[PDF] Exercice 1: Câble coaxial et Théorème dAmpère (sur 13 points)

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UTBM PS21 / Examen Final P08Auteur du document : Eric Bachard

Pour tenir compte de la longueur de l'énoncé, le total des points possibles est 33, mais la note finale sera ramenée

à une note sur 20 points

Exercice 1: Câble coaxial et Théorème d'Ampère(sur 13 points)

On considère un câble coaxial, rectiligne, et de longueur supposée infinie dans le problème.

Ce câble est constitué d'une âme centrale en cuivre et d'un conducteur cylindrique périphérique en cuivre aussi. Les deux conducteurs sont séparés par un matériau diélectrique (sans propriété magnétique). Voir figure 1 ci-contre. On suppose ce câble parcouru par un courant continu constant I pour le conducteur central et -I pour le blindage.

1.1) Donner un sens physique au courant -I

Il y a un courant aller et un courant retour. Et quand on calculera la circulation de B sur un coutour fermé dans un plan perpendiculaire à l'axe Oz, l'un des courants sera vu positivement, l'autre négativement. On peut donc d'ores et déjà s'attendre à avoir widevec B = 0 à l'extérieur du câble coaxial. [0,5pt]

1.2) Rappeler le théorème d'Ampère ainsi que les hypothèses nécessaires à sa vérification.

Le théorème d'Ampère dit que la circulation de Bsur un contour fermé est égal à 0x Ienlacè, à condition de

compter alrgébriquement les courants enlacés, c'est à dire + ceux qui sont orientés comme la normale à au contour, et

-ceux qui sont dansle sens opposé. Les hypothèses à vérifier sont que les courants Iisont stationnaires, que le

contour est un contour " simple » (pas de noeuds).[1pt]

1.3) Quel est le système de coordonnées le plus adapté à ce problème (justifier) ?

L'axe Oz est axe de révolution, donc les coordonnées cylindriques semblent les plus adaptéés pour résoudre ce

problème [0,5 pt]

1.4) Préciser les symétries, et en déduire de quoi devra dépendre

B. On donnera son orientation.

Le problème est un problème à symétrie cylindrique: 3 variables sont à envisager r,,z.

Pour les simplifications:

- si on garde etrconstants, on laisse le problème invariant par translation d'axe Oz (fil infini), donc

Bne dépend pas de z.

- si on garde z et r constants, on laisse le problème invariant par rotation d'angle quelconque , donc

B ne dépend pas de  Il ne reste plus que la dépendance en r, et donc Bne dépend que de r <=> B=Br.

De plus, comme I ( c'est à dire

A tel que B=rotA) est axial, alors Best tangentiel (i.e. ortho-radial).

Conclusion:

Br=Bu [2pts]

On suppose qu'on applique le théorème d'Ampère sur un contour circulaire de rayon r, dans un plan perpendiculaire à

l'axe Oz. Page 1/8 Figure 1: vue en perspective du câble coaxial R1 R2 R3 II O z UTBM PS21 / Examen Final P08Auteur du document : Eric Bachard

1.5) Exprimer la densité de courant dans le conducteur intérieur et dans le conducteur extérieur.

Si on regarde la forme du conducteur intérieur et du conducteur extérieur, il est évident que ces les deux densités de

courant Jintet Jextn'ont pas même valeur.

Pour Jint, on a I = J⋅S avec

S=R1

2, soit Jint=I

R1

2En ce qui concerne Jext, on doit utiliser Sext=R32-R22, ce qui entraîne : Jext=I

R32-R22 [2pts]

1.6) En déduire la valeur de

Ienlacépour 0rR1.

Pour r=R1,

I=JintR1

2 et pour rR1, Ir=Jintr2 et pour éliminer Jint dans cette expression, il suffit

de le remplacer par I R1

2 => Ir=I⋅r2R12=I⋅r2

R12 [1 pt]

Remarque : cette méthode resservira dans ce qui suit.

