[PDF] Exercice 2 Lyon 2005 Question 1 Nombre dentiers naturels à 2

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Exercice 2 Lyon 2005

Question 1

Nombre d"entiers naturels à 2 chiffres, à 3 chiffres, à 4 chiffres Les entiers naturels s"écrivant avec 2 chiffres sont ceux compris entre 10 et 99 ; il Y en a 90 (10 commençant par 1, 10 commençant par 2, ..., 10 commençant par 9). Les entiers naturels s"écrivant avec 3 chiffres sont ceux compris entre 100 et 999 ; il Y en a 900 (100 commençant par 1, 100 commençant par 2, ..., 100 commençant par 9). Les entiers naturels s"écrivant avec 4 chiffres sont ceux compris entre 1000 et 9999 ; il y en a

9000 (1000 commençant par 1, 1000 commençant par 2, ..., 1000 commençant par 9).

Donc, Il y a 90 nombres à 2 chiffres, 900 nombres à 3 chiffres et 9000 nombres à 4 chiffres.

Question 2a

Nombre d"entiers naturels à 3 chiffres tous identiques Il Y a 9 entiers naturels à 3 chiffres dont les trois chiffres sont identiques:

111 ; 222 ; 333 ; 444 ; 555 ; 666 ; 777 ; 888 ; 999.

Question 2b

Nombre d"entiers naturels à 3 chiffres tous différents On a 9 choix pour le premier chiffre (n"importe quel chiffre sauf 0), puis 9 choix encore pour le deuxième chiffre (n"importe quel chiffre sauf celui choisi comme chiffre des centaines) et

enfin 8 choix pour le troisième chiffre (n"importe quel chiffre sauf ceux choisis pour les

centaines et pour les dizaines) d"où:

9 x 9 x 8 = 648 . Il y a donc 648 nombres à 3 chiffres tous

différents.

Question 2c

Nombre d"entiers naturels à 3 chiffres ayant exactement deux chiffres différents Considérons la partition suivante de l"ensemble des 900 nombres à trois chiffres:

o Ceux dont l"écriture utilise 3 chiffres différents (il y en a 648 d"après laquestion 2b) ;

o Ceux dont l"écriture utilise exactement 2 chiffres différents; o Ceux dont les trois chiffres sont identiques (on a vu à la question 2a qu"il y en a 9). Le nombre recherché est donc: 900 - 648 - 9 = 243. Il y a 243 nombres à trois chiffres dont l"écriture utilise exactement 2 chiffres différents.

Question 2d

Pourcentage de nombres à 3 chiffres ayant au moins un chiffre répété

Les nombres à 3 chiffres ayant au moins un chiffre répété sont ceux des questions 2a et 2c:

ceux ayant trois chiffres identiques et ceux ayant exactement deux chiffres répétés; il y en a

donc: 9 + 243 = 252.

Il y a ainsi 252 nombres à trois chiffres ayant au moins un chiffre répété parmi 900 nombres à

trois chiffres. Leur proportion est donc: 252/900= 0,28 soit 28%.

Exercice 3La Réunion 2005

Question 1

L"associé de 768 492 s"obtient en intercalant un 0 entre le chiffre des dizaines 9 et le chiffre des unités 2, c"est donc 7 684 902.

Question 2

On peut dire que 2005 est l"associé de 205.

Question 3

a) On suppose que n est un entier divisible par 9. On sait alors que la somme des chiffres de n est un nombre divisible par 9. Or, intercaler un 0 entre deux de ses chiffres ne change rien à leur somme, donc la somme des chiffres de son associé est aussi divisible par 9.

L"associé de n est donc divisible par 9.

b) La réciproque de la propriété démontrée précédemment est: " Si l"associé d"un entier n est

un nombre divisible par 9, alors n est divisible par 9 ».

c) Cette réciproque est vraie: la somme des chiffres de n est égale à la somme des chiffres de

son associé donc dès que l"une est divisible par 9, l"autre l"est aussi.

Question 4

Remarque :

Énoncer une condition nécessaire et suffisante c"est énoncer une propriété équivalente à la

propriété donnée (on peut relier les deux propriétés par l"expression " si et seulement si »).

Méthode par les critères de divisibilité

L"associé de n, noté n", est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux

derniers chiffres est divisible par 4 (critère de divisibilité par 4). Or le chiffre des dizaines de n"est nécessairement 0, donc n" se termine par u0, où u est le chiffre des unités de n". On peut donc dire que n"est divisible par 4 si et seulement si son chiffre des unités u est divisible par 4, donc si et seulement si u" est égal à 0, 4 ou 8.

Comme n et n" ont le même chiffre des unités alors on peut dire que l"associé de n est

divisible par 4 si et seulement si le chiffre des unités de n est 0, 4 ou 8.

Question 5

On montre tout d"abord que le reste r de la division euclidienne de n par 5 est entièrement déterminé par le chiffre des unités de n, noté u.

Tout nombre n peut s"écrire sous la forme: n = 10a + u où a représente le nombre de dizaines

de n.

10a est un nombre divisible par 5 donc n et u ont le même reste dans la division euclidienne

par 5.

On peut en déduire que: si 0

£ u < 5 alors r = u

Si 5

££u9 alors r = u - 5

Ainsi, on a montré que

r est connu dès que u l"est. Or, n et n" ont le même chiffre des unités, u. Donc n et son associé ont le même reste dans la division euclidienne par 5 .

Exercice 4 Guadeloupe 2004

Question 1

Le nombre ~5~5~5~5~5~ est un nombre écrit en base 10. On en déduit que ~ est un nombre entier tel que 0 < ~

£9.

