+m2!GM2=~0:
On suppose queSest unsystème isolé. On a donc (m1+m2)~aG=R=P~Fext!S=~0, c.-à-d.~vG=R=~cte:leréférentiel barycentriqueR=(G;~{;~|;~k) deSest donc galiléen.On se place désormais dansR.Z
On définit lemobile fictifMpar!GMB!M1M2B~r1. Rappelons que, par ordre croissant de distance au Soleil, les planètes du Système solaire sont Mercure, Vénus, la Terre,
Mars, Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune. Elles eectuent leurs révolutions autour du Soleil quasiment dans le même
plan que la Terre. Ce dernier, appelé écliptique, est incliné d"environ 23 par rapport à l"équateur terrestre. 75Michel FiocDynamique des systèmeset on lui associe lamasse réduite
Bm1m2m
1+m2:Connaissant la position du mobile fictif, il est facile d"en déduire celles deM1etM2. En eet,!GM1=!GM2+!M2M1=m1!GM1=m2~r, donc
GM1=m2m
1+m2~r:
De même,
!GM2=m1m1+m2~r:
En particulier, sim2m1(p.ex.la masse d"un satellite devant celle de la Terre ou la masse d"une planète devant celle du Soleil),!GM1~0 et!GM2~r:M1est alors presque confondu avecG, etM2avec M.ZLa trajectoire deMest déterminée par
F1!2=m2d2!GM2dt2=d2~rdt2:
On aLG(fM1;M2g)=m1!GM1d!GM1dt+m2!GM2d!GM2dt
=m1!GM1d!GM1dt+m2!GM2d(!GM1+!M1M2)dt =(m1!GM1+m2!GM2| {z }0)d!GM1dt+m2!GM2| {z }
~rd!M1M2dt; soitLG(fM1;M2g)=~rd~rdtB~LG(M):
De même,
E c(fM1;M2g)=12 d~rdt 2BEc(M):
VII.c. Constantes du mouvement
VII.c.1. Moment cinétique. 2eloi de Kepler
Le système étant isolé,
~LG=~cte. Notons~uzun vecteur unitaire colinéaire à~LGetL0=~LG~uz.Le vecteur
~rétant perpendiculaire à~LG, donc à un vecteur~uzconstant,M se déplace dans le plan perpendiculaire à ~LGpassant par G. Soient~uxet~uydeux vecteurs tels que le repère (G;~ux;~uy;~uz) soit orthonormé direct. RepéronsMpar ses coordonnées polaires,r=k!GMket=(~uxb;!GM). On aLG(M)=~rd~rdt=(r~ur)(:r~ur+r:~u)=r2:~uz:
La constante
CBr2:=L0=
s"appelle laconstante des aires(2).2. Certains auteurs appellent "constante des aires» la quantitéC=2.
76Chapitre VII. Mouvements à force centrale
Pendant une durée infinitésimale dt, l"aire balayée par lerayon-vecteur!GMvaut (cf.§ I.a.1 pour
le calcul de l"aire d"un triangle) dA=k~rd~rk2 =jCj2 dt:C"est ce qu"exprime laloi des aires, ou2eloi de Kepler: "Le rayon-vecteur balaie des aires égales en
des temps égaux.».L"aireA1balayée par!GMentre t1ett1+test égale à l"aireA2
balayée entret2ett2+ t.Cas oùm1m2
Sim1m2,~LM1(M2)=~LG(M), donc~LM1(M2)=~cte.
On peut démontrer ceci sans passer par le mobile fictif. Sim1m2,M1est confondu avecGet estdonc immobile dansR. En appliquant le théorème du moment cinétique àM2seul et en calculant
les moments par rapport àM1, on obtient d~LM1(M2)=dt=!M1M2~F1!2=~0, puisque~F1!2est une force centrale. VII.c.2. Énergie mécanique. Énergie potentielle eective M1etM2interagissent par l"intermédaire d"uneforce centrale, c.-à-d.une force dirigée selon!M1M2
et ne dépendant que der=k!M1M2k. Une telle force est nécessairement conservative. Le système étant
isolé, son énergie mécanique,Em=Ec+Ep, est donc constante; notons-laE0. On a E 0=12 (:r2+r2:2)+Ep(r)=12 :r2+r2Cr 2 2! +Ep(r)=12 :r2+Eep(r); où E ep(r)BC22r2+Ep(r) est l"énergie potentielle eective.ZOn peut séparer les variablestetrdans l"équation diérentielle (enret:r) ci-dessus. On obtient
dt=drq2 (E0Eep[r])=;
que l"on peut intégrer pour trouverten fonction der.On a de même
d=Cdrr2q2 (E0Eep[r])=:
77Michel FiocDynamique des systèmesCas d"une force en 1=r2
Considérons le cas d"une force en 1=r2,
F1!2=Kr
2~ur:K=Gm1m2correspond à la force gravitationnelle etK=q1q2=(4 0) à la force électrostatique.~F1!2
dérive alors de l"énergie potentielle d"interaction E p=Kr et E ep=C22r2Kr On a :r2=2 (E0Eep)=. Les seules valeurs derpossibles sont donc celles pour lesquellesEep(r)6E0.Distinguons les cas suivants :
1.K>0.
