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Comment résoudre une inéquation produit du premier degré ?

Méthode : Pour résoudre une inéquation produit du premier degré, on doit : 1) Etudier les signes du premier puis du second facteur dans un tableau de signes. 2) Utiliser la règle de signes pour obtenir le signe du produit et trouver l’ensemble des solutions de l’inéquation en faisant attention au sens de l’inégalité.

Quels sont les exercices corrigés sur les inéquations ?

: 3eme Secondaire – Exercices corrigés sur les inéquations Exercice 1 : Résolution des inéquations. Exercice 2 : Cocher les cases lorsque le nombre est solution de l’inéquation. Exercice 3 : Exercice de type Brevet. Exercice 4 : Résolution des inéquations.

Comment résoudre une inéquation produit ou quotient ?

Pour résoudre une inéquation produit ou quotient, on étudie le signe du produit ou du quotient en dressant un tableau de signes. On passe tous les termes du même côté de l'inégalité pour se ramener à une inéquation du type A imes B gt 0, A imes B lt 0, dfrac {A} {B} gt 0 ou dfrac {A} {B} lt 0.

Quels sont les solutions de l’inéquation?

Les solutions de l’inéquation f (x) ? g (x) sont l’intervalle (ou l’union de celle-ci) fermé (ou semi-fermé pour les infinis) formé par les abscisses des points de Cf situés au dessus ou sur Cg . Les solutions de l’inéquation f (x) ? g (x) sont donc :

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ

CORRECTION DES EXERCICES

INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ:Exercice1:

Résolvons dansRles inéquations suivantes sans utiliser le discriminant.1.(2x+ 1)(x3)>0

Posons(2x+ 1)(x3) = 0

(2x+ 1)(x3) = 0,2x+ 1 = 0oux3 = 0 ,x=12 oux= 3

Faisons un tableau de signe:x

2x+ 1x3(2x+ 1)(x3)1

123+10++

0+ +00+

Ainsi, pour toutx2

1;12 []3;+1[on a(2x+ 1)(x3)>0. Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquation est l"intervalle: 1;12 []3;+1[c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.1

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

2.4x2 +x2

4x2 +x2, x2+ 4x20,x24x+ 20

Posonsx24x+ 2 = 0

24x+ 2 = 0,(x2)24 + 2 = 0

,(x2)22 = 0 ,(x2)2= 2 ,x2 =p2oux2 =p2 ,x= 2 +p2oux= 2p2

Faisons un tableau de signe.x

24x+ 212p22 +

p2+1+00+

Ainsi,x24x+ 20pour toutx22p2;2 +p2

Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquation est l"intervalle:

2p2;2 +p2

3.16(x4)20

Posons16(x4)2= 0

16(x4)2= 0,42(x4)2= 0

,(4x+ 4)(4 +x4) = 0 ,x(8x) = 0 ,x= 0oux= 8

Faisons un tableau de signe:c

Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.2

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

16(x4)2108+10+0

Ainsi,16(x4)20pour toutx2]1;0][[8;+1[

Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquation est l"intervalle: ]1;0][[8;+1[4.p5(2x1)20

On sait que pour toutx2R,(2x1)20

Ce qui équivaut àp5(2x1)20carp5<0

Par conséquentRest l"ensemble solution de l"inéquation.5.2x2<5x

2x2<5x, 2x25x <0

Posons2x25x= 0

2x25x= 0, x(x+ 5) = 0

,x= 0oux+ 5 = 0 ,x= 0oux=5

Faisons un tableau de signe:x

2x25x150+10+0

Ainsi,2x25x <0pour toutx2]1;5[[]0;+1[

Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquation est l"intervalle: ]1;5[[]0;+1[c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.3

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

6.2x2p2x >0

Posons2x2p2x= 0

2x2p2x= 0,x(2xp2) = 0

,x= 0ou2xp2 = 0 ,x= 0oux=p2 2

Faisons un tableau de signe:x

2x2p2x10p2

2+1+00+

Exercice2:

On considère les fonctionsfetgdéfinies surRpar : f(x) = 2x2(3 +p2)x+ 6p2etg(x) =x2+ 3x2:1.Déterminons les racines des fonctionsfetgdansR. f(x) = 2x2(3 +p2)x+ 6p2 Soit1le discriminant de l"équation2x2(3 +p2)x+ 6p2 = 0

1=b24ac

= [(3 +p2)]

24(2)(6p2)

= 9 + 6p2 + 248p2 = 1142p2

On sait que11<42p2donc1142p2<0ainsi1<0

1<0donc l"équation n"admet pas de solutions réelles.