1.7) En utilisant le théorème d'Ampère, et pour les 4 cas suivants

r < R1

R1< r

R2< r

R3Calculer l'expression de

Br a) Cas r < R1

On applique le théorème d'Ampère sur un contour perpendiculaire à l'axe Oz, centré sur l'axe , et de rayon r <

R1Soit :

∮C B⋅dr=0Ir <=> ∮C

Bru⋅dru=0Ir et comme B(r) est constant pour r=cte (ce qui est

vrai sur le contour), on peut le sortir de l'intégrale, et de plus le produit scalaire de deux vecteurs unitaires identiques

valant 1, l'expression devient :

Br∮C

Enfin, si on utilise le résultat de la question précédente, on arrive à :

Br=0⋅I⋅r2

R1

2⋅1

2r

Soit finalement :

Br=0⋅Ir

2R1

2[1pt]

b) Cas R1< r <

R2Dans ce cas, le courant enlacé vaut simplement + I , et l'on en déduit immédiatement (par un raisonnement analogue) :

∮C

B⋅dr=0I<=> Br⋅2r=0I Et finalement Br=0I

2r[1pt]

Remarque: tout se passe comme si le fil était de dimensions nulles. c) Cas R2< r Iext=-Jext⋅R32-R22 Iextr=-Jext⋅r2-R22 => Iextr=-I⋅r2-R22

R32-R22

Et donc

2 R3 2-R2

2=I⋅R3

2-r2

R3 2-R2

2 ( en réduisant au même dénominateur)

D'où l'on tire Br⋅2r=0I⋅R32-r2 R32-R22 <=> Br=0I

2r⋅R32-r2

R32-R22 [1pt] d) Cas r > R3

La somme algébrique des courants

I et -I est nulle => B est null à l'extérieur.

C'est l'intérêt du blindage !![1 pt]

1.8) Tracer la courbe représentative de module de

Br en fonction de r , en précisant la valeur du module de Baux points particuliers

Valeurs caractéristiques:

Pour r < R1 Brcroit linéairement, jusqu'à la valeur Br=0⋅I

2R1

Entre r=R1et r=R2 Brdécroit en 1

r, ce qui correspond au cas du fil infiniment mince, jusqu'à la valeur

BR2=0I

2R2. Puis à partir de r=R2, on arrive à la loi déterminée dans le cas d, dans lequel Brpasse

continuement de BR2à 0 selon la loiBr=0I

2r⋅R32-r2

R32-R22

Lorsque r=R3, on retrouve BR3=0 ( on retrouve le cas rR3) donc on a bien l'effet de " masque » du

blindage.

La courbe correspondante est la suivante:

[2pts]

Page 3/8

0⋅I

2R1

0⋅I

2R2

R1R2R30

décroissance en 1 r décroissance en 1 r2

Br

r UTBM PS21 / Examen Final P08Auteur du document : Eric Bachard Exercice 2: Onde plane électromagnétique dans le vide (sur 11 points) On rappelle les 4 équations de Maxwell (on utilise les notations du cours): (1)divE= 0 Équation de Maxwell Gauss (2)divB=0B est à flux conservatif(3)rot E=-∂B ∂t Équation de Maxwell Faraday (4) ∂E

∂t2.1) Rappeler (hypothèses comprises) les équations de Maxwell (forme locale et intégrale) dans le vide

Equations de Maxwell dans le vide

Formes locales : div

∂t; div E= 0; ∂E ∂tLes densités

ϱ(volumique de charge) et j(densité de courant) sont dites sources du champ électromagnétique, ce

champ étant caractérisé en chaque point de l'espace par le couple E,B. Le terme 0 ∂E ∂test le " courant de

déplacement » Les équations de Maxwell sont compatibles avec l'équation de continuité :

div j∂ϱ

∂t=0traduisant localement la conservation de l'électricité. Il faut adjoindre aux équations de Maxwell la loi

de force de Lorentz 2=1.

