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En effet si (??u ??v ) = l alors (??v ??u )=2? ? l 7 2 1 Mesure principale d'un angle orienté de vecteurs Certains mesures sont plus simples à
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Alors chacun des nombres associés à x de la forme x+2k? k?? s'appelle une mesure de l'angle orienté de vecteurs (?u ?v) Exemple 1 Si x= ? 3 est une
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sont deux représentants de ces vecteurs La mesure en radians de l'angle orienté ( ; ) sont les mesures en radian de (
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La proposition suivante découle de celle concernant les angles de vecteurs : 4 4 Proposition 1) Les déplacements (resp les isométries négatives) conservent
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Activité n°1 page 230 : Mesure d'angles orientés de vecteurs L'enroulement de IR sur C permet de définir des mesures pour les couples de
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A ce couple de vecteurs nous pouvons associer un arc orienté AB 2 Angle orienté de deux vecteurs non nuls Soient 1 u et 1 v deux
Angles orientés - trigonométrie
AAnngglleess oorriieennttééss
TTrriiggoonnoommééttrriiee
I. Préliminaires
1. Le radian
Définition Soit C un cercle de centre O. Dire que l"angle géométrique ?AOB a pour mesure 1 radian signifie que la longueur du petit arc ?AB est égal au rayon R du cercle. De même, la longueur d"un arc de cercle de rayon R et dont l"angle au centre a pour mesure aradians est Ra. O C A B aradians R R ?AB=Ra O CA B 1 radian
R R ?AB=R © http://www.bacdefrancais.net Page 2 sur 20Angles orientés - trigonométrie
Correspondance entre mesures en degré et en radianDegré 0 30 45 60 90 180
xRadian 0 6
p 4 p 3 p 2 p p a Pour convertir les 2 unités de mesure d"angle, on utilise la formule180xa p=, soit 180xpa=
avec a mesure en radian et x mesure en degré.2. Orientations d"un cercle
3. Cercle trigonométrique
Un cercle trigonométrique est de rayon 1 et est orienté positivement dans le sens direct.Sens direct
Sens indirect
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II. Angles orientés
1. Angle orienté de deux vecteurs unitaires
Soient
u?et v?deux vecteurs unitaires. Le couple (),u v? ?de ces 2 vecteurs définit un angle orienté. On a1u=?et 1v=?
A ce couple de vecteurs, nous pouvons associer un arc orienté ?AB.2. Angle orienté de deux vecteurs non nuls
Soient
1u??et 1v??deux vecteurs non nuls. On note u? le vecteur unitaire colinéaire à 1u??et de
même sens que1u?? et on note v? le vecteur unitaire colinéaire à 1v??et de même sens que 1v??.
L"angle
()1 1,u v?? ??est par définition égal à l"angle (),u v? ?.3. Mesure principale en radian d"un angle orienté
Soient
u?et v?deux vecteurs unitaires. Soient M et P les points du cercle trigonométrique de centreO tels que OM u=? et OP v=?.
On note
a la mesure en radian de l"angle ?MOP. La mesure principale de l"angle orienté des vecteurs (),u v? ? est le réel aappartenant à l"intervalle ]];p p- + tel que aa=et dont le signe est défini de la manière suivante : u? u? v? v? A B © http://www.bacdefrancais.net Page 4 sur 20Angles orientés - trigonométrie
Exemple :
ABC est un triangle équilatéral direct
( ; )3AB ACp=???? ???? ( ; )3BA BCp= -???? ???? ( ; )3CA CBp=???? ???? Si les vecteurs ne sont pas unitaires : La mesure principale d"un angle orienté de deux vecteurs non nuls1u??et 1v?? est la mesure principale de l"angle orienté (),u v? ? avec u? et v? qui
sont les vecteurs unitaires colinéaires respectivement à1u??et 1v?? et de même sens que ces
vecteurs. ()()1 1, ,u v u v=?? ?? ? ? u? v? M P aa=Si le sens de M vers P
sur le petit arc ?MPest le sens direct, alors aa= u? v? M P aa= -Si le sens de M vers P
sur le petit arc?MP est le sens indirect, alors aa= - u? v?M P a p=
Si l"angle ?MOP est plat,
alors a p= u? 1u?? 1v?? v?A B C
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4. Mesures principales d"angles sur le cercle trigonométrique
Remarque importante :
Si q est une mesure (en radians) d"un angle de vecteurs (),u v? ?, toutes les autres mesures de cet angle sont de la forme : .2kq p+ avec kÎ?Parmi toutes ces mesures, une seule appartient à l"intervalle ]];p p-, c"est la mesure principale.
