[PDF] Géométrie vectorielle corrections des exercices

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G´eom´etrie vectorielle, corrections des exercices

1 Syst`emes lin´eaires

1. (A) : On consid`ere le syst`eme�3x +5y = 11

2 x +3 y = 7 On proc`ede par substitution : la seconde ´equation donne y = (7 2 x

3; en ins´erant dans la premi`ere

on obtient 3 x + 5(7 2 x

3 = 11, qui ´equivaut `a

x + 14 = 33, soit x 19 . On en d´eduit y = (7 + 38)

3, soit

y = 15 (B) : On consid`ere le syst`eme�2x +5y = 10 2 x +3 y = 8

Il est cette fois plus avantageux de proc´eder par combinaisons lin´eaires. En soustrayant les deux

´equations on obtient directement 2

y = 2, soit y = 1 . En ins´erant dans n'importe laquelle des deux ´equations, par exemple la premi`ere, on obtient 2 x = 5, soit x = 5 2 (C) : On consid`ere le syst`eme�5x +10y = 30 3 x + 3 y = 7 On proc`ede par substitution : la seconde ´equation donne y = (7 3 x

3; en ins´erant dans la premi`ere

on obtient 5 x + 10(7 3 x

3 = 30, qui ´equivaut `a

15 x + 70 = 90, soit x 4 3 . On en d´eduit y = (7 + 4)

3, soit

y = 11 3

2. (A) : On consid`ere le syst`eme

x +y +2z = 5 x y z = 1 x z = 3 On proc`ede par substitution. La troisi`eme ´equation donne z = 3 x . En reportant dans la seconde, on obtient x y (3 x ) = 1, soit y = 2 x

4. En reportant dans la premi`ere, on aboutit `a

x + (2 x

4) + 2(3

x ) = 5, soit x = 3 . On en d´eduit alors y = 2 et z = 0 (B) : On consid`ere le syst`eme x +y +2z = 0 x y z = 0 x z = 0 On proc`ede encore par substitution. La troisi`eme ´equation donne z x . En reportant dans la seconde, on obtient x y x ) = 0, soit y = 2 x . En reportant dans la premi`ere, on aboutit `a x + (2 x ) + 2( x ) = 0, soit x = 0 . On en d´eduit alors y = 0 et z = 0

2 G´eom´etrie vectorielle

2.1 Exercices dans le plan

Correction de l'exercice 2.1 (Vecteurs colin´eaires) (a) : On consid`ere les vecteurs �u = (1 ,m et �v m, 1)

Les deux sont non-nuls. Cherchons

tel que �v

λ�u

. Ceci revient au syst`eme d'´equations m et 1 = λm , qui n'a de solution que pour m 1.

Alternativement, on a

det �u,�v ) = 1 m 2 . Les vecteurs sont donc colin´eaires si et seulement si m 2 = 1, soit m 1. (b) : On consid`ere les vecteurs �u m,m 2 et �v m, 1)

Le d´eterminant vaut

det �u,�v m m 3 3

Correction de l'exercice 2.2 (Equations Cart´esiennes) 1. On consid`ere la droite du plan d´efinie

par le vecteur directeur�d = (1,3).

Il est facile de trouver un vecteur normal

�n x n ,y n ). En ´ecrivant �n

·�d on obtient x

n +3 y n = 0, soit x n 3 y n . Une solution possible est �n = (3

1). On en d´eduit une ´equation Cart´esienne : (

D ) est l'ensemble des vecteurs �u x,y ) tels que �u �n , ce qui s'´ecrit �u �n = 0 3 x y = 0

2. On consid`ere la droite du plan d´efinie par le vecteur normal

�n = (1 3) . D´eterminer un vecteur directeur, et une ´equation pour cette droite. Correction de l'exercice 2.3 (Parall´elogramme) On consid`ere le parall´elogramme d´efini par les vec- teurs �u = (1 3) et �v = (2 1)

L'aire du parall´elogramme vaut

A det �u,�v = 7

On peut noter que le d´eterminant (qui vaut

7) est n´egatif, ce qui indique que les deux vecteurs forment

entre eux un angle n´egatif.

2.2 Exercices dans l'espace

Correction de l'exercice 2.4 (Volume d'un parall´el´epip`ede) On consid`ere le parall´el´epip`ede engendr´e dans l'espace R 3 par les trois vecteurs �v 1 = (2 0 2) �v 2 = (1 2 3) et �v 3 = (1 4 1) Le volume du parall´el´epip`ede est donn´e par la valeur absolue du produit mixte V �v 1 ,�v 2 ,�v 3 (2 0 2) [(1 2 3) (1 4 1)] (2 0 2) 14 1 2) = 24

On peut noter que le produit mixte est n´egatif, ce qui indique que les trois vecteurs forment un tri`edre

indirect. Correction de l'exercice 2.5 (Plan vectoriel dans l'espace)

1. On consid`ere le plan

P d´efini par les deux vecteurs �e 1 = (1 0 2) et �e 2 = (1 1 3)

Pour avoir l'´equation Cart´esienne, le plus simple est de calculer un vecteur normal, par exemple

�n �e 1 �e 2 2 2

1). L'´equation Cart´esienne correspondante est alors

P ) =�(x,y,z) ∈ R 3 2 x + 2 y z = 0�.

Le vecteur

�u = (1 2 9) est-il orthogonal `a P Non : il n'est pas proportionnel au vecteur normal obtenu plus haut. On peut aussi voir directement que �u �e 1 = 19 = 0.

2. On consid`ere le plan

P d´efini par le vecteur normal �n = (1 0 2)

Il est facile d'en obtenir une

´equation Cart´esienne.

�u x,y,z P ) si et seulement si �u �n , soit x + 2 z = 0.

Le vecteur

�u = (2 3 1) appartient-il `a P

La r´eponse est non :

�u n'est pas orthogonal `a �n Correction de l'exercice 2.6 (Plan vectoriel dans l'espace)

On se donne deux vecteurs

�u = (1 2 3) et �v = (3 2 1) dans l'espace.

1. Equations Cart´esiennes :

Pour la droite (

D u ) engendr´ee par �u , on peut ´ecrire �v x,y,z D u x,y,zquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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