Par conséquent, la fonctionfn"admet pas de racines réelles.c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.4

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

g(x) =x2+ 3x2

Soit2le discriminant de l"équationx2+ 3x2 = 0

2=b24ac

= 3

24(1)(2)

= 98 = 1

2>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes:

x 1=bp

22a=312= 2etx2=b+p

22a=3 + 12= 1

Par conséquent, la fonctiongadmet deux racines distinctes:1et22.Donnons le tableau de signes des fonctionsfetg.

Tableau de signe defx

f(x)1+1+

Tableau de signe degx

g(x)112+10+0

3.Déduisons l"ensemble solutions des inéquationsf(x)<0etg(x)0

dansR.

Solution de l"inéquationsf(x)<0

A partir du tableau de signe defprécédent on a:c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.5

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

f(x)>0pour toutx2Rainsi l"inéquationf(x)<0n"admet aucune solution réelle. Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquationf(x)<0est vide.

Solution de l"inéquationsg(x)0

A partir du tableau de signe degprécédent on a: g(x)0pour toutx2]1;1][[2;+1[ D"où l"ensemble solutions de l"inéquationg(x)0est l"intervalle ]1;1][[2;+1[

Exercice3:

On considère les fonctionsuetvdéfinies surRpar :

u(x) = 3x2+ 7x+ 5etv(x) =x22x+ 71.Déterminons si elles existent, les racines des fonctionsuetvdansR.

u(x) = 3x2+ 7x+ 5 Soit1le discriminant de l"équation3x2+ 7x+ 5 = 0

1=b24ac

= 7

24(3)(5)

= 4960 =11

1<0donc l"équation n"admet pas de solutions réelles.

Par conséquent, la fonctionun"admet pas de racines réelles. v(x) =x22x+ 7

Soit2le discriminant de l"équationx22x+ 7 = 0

2=b24ac

= (2)24(1)(7) = 4 + 28 = 32 = (4p2) 2c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.6

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

2>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes:

x 1=bp

22a=24p2

2=1 + 2p2et

x 2=b+p

22a=2 + 4p2

2=12p2

Par conséquent, la fonctionvadmet deux racines distinctes:12p2 et1 + 2p2

2.Donnons le tableau de signes des fonctionsuetv.

Tableau de signe deux

u(x)1+1+

Tableau de signe devx

v(x)112p21 + 2p2+10+0

3.Déduisons l"ensemble solutions des inéquationsu(x)0etv(x)<0

dansR.

Solution de l"inéquationsu(x)0

A partir du tableau de signe deuprécédent on a: u(x)>0pour toutx2R. Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquationu(x)0est l"ensembleR.c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.7

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

Solution de l"inéquationsv(x)<0

A partir du tableau de signe devprécédent on a: v(x)<0pour toutx21;12p2 [1 + 2p2;+1 D"où l"ensemble solutions de l"inéquationv(x)<0est l"intervalle:1;12p2 [1 + 2p2;+1

Exercice4:

Résolvons dansRles inéquations ci-dessous.1.2x2+x <3x242

2x2+x <3x242,3x2422x2x >0,x2x42>0

Posonsx2x42 = 0

Soitle discriminant de cette équation :

= (1)24(1)(42) = 1 + 168 = 169 = 132 >0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes: x

1=1132

=6etx2=1 + 132 = 7

Faisons un tableau de signe:x

2x42167+1+00+

Ainsi,x2x42>0pour toutx2]1;6[[]7;+1[

D"où l"ensemble solution de l"inéquation2x2+x <3x242est: ]1;6[[]7;+1[2.3x2x23x+ 4

3x2x23x+ 4,2x23x+ 43x0,2x26x+ 40,

23x+ 20

Posonsx23x+ 2 = 0

Soitle discriminant de cette équation :c

Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.8

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

= (3)24(1)(2) = 98 = 1 >0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes: x 1=312 = 1etx2=3 + 12 = 2

Faisons un tableau de signe:x

23x+2112+1+00+

Ainsix23x+ 20pour toutx2[1;2]

D"où l"ensemble solution de l"inéquation3x2x23x+ 4est[1;2]

Exercice5:

Résolvons dansRles inéquations ci-dessous en précisant les valeurs interdites le cas échéant.1.(x3)(x25x+ 6)>0

Posons(x3)(x25x+ 6) = 0

(x3)(x25x+ 6) = 0,x3 = 0oux25x+ 6 = 0 Résolvons les équations :x3 = 0etx25x+ 6 = 0 x3 = 0,x= 3