0 p 4 p 6 p 3 p 2 3 p 3 4 p 5 6 p 2 3 p- 2 p- 4 p- 3 p- 6 p- 5 6 p- 3 4 p-En rouge : mesure principale
En vert : la plus petite mesure positive
7 6 p 5 4 p 4 3 p 3 2 p 5 3 p 7 4 p 11 6 p 2 p © http://www.bacdefrancais.net Page 6 sur 20Angles orientés - trigonométrie
u? v? u? v? Explication : 2p représente une rotation complète sur le cercle, si on rajoute 2p à une mesure d"angle, on retrouve donc la même mesure.Exemples :
Donner toutes les mesures des angles dont la mesure principale est a, puis donner la plus petite mesure positive : 5 6 pa= -Toutes les mesures de cet angle sont la forme :
5.26x kpp= - + avec kÎ?
Si1k=, 15 5 12 726 6 6xp p p pp- += - + = =
Si2k=, 25 5 24 192.26 6 6xp p p pp- += - + = =
La plus petite mesure positive de l"angle est
7 6 p. 3 4 pa= -Toutes les mesures de cet angle sont la forme :
3.24x kpp= - + avec kÎ?
Si1k=, 13 3 8 524 4 4xp p p pp- += - + = =
Si2k=, 23 3 16 132.24 4 4xp p p pp- += - + = =
La plus petite mesure positive de l"angle est
5 4 p.5. Propriétés des angles orientés
Colinéarité et orthogonalité : o Si u? et v? sont colinéaires et de même sens : (), 0 .2u v kp= +? ? avec kÎ? o Si u? et v? sont colinéaires et de sens contraires (), .2u v kp p= +? ? avec kÎ? © http://www.bacdefrancais.net Page 7 sur 20Angles orientés - trigonométrie
u? v? u? v? o Si u? et v? sont orthogonaux (), .22u v kpp= +? ? avec kÎ? ou (), .22u v kpp= - +? ? avec kÎ? Egalité entre deux angles :Deux angles de vecteurs (),u vq=? ?et (),u vq¢ ¢ ¢=?? ??sont égaux si : .2kq q p¢= + avec kÎ?
Exemple : ()2,3u vp= -? ? et ()10,3u vp¢ ¢=?? ?? . Ces deux angles sont-ils égaux ?10 2 2 1243 3 3
p p p pp- += - + =Les deux angles sont égaux.
Relation de Chasles : La relation de Chasles pour les angles de vecteurs se définit ainsi : ()()(), , ,u v v w u w+ =? ? ? ?? ? ??Exemple :
Soient 3 vecteurs u?, v? et w?? non nuls et tels que ()7,6u vp=? ? et ()4,3v wp=? ??Démontrer que les vecteurs
u? et w?? sont orthogonaux.Solution :
D"après la relation de Chasles, on sait que : ()()(), , ,u w u v v w= +? ?? ? ? ? ?? Donc ()7 4 7 8 15 5,6 3 6 6 2u wp p p p p p+= + = = =? ?? (), 22u wpp= +? ?? donc u? et w?? sont orthogonaux. © http://www.bacdefrancais.net Page 8 sur 20Angles orientés - trigonométrie
Egalités remarquables : o Angles égaux : ()(), ,u v u v= - -? ? ? ? o Angles opposés : ()(), ,u v v u= -? ? ? ? o Angles supplémentaires : ()(), ,u v u vp- = +? ? ? ? et ()(), ,u v u vp- = +? ? ? ?III. Cosinus et sinus d"un angle orienté
1. Définition ? important
Remarque préliminaire : Nous travaillerons dans une base orthonormée directe (),i j? ?, c"est-à-
dire que (),2i jp=? ? (dans une base indirecte, on a (),2i jp= -? ?)Soit un angle de vecteurs et
M le point du cercle trigonométrique tel que ();OA OMq=???? ?????Par définition, on a :
cos abscisse de Mq= sin ordonnée de Mq= u-? u? v? v-? u? v? p p (),u v? ? u? u-? v-? u? v? v?quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] Angles orientés exercices 1ère Mathématiques
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