Formes intégrales :

∂E ∂t⋅n⋅dS [ 3 pts ]

2.2) Ecrire les équations aux dérivées partielles auxquelles obéissent

EetBjustifiant le fait que ces grandeurs peuvent se propager

EetBsont des fonctions d'ondes si on montre (fait en TD) que le d'Alembertien deEet le d'Alembertien deBsont

nuls. Le d'Alembertien représentant l'opérateur vectoriel : ∇2-1 c0

2⋅∂2

∂t2appliqué àEouB.

Remarque :

∇2est aussi appelé Laplacien (vectoriel ici) du vecteur auquel on l'applique.

N.B. : seule la démonstration pour

Efigure dans ce corrigé, celle concernantBétant complètement analogue.

Montrons que

∇2E-1 c0

2⋅∂2E

∂t2=0:

On part de

rotE=-∂B ∂tet on fait apparaître

Eà gauche et à droite, en calculant rotrotB=rot-∂B

∂t. Ensuite, on calcule séparément à gauche, puis à droite :

Terme de gauche :

rotrotE=graddivE-∇2E=-∇2Ecar graddivE=0Page 4/8

UTBM PS21 / Examen Final P08Auteur du document : Eric Bachard

Terme de droite :rot-∂B

∂t=-1 c0 2 ∂∂E ∂t ∂t=-1 c0 2 ∂2E ∂t2Et donc = -∇2E=-1 c0 2 ∂2E ∂t2j∇2E-1 c0 2 ∂2E ∂t2=0Remarque : la démonstration est analogue pour B[ 2 pts]

2.3) Rappeler avec un exemple simple ce qu'est un invariant caractéristique de propagation

Lorsqu'une quantité se propage, on montre qu'il existe une quantité invariante, et caractéristique de la propagation.

Par exemple, dans le cas de la propagation d'une grandeur transversale dans la direction Ox, et selon les x > 0 ,

l'invariant est donné par : cte=t-x c0[ 1 pt ]

On suppose

E0,0,EZet B0,BY,0, et on donnef=1014Hz; c0=3⋅108m/s.

2.4) Si on suppose que l'onde électromagnétique est plane et transversale, dans quelle direction se propagage cette

onde ? (justifier)

D'après le cours, on sait que

E,B,n forment un trièdre direct, ce qui signifie que nest obtenu en faisant le produit

vectoriel direct E∧B => propagation selon Ox. [1 pt]

2.5) Déterminer les composantes du vecteur d'onde en utilisant les propriétés de l'onde plane transversale et sinusoïdale.

On notera les composantes comme suit:

k= kx ky kz

La seule composante non nulle de

kest selon la direction de propagation, soit k=kxux

Ce qui donne par exemple les composantes :

cxuz => kx= c[1pt]

2.6) Calculer

ket.

A.N. :

∥k∥=kx= c=21014

3⋅108=2

3⋅106rad.m-1 et =c

f=3m[ 1 pt ]

2.7) Montrer que la fonction

fx,t=2cost-2x c0 4sint2x c0 est solution l'équation de propagation des ondes de Jean Le Rond d'Alembert

Page 5/8

UTBM PS21 / Examen Final P08Auteur du document : Eric Bachard

On part de:fx,t=2cost-2x

c0 4sint2x c0 (équation 1).

D'après la forme de

fx,t, on peut supposer que cette fonction est une fonction d'onde, représentant une onde se déplaçant à la vitesse c=c0

2selon les x>0 (invariant de propagation en t-2x

c0 ) et selon les x<0 (invariant de propagation t2x c0). D'après cette hypothèse, (1) est solution de l'équation de d'Alembert, à savoir : ∂2f ∂x2=1 c0 2 ∂2f ∂t2. Il faut donc calculer ∂2f ∂x2et 1 c2∂2f ∂t2, avec c=c0

2(célérité de l'onde), puis

comparer ces deux résultats pour répondre à la question.

