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Cours de mathématiques de 1

èreSM. CERISIER - Mme ROUSSENALY

LGT Mansart

2016-17Ce document est sous licence Creative Commons

attribution - pas d"utilisation commerciale - partage dans les mêmes conditions

Avant-propos

Ce cours de mathématiques est à destination des élèves de première S de Monsieur CERISIER et Madame ROUSSENALY,

professeurs au lycée général et technologique Jules HARDOUIN-MANSARTde Saint Cyr-l"École.

Comment utiliser ce " poly » de cours

Ce poly de cours est l"équivalent du cahier de leçons de l"élève. Il contient toutes les notions qui seront étudiées durant l"année

ainsi que des exemples et des " exercices types ». Il a été conçu pour servir de support de référence pour les élèves.

En regard de chaque page imprimée une page blanche a été insérée. Cela a pour but de permettre à l"élève d"annoter son poly

de façon à ce qu"il s"approprie au mieux cet outil de travail. Le sérieux avec lequel ce poly sera complété par l"élève sera évalué.

En particulier sur ces pages blanches l"élève devra :

íécrire des commentaires, remarques orales du professeur, ... qui lui permettront de mieux comprendre les notions du cours;

ífaire des " dessins » aidant à la compréhension et/ou à la mémorisation; íécrire les démonstrations de cours qui seront faites en classe;

ífaire les exercices du poly de cours; indiquer la référence ou écrire la résolution d"autres " exercices de référence ».

Ce que l"élève trouvera dans ce " poly » de cours

Ce poly est organisé en chapitres qui, sauf contrainte matérielle, seront traités durant l"année dans l"ordre où ils apparaissent. Le

sommairepermet un accès thématique au contenu. L"index, quant à lui, permet un accès par mot clé.

Dans chacun des chapitres l"élève trouvera :

ídes propriétés et des définitions :Il s"agit de ce que l"élève doitsavoir. Elles doivent être mémorisées avec précision.

ídes démonstrations :Toutes les propriétés du cours ont été démontrées par les mathématiciens; c"est ce qui assure

qu"elles sont " vraies ». Certaines d"entre elles, dont la démonstration a valeur de modèle d"un type de raisonnement, seront

démontrées avec les élèves. Les autres seront admises c"est à dire que nous admettrons que les mathématiciens en ont

donné une démonstration sans donner à voir cette dernière.

ídes remarques :Selon les cas, elles ont pour but d"expliquer une méthode de référence, d"apporter un complément d"in-

formation, de souligner une subtilité, d"alerter sur une erreur de compréhension à éviter, d"évoquer une conséquence ou un

prolongement de la notion étudiée, ...

ídes exemples :Le plus souvent, ils servent à illustrer les définitions et propriétés afin d"aider à les comprendre. Ils peuvent

également donner à voir la façon dont on peut appliquer les définitions et propriétés pour traiter une question mathématique.

ídes exercices :Il s"agit de ce que l"élève doitsavoir faire. Leurs résolutions constituent une liste non exhaustivede méthodes

de référence servant à résoudre des problèmes " types ». Chacune de ces méthodes doit être comprise, mémorisée et

automatisée. Ce qui est attendu des élèves en mathématiques en première S

La démonstration est le coeur de l"activité mathématique. Dans les exercices les élèves devrontdémontrer leur réponses en

faisant explicitement référence aux propriétés et définitions du cours. En outre, le baccalauréat porte sur l"ensemble des

notions étudiées en classe de première et en classe de terminale et la construction des notions mathématiques se fait de telle

sorte qu"il est indispensable demémoriser de façon durable les résultats de cours et d"automatiser les méthodes de

référence. D"autre part, une attention toute particulière devra être portée sur laqualité de la rédaction et sur l"emploi du

vocabulaire. Enfin, il est important d"avoir à l"esprit quel"enjeu des classes de première et de terminale n"est pas seulement

de " décrocher son bac » mais aussi et surtout de s"armer pour réussir son cursus post-bac. L"évaluation des élèves se fera dans les cinq domaines suivants : íConnaître les définitions et les propriétés du cours íUtiliser les connaissances, outils et méthodes de référence

íRaisonner / Démontrer

íÉcrire et dire des mathématiques

íS"investir dans son travail d"élève

1

Sommaire

cours de 1

èreS

1 Second degré3

I. Autour de la forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

II. Factorisation et signe d"un trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2 Géométrie plane : vecteurs et droites7

I. Colinéarité de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

II. Droites, vecteurs et équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

III. Décomposition d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3 Étude de fonctions12

I. Rappels de seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

II. Nouvelles fonctions de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

III. Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

4 Angles orientés de vecteurs19

I. Repérage sur le cercle trigonométrique (rappels de seconde) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

II. Angles orientés et radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

5 Dérivation23

I. Nombre dérivé et tangente à une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

II. Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

6 Trigonométrie27

I. Définition et premières propriétés (rappels de 2 nde) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

II. Formulaire de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

7 Applications de la dérivation30

I. Variations et dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

II. Extremum et dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

8 Produit scalaire dans le plan33

I. La projection orthogonale pour donner une définition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

II. Propriétés algébriques et autres expressions du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

III. Quelques applications du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

9 Notion de suite numérique41

I. Généralités sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

II. Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

III. Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

10 Statistiques descriptives48

I. Dispersion autour de la médiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

II. Dispersion autour de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

11 Comportement d"une suite52

I. Sens de variation d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

II. Approche de la notion de limite d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

12 Probabilités : Variables aléatoires56

I. Variable aléatoire et loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

II. Espérance, variance et écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

13 Loi binomiale - Échantillonnage59

I. Autour de la loi de BERNOULLI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

II. Autour de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

III. Application à l"échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Index66

2

Chapitre 1

Second degré

cours de 1

èreS

I.

