[PDF] Clemenceau Les 3 lois de Kepler (

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Olivier GRANIER

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PCSI 1 - Physique

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PCSI 1 (O.Granier)

Attraction gravitationnelle(mécanique du point matériel)

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PCSI 1 - Physique

But du chapitre

Les 3 lois de Kepler (Noblet)Chute d"un obusDiffusion Rutherford

Quelques exemples

de forces centrales dans " la vie de tous les jours »

Lancement d"Ariane V

Chapitre basé sur

les lois de conservation (conservation de l"énergie mécanique, conservation du moment cinétique)

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PCSI 1 - Physique

I - Rappels : interactions gravitationnelle et coulombienne1 - La force gravitationnelle : On considère une masse M immobile en O et un point matériel P(m) mobile. La

force gravitationnelle subie par le point P est : P(m) O(M) yz rur ru rmMGfr r 2 r = OP rdr ru rmMGfr r 2

Elle dérive de l"énergie potentielle E

ptelle que : rpudrdEfrr r GmME p soit Par convention, on choisit une énergie potentielle nulle à l"infini. 02 21
mE rmMGmv=-

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0 02 41
21
mErqQmv=+

2 - La force coulombienne : On considère une charge Q immobile en O et un point matériel P(m,q) mobile. La

force coulombienne subie par le point P est : rurqQfr r 20

41πε

Ainsi, les résultats obtenus avec la force gravitationnelle peuvent être transposés pour la force coulombienne en faisant l"analogie formelle suivante : mMqQG?-?;41 0 rPPudrdEfetrqQEr r 0

41πε

L"énergie potentielle coulombienne est alors :

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II - Forces centrales conservatives :On considère un point matériel M(m) soumis à une force centrale , c"est-à-dire passant constamment par un point fixe O du référentiel d"étude, choisi ici comme origine du référentiel. M(m) O yz rur rurffr r r = OM x rurffr r

Si f(r) > 0, la force est répulsive.

Si f(r) < 0, la force est attractive.

Elle dérive de l"énergie potentielle E

Ptelle que :

drdErf P

Exemple :

interaction moléculaire

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III - Lois générales de conservation : Conservation du moment cinétique par rapport au centre de forces O :Moment cinétique par rapport au centre de forces O :

vmurvmOM rO r r r r

Théorème du moment cinétique :

0)(rrr

r r =?=?=rrOurfurfOMdtd

Par conséquent :

0σσr

r ==cste O Le moment cinétique par rapport au centre de forces d"un point matériel soumis à une force centrale est une constante du mouvement

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Le mouvement de la particule est

nécessairement plan 000 )0()0(vtvetOMrtr r r r r

Les conditions initiales du mouvement sont, par exemple, à t = 0 :La trajectoire du point matériel est donc plane

(dans le plan défini par les conditions initiales . Le moment cinétique par rapport à O, constante du mouvement, peut

être évalué à

l"instant initial et vaut alors :

000vmr

O r r r r Ce vecteur est perpendiculaire à la fois aux deux vecteurs . A l"instant t, : par conséquent, les vecteurs , perpendiculaires à , sont finalement contenus dans le plan défini par .

00vetrr

r vmrr r r 0σ vetrr r

0σr

00vetrr

r

00vetrr

r

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OM 0 M

Trajectoire

Plan de la

trajectoire 0vr 0rr vr rr0σv

0σv

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On se place dans le plan de la trajectoire et on y définit les coordonnées polaires de M : xy O M xy rurrxur yurθur

θururvurr

rr r&r&r r r

Le moment cinétique en O vaut alors :

vmOM O r r r

0σσ

zumrr& r

θσ2

0

D"où la 1

ère

relation de conservation : csterCm===

θσ&200

(C0est appelée constante des aires

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La loi des aires :

xy O M rur r

θur

θθdrrdrdA2

21))((

21==

L"aire balayée dA par le rayon vecteur OM

entre les instants t et t+dt vaut :

La loi des aires

(simulation Java)drr+ dθθθθ

θrd

Aire dA

La vitesse aréolaire, dA/dt, vaut :

θθ&22

21

21rdtdrdtdA==

Par conséquent :

csteCdtdA== 0 21

Loi des aires

: le rayon vecteur OM issu du centre de forces O balaye des aires égales pendant des intervalles de temps égaux.

Loi des aires

(G.Tulloue)

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Conservation de l"énergie mécaniqueL"énergie mécanique du point matériel M est : 0,2 21
mpmErEvmE=+=r

C"est une

constante du mouvement (la force centrale est conservative

En utilisant les coordonnées polaires :

PPrmEmrrmEururmE++=++=

22220,

21
21)(
21
&&r&r& On peut éliminer en remarquant que . L"expression de l"énergie mécanique devient alors : 20 /mr

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PmEmrrmE

22
020,

221σ

PmEmrmrrmE+)

((+=2 2 0 220,
21
21

Energie cinétique

radialeE P,eff : énergie potentielle efficace (ou effective)

PeffPEmrE+=

22
0, 2σ ( est le terme centrifuge 22
0

2mrσ

Cette énergie correspond à l"énergie mécanique d"un point matériel de masse m, se déplaçant sur une droite et soumis à une énergie potentielle efficace (ou effective) :

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L"énergie cinétique radiale étant

nécessairement positive ou nulle, on peut en déduire les limites du mouvement de M (voir cours sur l"énergie) :

Limites du mouvement :

0 21
,0,2 effPm EErm& 0,,

Pour E

m,0,1

Pour E

m,0,2

1rr≥

r1r2 r3 rE p,eff

Em,0,1Em,0,2

Etats de

diffusion Etats liés

Applications :

interactions gravitationnelle et coulombienne (calculer E p,eff

Energie mécanique (G.Tulloue)

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IV - Les formules de Binet : But : obtenir le rayon vecteur r en tant que fonction de l"angle θθθθ(et non

plus du temps t), afin de déterminer l"équation polaire r(θθθθ) de la trajectoire plane.1ère formule de Binet (pour la vitesse) :

θσ&2

0 mr=

Le vecteur vitesse s"exprime :

θururv

r r& r& r

Le moment cinétique est constant :

rmmrrrrdd mddr mr ddr dtd ddr dtdrr 11 0 200

20σσθθσ

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En reportant dans l"expression du vecteur vitesse :

D"où la 1

ère

formule de Binet : (pour le vecteur vitesse) urmurdd mv r rrr11 00 ururdd mv r rrr11 0

2ème

formule de Binet (pour l'accélération) : On calcule l"accélération en remarquant que :

θdvd

mr dtd dvd dtvda r r r r 20

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Or : rrrrururdd rmdvd mr dtvdu rurddurddurdd mdvd rrrrrrrr r

111111

22
222
0 202
2

0θσ

D"où la 2

nde formule de Binet : rurrdd rmarr ((-=1122 222

0θσ

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V - Trajectoires dans un champ de force gravitationnel : Nature de la trajectoire :Rappel des notations :

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