Calcul de

∂2f ∂x2: Tout d'abord , on calcule la dérivée première par rapport à x , soit : ∂f ∂x=4 c0sint-2x c08 c0cost2x c0;

Puis : ∂2f

∂x2=-8 c022cost-2x c0-16 c022sint2x c0 Calcul de 1 c2 ∂2f ∂t2:

Dérivée partielle de

fx,tpar rapport à t : ∂f ∂t=-2sint-2x c0

La dérivée seconde donne :

∂2f ∂t2=-22cost-x c0-42sintx c0

D'où : 1

c2∂2f ∂t2=4 c02⋅∂2f ∂t2=4 c0-42sintx c0 =-8 c022cost-x c0-16 c022sintx c0et on retrouve bien Conclusion : fx,test bien solution de l'équation de propagation de Jean le Rond d'Alembert. [ 2 pts ]

N.B. : Dans les livres, on trouve souvent écrit Jean d'Alembert, plutôt que Jean le Rond d'Alembert .

En fait, Jean le Rond d'Alembert (1717-1783), a été abandonné dès sa naissance par sa mère naturelle, Mme de

Tencin, et il fût trouvé sur le parvis de l'Eglise St Jean le Rond. D'où son nom...

Elevé ensuite par la femme d'un pauvre vitrier, celui-ci eut une carrière scientifique remarquable Il fût ainsi élu

à 23 ans à l'Académie des Sciences. Parmi ses nombreux travaux, le plus connu est celui sur l 'équation de

propagation des cordes vibrantes. La suite à la bibliothèque...

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UTBM PS21 / Examen Final P08Auteur du document : Eric Bachard Exercice 3: Étude d'une onde plane harmonique parfaite se propageant dans le vide (sur 9 points)

On considère une onde électromagnétique plane dans le vide pour laquelle le champ électromagnétique s'écrit dans un

repère cartésien orthonormé classique :E=E0xcostz cuz cuz

Expressions dans lesquelles

, c, E0x , E0y, E0z , B0x, B0y, B0z sont des constantes.

3.1) Quelle est la direction et le sens de propagation de cette onde (justifier) ?

L'invariant de propagation est du type

tz c, ce qui correspond à une propagation selon l'axe Oz, vers les z négatifs [1 pt]

3.2) En utilisant l'équation (1) de l'exercice 2 dans le vide, montrer que E0z=0

E=ExuxEyuyEzuzD'après la définition: ∂xux∂ ∂yuy∂ ∂zuz⋅E=0 soit ∂Ex ∂x∂Ey ∂y∂Ez ∂z=0Et comme ∂Ex ∂x=∂Ey ∂y=0, il reste ∂Ez ∂z=-E0z csintz c=0 cette dernière expression est vraie à tout instant t, en particulier pour sintz c≠0, ce qui entraine E0z=0.[2pts]

3.3) En utilisant l'équation (2) de l'exercice 2 dans le vide, montrer que B0z=0

On procède de même avec

divB=0 : divB=∇⋅0⇔divB=∂Bx ∂x∂By ∂y∂Bz ∂z=0

Cette fois-ci, ce sont ∂Bx

∂x et ∂By ∂yqui sont nulset on a aussi une expression similaire à la question précédente pour la 3ème composante, à savoir : ∂Bz ∂z=B0z csintz c=0 Cette dernière expression est vraie à tout instant t, en particulier pour sintz c≠0, ce qui entraine comme prévu

B0z=0[2pts]

3.4) Quelle propriété fondamentale de l'onde plane les deux questions précédentes retrouvent-elles ?

B et E sont perpendiculaires à la direction de propagation => l'onde est bien transversale[1pt]

3.5) On suppose de plus (pour simplifier) que

E0y=0. Montrer en utilisant l'équation de Maxwell (3) de l'exercice 2 que

B0x=0 et B0y=E0x

c. Quelle(s) propriété(s) fondamentale(s) de l'onde plane retrouve-t-on ?

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Comme E0y=0 , cela entraîne : E=

E0xcostz c 0

0et

B= B0xcostz c

B0ycostz

c

0.

Si maintenant on calcule rot

E=-∂B ∂t , on constate que rotE= ∂x ∂y ∂z ∣Ex 0

0 = ∣0

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