Soitle discriminant de l"équationx25x+ 6 = 0

= (5)24(1)(6) = 2524 = 1 >0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes: x 1=512 = 2etx2=5 + 12 = 3

Faisons un tableau de signe:c

Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.9

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

x x3x

25x+ 6(x3)(x25x+6)123+10+

+00+ 0+0+

Ainsi(x3)(x25x+ 6)>0pour toutx2]2;3[[]3;+1[

D"où l"ensemble solution de l"inéquation(x3)(x25x+ 6)>0est: ]2;3[[]3;+1[2.(x21)(x27x+ 6)0

Posons(x21)(x27x+ 6) = 0

(x21)(x27x+ 6) = 0,x21 = 0oux27x+ 6 = 0 Résolvons les équations:x21 = 0etx27x+ 6 = 0 x

21 = 0,x= 1oux=1

Soitle discriminant de l"équationx27x+ 6 = 0

= (7)24(1)(6) = 4924 = 25 = 52 >0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes : x 1=752 = 1etx2=7 + 52 = 6

Faisons un tableau de signe:x

x 21x

27x+ 6(x21)(x27x+6)1116+1+00++

++00+ +000+ c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.10

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

Ainsi pour toutx2[1;6];(x21)(x27x+ 6)0

D"où l"ensemble solution de l"inéquation(x21)(x27x+ 6)0est [1;6].

Exercice6:

Résolvons dansRles inéquations ci-dessous en précisant les valeurs interdites le cas échéant.1.

2x12x5

2x12x5,2x1(2x5)0

2(2x5)(x1)x10

2(2x22x5x+ 5)x10

2x2+ 7x3x10

Étudions le signe des fonctionx1et2x2+ 7x3

Posonsx1 = 0

x1 = 0,x= 1

Posons2x2+ 7x3 = 0

Soitle discriminant de cette équation.

= 7

24(2)(3) = 4924 = 25 = 52

>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes: x

1=754= 3etx2=7 + 54=12

Faisons un tableau de signe :c

Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.11

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

x x12x2+ 7x32x2+ 7x3x111

213+10++

0++0 +0+0

Ainsi,

2x2+ 7x3x10pour toutx212

;1 [[3;+1[

D"où l"ensemble solution de l"inéquation

2x12x5est :12

;1 [[3;+1[ La valeur interdite de cette inéquation est le réel :12.

2x23x5x

22x+ 1>1

2x23x5x

22x+ 1>1,2x23x5x

22x+ 11>0

2x23x5(x22x+ 1)x

22x+ 1>0

2x23x5x2+ 2x1x

22x+ 1>0

x2x6x

22x+ 1>0

Étudions le signe des fonctionsx2x6etx22x+ 1

Posonsx2x6 = 0

Soit1le discriminant de cette équation

1= (1)24(1)(6) = 1 + 24 = 25 = 52

1>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes:c

Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.12

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

x 1=152 =2etx2=1 + 52 = 3

Posonsx22x+ 1 = 0

Soit2le discriminant de cette équation

2= (2)24(1)(1) = 44 = 0

1= 0donc l"équation admet une unique solution réelle:

x 0=22 = 1

Faisons un tableau de signe:x

x 2x6x

22x+ 1x

2x6x

22x+ 11213+1+00+

++0++ +00+

Ainsi,

x2x6x

22x+ 1>0pour toutx2]1;2[[]3;+1[

D"où l"ensemble solution de l"inéquation

2x23x5x

22x+ 1>1est :

]1;2[[]3;+1[ La valeur interdite de cette inéquation est le réel :1

Exercice7:

Résolvons dansRles inéquations ci-dessous en précisant les valeurs interdites le cas échéant.1.

32x1x2(x1)0c

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Chapitre 1 : Polynôme du second degré

2x1x2(x1)0,6(x1)x(2x1)2(2x1)(x1)0

6x62x2+x2(2x1)(x1)0

2x2+ 7x62(2x1)(x1)0

Étudions le signe des fonctions2x2+ 7x6et2(2x1)(x1)

Posons2x2+ 7x6 = 0

Soitle discriminant de cette équation

= (7)

24(2)(6) = 4948 = 1

>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes: x

1=714= 2etx2=7 + 14=32

Posons2(2x1)(x1) = 0

2(2x1)(x1) = 0,2x1 = 0oux1 = 0,x=12

oux= 1

Faisons un tableau de signe:x

2x2+ 7x62(2x1)(x1)2x2+ 7x62(2x1)(x1)11

213

22+10+0

+00+++ +0+0

Ainsi,

2x2+ 7x62(2x1)(x1)0pour toutx2

1;12 1;32 [[2;+1[c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.14

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

D"où l"ensemble solution de l"inéquation

32x1x2(x1)0est :

1;12 1;32 [[2;+1[ Les valeurs interdites de cette inéquations sont : 12 et12.