On a lim
r!0Eep= +1et limr!1Eep=0. La fonctionEepa un minimum négatif unique en r0=C2=K.
a.E0>0. L"équationE0Eep(r)=0 n"a qu"une seule racine,rmin. On a alorsr>rmin: la trajectoire s"étend jusqu"à l"infini. b.E0<0. L"équationE0Eep(r)=0 a deux racines,rminetrmax(rmax>rmin). On a alorsrmin6 r6rmax: la distance entreM1etM2est bornée.2.K<0.
On a lim
r!0Eep= +1et limr!1Eep=0+. La fonctionEepest strictement décroissante. Comme dans le cas 1.a,E0>0 et l"équationE0Eep(r)=0 n"a qu"une seule racine,rmin. On a alorsr>rmin: la trajectoire s"étend jusqu"à l"infini.78Chapitre VII. Mouvements à force centrale
Les pointsPetAcorrespondant àr=rminetr=rmaxs"appellent respectivement le péricentre etl"apocentre. Dans le cas particulier d"un corps tournant autour de la Terre, on parle plutôt de périgée
et d"apogée; autour du Soleil, de périhélie et d"aphélie; autour d"une autre étoile, enfin, de périastre
et d"apoastre.VII.d. Coniques
VII.d.1. Généralités
Considérons un cercleCet un pointSsitué hors du plan deC, sur la droite passant par le centre deCperpendiculaire au plan deC. L"ensemble des droites passant parSet s"appuyant surCforme un cône,K, de sommetS. Les coniques sont les courbes correspondant à l"intersection d"un planPavecK: SiPest peu incliné par rapport au plan deC, on obtient une courbe fermée, l"ellipse. Le cercle est un cas particulier d"ellipse obtenu siPest parallèle àC.InclinonsunpeuplusP. Àuncertainmoment,Pdevientparallèleàl"unedesdroitesgénératrices
du cône; on a alors une courbe ouverte, laparabole. Si nous inclinons encore plusP, le plan coupe le cône de part et d"autre de son sommet. On obtient une courbe ouverte constituée de deux branches, l"hyperbole. À la limite, si le plan passe parS, on obtient deux droites.VII.d.2. Foyer, excentricité
On peut également définir les co-
niques de la manière suivante : considé- rons une droite(la "directrice»), un pointFet un nombree>0.La conique defoyerFet
d"excentricitéeest l"ensemble des pointsMtels que k !FMkk !HMk=e; oùHest la projection orthogonale deM sur.Sie<1, la conique est une ellipse
(en particulier un cercle sie=0); si e=1, c"est une parabole; sie>1, unehyperbole.Si la conique est une ellipse ou une hyperbole, il existe un deuxième foyer,F0, et une deuxième
directrice,0, donnant la même courbe.VII.d.3. Équation en coordonnées polaires
NotonsKla projection orthogonale deFsur,h=k!FKk,~ux=!FK=h(donck~uxk=1) et~uyun vecteur unitaire parallèle à.Dans le repère orthonormé (F;~ux;~uy), l"équation en coordonnées polaires de la conique est
r=p1+ecos; oùrBk!FMk,B(~uxb;!FM) etpBe h.Dans le cas de l"hyperbole, il s"agit de l"équation de la branche située en deçà de la directrice par
rapport àF. L"équation de la branche située au-delà est r=pecos1: 79Michel FiocDynamique des systèmesDans un autre repère orthonormé (F;~ux0;~uy0), tourné de0par rapport à (F;~ux;~uy) (c.-à-d.(~ux0b;~ux)
=0), l"équation de la conique est r=p1+ecos(00);où0B(~ux0b;!FM). De même, l"équation de la branche de l"hyperbole au-delà de la directrice est
r=pecos(00)1:VII.d.4. Équation cartésienne
VII.d.4.a. Ellipse et hyperbole
Sie,1, la conique a un centre de symétrieOà mi-chemin des foyers. Posons a=pj1e2jetb=ppj1e2j:VII.d.4.a.i. Ellipse
L"équation de l"ellipse dans le repère (O;~ux;~uy) (attention : l"origine n"est plusF) est x 2a 2+y2b 2=1; oùaest ledemi-grand axede l"ellipse etb(L"aire de l"ellipse vautA=a b:
VII.d.4.a.ii. Hyperbole
L"équation de l"hyperbole dans le repère (O;~ux;~uy) est x 2a 2y2b 2=1:Pour tout pointMde l"hyperbole,
k!FMk k!F0Mk=2a: L"hyperbole a par ailleurs deux droites asymptotiques, d"équationsyasymp=(b=a)x. 80Chapitre VII. Mouvements à force centrale
VII.d.4.b. Parabole
SoitSlesommetde la parabole, c.-à-d.le point de la parabole le plus proche de. Posons~uX=~uy et ~uY=~ux. L"équation de la parabole dans le repère (S;~uX;~uY) estY=X22p:
VII.e. Trajectoire
VII.e.1. Formules de Binet
Exprimonsv2en fonction deu=1=r. On a:=C=r2=C u2, donc v2=:r2+r2:2=d[1=u]dt
2 +:2u 2= du=dtu 2 2 +:2u 2= du=du 2: 2 +:2u 2; d"où vquotesdbs_dbs6.pdfusesText_11[PDF] 2m maroc 1990
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