La somme des chiffres de ce nombre vaut 6

´ ~ + 25 et doit être un multiple de 7. Comme 0 < ~ £ 9, on en déduit que 31 < 6 x ~ + 25 £ 79. On peut organiser la recherche à l"aide d"un tableau dans lequel on donnera pour valeurs à l"expression 6 ´ ~ + 25 les multiples de 7 compris entre 31 et 79 ; puis on essayera de trouver des valeurs de ~ qui conviennent si c"est possible. 6

´~+ 25 6´~

35 10 impossible

42 17 impossible

49 24 4

56 31 impossible

63 38 impossible

70 45 impossible

77 52 impossible

La seule valeur possible est ~= 4.

Question 2a

Le nombre E97F est écrit en base 10.

On en déduit que 1

Si la somme des chiffres de ce nombre est 29 on a l"égalité suivante:E + F + 16 = 29 d"où E + F =13 donc les couples (E ; F) possibles sont:(4 ; 9), (5 ; 8), (6 ; 7), (7 ; 6), (8 ;

5), (9 ; 4).

Question 2b

Si le produit des chiffres de ce nombre est 2268, on a E

´ F´ 9 ´7 = 2268 d"où E ´F =

2268 : 63 = 36 .

D"autre part, on sait que le nombre EF est divisible par 7. Parmi les couples (E ; F) trouvés en question a), voici les possibilités: E

´F = 36 EF

4 ´9 49 valeur possible 9 ´4 94 valeur impossible car non multiple de 7 On obtient donc E = 4 et F = 9 ainsi le nombre cherché est donc 4 979. Exercice 5 Lyon 2004: réponse : l"addition de Toto ne comporte aucune retenue.

Exercice 6 Besançon 2003: Soient

a et b deux nombres entiers tels que :xya= et xzb= avec

10=+zy

alors xzxyba´=´ )10)(10(zxyx++= yzzyxxbayzxzxyxba )(10100101010022 yzxxba++=´1001002 car 10=+zy yzxxba +´+=´100)1(

Comme z et y sont des chiffres, 100

Règle :Le produit ba´ est égal au nombre formé en juxtaposant, dans cet ordre le produit de

x par )1(+x et le produit de y par z (en plaçant un zéro à gauche de yz s"il n"a qu"un seul chiffre.

2. 90219397=´ car 90)19(9=+´ et 2173=´

30095951

=´ car 30)15(5=+´ et 919=´ Exercice 7 Bordeaux 2003:- Soit udccdu++=10100le nombre cherché. On sait que 16 =++udc. Si on intervertit le chiffres des centaines et celui des dizaines on a 450+=cdudcu c"est à dire 4501010010100 +++=++udcucd Si on intervertit le chiffre des centaines et celui des unités on a 198+=cduudc c"est à dire 1981010010100 +++=++udccdu

D"où le système :?

1989999450909016

cucdudc en divisant par 90 la deuxième équation et par

99 la troisième :

cucdudc 2 516
. On reporte d et u obtenus dans les 2 dernières, dans la première et on obtient 1625 =++++ccc donc 93=c d"où c=3, .5,8==ud Vérification : 450385835;16583+=+++ ; 198385583+=.

Exercice 8 Dijon 2003: a)Généralisation de la relation numérique : Soi a un entier supérieur

ou égal à 1 :

2)5(25100)1(aaa=+´+´ dans les exemples de l"énoncé, a est 6 puis 14 puis 127.

b) Vérifions cette relation dans de s exemples :

2510098225785251007170025497705

22+´´==+´´==

c) démonstration de la relation :

25100)1()510(25100100)510(

222+´+´=+++=+

aaaaaa on a bien

25100)1()5(2+´+´=aaa

Exercice 9 Rouen 2003:

1) Donnons tous les entiers naturels à un et deux chiffres divisibles par 7.

Ces entiers sont: 0, 7, 14,21,28,35,42,49,56, 63, 70, 77, 84, 91, 98. 2) Description et utilisation de la procédure.

a) Appliquons la procédure aux nombres 406, 895 et 3 906. 406 x2 - 12 28

895 x 2

- 10 79

3 906 x 2

- 12 378
378
x2 - 16 21

28 est divisible par 7 donc 406 l"est aussi ; 79 n"est pas divisible par 7 donc 895 non plus.

21 est divisible par 7 donc 378 l"est aussi, d"où 3 906 est divisible par 7.

b) Rédigeons un texte décrivant, dans le cas général, la procédure permettant de déterminer si

un nombre entier naturel est divisible par 7. Considérons un nombre entier naturel N. Soit a le chiffre de ses unités. Soustrayons 2a au nombre de dizaines de N. Nous obtenons un nouvel entier N". Si N" possède plus de deux chiffres, procédons de la même façon sur N" que sur N : si a" est le chiffre de ses unités alors retirons 2a" du nombre de dizaines de N". . Poursuivons ainsi jusqu"à obtenir un entier n à deux chiffres. Si n est divisible par 7 alors N est divisible par 7. Si n n"est pas divisible par 7 alors N n"est pas divisible par 7.

3) Justification.

a) Ecrivons la décomposition pour les nombres 273 et 1 856. 273 = 10

´ 27 + 3 1 856 = 10 ´185 + 6

b) Exprimons en fonction de v et de u le nombre obtenu en appliquant la procédure précédente à un nombre entier naturel E.

E = 10

v + u alors E" = v - 2u c) Montrons que si ce nombre obtenu après application de la procédure est divisible par 7 alors E sera lui aussi divisible par 7. Supposons que E" est divisible par 7. Alors il existe un entier naturel k tel que: kuv72"E=-= ukuukuvE2170)27(1010+=++=+= E = 7(10 k + 3u) 10k + 3u est un entier naturel, donc E est un multiple de 7.

Par conséquent E est divisible par 7.

Exercice 10 Orléans Tours 98

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