2x10x2+x+ 2>1

2x10x2+x+ 2>1,2x10x2+x+ 21>0

2x10(x2+x+ 2)x2+x+ 2>0

2x10 +x2x2x2+x+ 2>0

x2+x12x2+x+ 2>0

Étudions le signe des fonctionsx2+x12etx2+x+ 2

Posonsx2+x12 = 0

Soit1le discriminant de cette équation

1= 124(1)(12) = 1 + 48 = 49 = 72

1>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes:

x 1=172 =4etx2=1 + 72 = 3

Posonsx2+x+ 2 = 0

Soit2le discriminant de cette équation

2= 124(1)(2) = 1 + 8 = 9 = 32

2>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes:

1=132= 2etx2=1 + 32

= 1

Faisons un tableau de signe:c

Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.15

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

x x

2+x12x2+x+ 2x

2+x12x2+x+ 214123+1+00+

0+0 0++0

Ainsi,

x2+x12x2+x+ 2>0pour toutx2]4;1[[]2;3[

D"où l"ensemble solution de l"inéquation

2x10x2+x+ 2>1est :

]4;1[[]2;3[ Les valeurs interdites de cette inéquation sont:1et2c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.16quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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Comment résoudre une inéquation produit du premier degré ?

Quels sont les exercices corrigés sur les inéquations ?

Comment résoudre une inéquation produit ou quotient ?

Quels sont les solutions de l’inéquation?

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ

CORRECTION DES EXERCICES

INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ:Exercice1:

Posons(2x+ 1)(x3) = 0

Faisons un tableau de signe:x

2x+ 1x3(2x+ 1)(x3)1

123+10++

Ainsi, pour toutx2

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

2.4x2 +x2

4x2 +x2, x2+ 4x20,x24x+ 20

Posonsx24x+ 2 = 0

24x+ 2 = 0,(x2)24 + 2 = 0

Faisons un tableau de signe.x

24x+ 212p22 +

Ainsi,x24x+ 20pour toutx22p2;2 +p2

2p2;2 +p2

3.16(x4)20

Posons16(x4)2= 0

16(x4)2= 0,42(x4)2= 0

Faisons un tableau de signe:c

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

16(x4)2108+10+0

Ainsi,16(x4)20pour toutx2]1;0][[8;+1[

On sait que pour toutx2R,(2x1)20

Ce qui équivaut àp5(2x1)20carp5<0

2x2<5x, 2x25x <0

Posons2x25x= 0

2x25x= 0, x(x+ 5) = 0

Faisons un tableau de signe:x

2x25x150+10+0

Ainsi,2x25x <0pour toutx2]1;5[[]0;+1[

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

6.2x2p2x >0

Posons2x2p2x= 0

2x2p2x= 0,x(2xp2) = 0

Faisons un tableau de signe:x

2x2p2x10p2

2+1+00+

Exercice2:

1=b24ac

24(2)(6p2)

On sait que11<42p2donc1142p2<0ainsi1<0

1<0donc l"équation n"admet pas de solutions réelles.

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

Soit2le discriminant de l"équationx2+ 3x2 = 0

2=b24ac

24(1)(2)

2>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes:

22a=312= 2etx2=b+p

22a=3 + 12= 1

Tableau de signe defx

Tableau de signe degx

3.Déduisons l"ensemble solutions des inéquationsf(x)<0etg(x)0

Solution de l"inéquationsf(x)<0

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

Solution de l"inéquationsg(x)0

Exercice3:

1=b24ac

24(3)(5)

1<0donc l"équation n"admet pas de solutions réelles.

Soit2le discriminant de l"équationx22x+ 7 = 0

2=b24ac

Chapitre 1 : Polynôme du second degré

2>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes:

22a=24p2

2=1 + 2p2et

22a=2 + 4p2

2=12p2

2.Donnons le tableau de signes des fonctionsuetv.

Tableau de signe deux

Tableau de signe devx

3.Déduisons l"ensemble solutions des inéquationsu(x)0etv(x)<0

Solution de l"inéquationsu(x)0