A utourde la f ormecanonique

1.

Rappels de 2

nde

Les fonctions polynômes de degré2ont déjà été étudiées en classe de 2nde. On rappelle ci-dessous quelques définitions :Définition 1.1

Une fonctionfdéfinie surRest appeléefonction polynôme de degré 2lorsqu"il existea,betcréels aveca6= 0tels que pour tout réelx:f(x) =ax2+bx+c.Remarque 1.1 : íDans un repère orthogonal, la représentation graphiqueCfd"une telle fonction est une courbe appeléeparabole. íOn appelle souventtrinômeune expression de la formeax2+bx+ccar une telle expression comporte trois termes. íPar abus de langage, on dira souvent "polynômeax2+bx+c» au lieu de "fonction polynômex7!ax2+bx+c».OIJ SC fExemple 1.1 : x7!3x22x+ 7est une fonction polynôme du second degré (avec :a= 3,b=2etc= 7). x7! 3x+ 8x2est une fonction polynôme du second degré (avec :a=1,b=3etc= 8). x7!4x3n"est pas une fonction polynôme du second degré; c"est une fonction affine (polynôme du premier degré).

x7!3px+ 4x3n"est pas une fonction polynôme du second degré;3pxn"est pas un monôme de degré2.

x7! 4x2+ 73est une fonction polynôme du second degré (avec :a=4,b= 0etc= 73). f:x7!(5x3)(2x+ 4)est une fonction polynôme du second degré.

En effet, en développant, pour toutxréel on a :f(x) = 10x2+ 14x12.2.Forme canonique d"un trinôme

Propriété-définition 1.1(démontrée ci-contre)Pour tous réelsa,betcaveca6= 0, il existe il existe deux réelsettels que pour tout réelx:ax2+bx+c=

a(x)2+. L"écriturea(x)2+est appeléeforme canoniquedu trinômeax2+bx+c.Remarque 1.2 :

La connaissance de la démonstration de cette propriété sera très utile en pratique car c"est en appliquant la même démarche

que l"on trouvera la forme canonique d"un trinôme.EXERCICE1.1Déterminer la forme canonique du polynômeg(x) = 4x28x53

1

èreS

CHAPITRE 1. SECOND DEGRÉM. CERISIER - Mme ROUSSENALY LGT Mansart - 2016-173.Application à la résolution des équations du second degré

Définition 1.2

On appelleracined"un polynômePtout réeltel queP() = 0.Définition 1.3

Soita,betcréels aveca6= 0.

Le réelb24acest appelédiscriminantdu polynômeax2+bx+c. On le note.Remarque 1.3 :

Il s"agît du réel rencontré dans la démonstration de la propriété 1.1.Propriété 1.2(démontrée ci-après)Soita,betcréels aveca6= 0.

íSi>0, l"équationax2+bx+c= 0admet deux solutions distinctes :x1=bp

2aetx2=b+p

2a. íSi = 0, l"équationax2+bx+c= 0admet une seule solution :x0=b2a. íSi<0, l"équationax2+bx+c= 0n"admet aucune solution réelle.Exemple 1.2 : Reprenons la fonctiong:x7!4x28x5de l"exercice 1.1. Le discriminant de ce trinôme est : = (8)244(5) = 64 + 80 = 144. >0donc l"équation4x28x5 = 0admet deux solutions :12 et52

En effet,x1=8p144

24=8128

=12 etx2=8 +p144

24=8 + 128

=52 Autrement dit, le trinôme4x28x5a deux racines :12 et52 .Démonstration

Soita,betcréels aveca6= 0.

Notons(E)l"équationax2+bx+c= 0. En utilisant la forme canonique, on a : (E)()a" x+b2a 2 4a2# = 0

Ora6= 0donc(E)()

x+b2a 2 =4a2

íSi>0:(E)()

x+b2a=r

4a2oux+b2a=r

4a2!

Sia >0:(E)()

x=b2a+p

2aoux=b2ap

2a!

Sia <0:(E)()

x=b2a+p

2aoux=b2ap

2a! Autrement dit, quel que soit le signe dea,(E)admet deux solutions distinctes :b+p

2aetbp

2a

íSi = 0:(E)()x+b2a= 0

Autrement dit :(E)admet une unique solution :b2a

íSi<0, l"équation(E)n"admet aucune solution réelle car le carré d"un réel est toujours positif ou nul.

4 1

èreS

CHAPITRE 1. SECOND DEGRÉM. CERISIER - Mme ROUSSENALY LGT Mansart - 2016-17EXERCICE1.2Résoudre dansRles trois équations suivantes :

4x24x+ 1 = 02x21 = 0x24x12 = 04.Lien a vecla représentation graphique

Propriété-définition 1.3(Partiellement démontrée au tableau)SoitCfla représentation graphique d"une fonction polynôme du second degréftelle que :

f:x7!ax2+bx+coùa,betcsont des réels fixés aveca6= 0. D"après ce qui précède, on a aussif(x) =a(x)2+où=b2aet=(b24ac)4a

Dans un repère orthogonal :

íCfest uneparabole.

íLe pointSde coordonnées(;)est lesommetde la paraboleCf. íLa droite d"équationx=estl"axe de symétriede la paraboleCf.

Elle passe par le sommet de celle-ci.

ísia >0,Cfest " orientée vers le haut »;

sia <0,Cfest " orientée vers le bas ».a >0xy OSC fa <0xy OS C fExemple 1.3 : Reprenons la fonctiongde l"exercice 1.1. Sa forme canonique estg(x) = 4(x1)29.

Ainsi, la courbe représentativeCgde la fonctiongest une parabole " orientée vers le haut » de sommetS(1;9)et d"axe de

symétrie la droite d"équationx= 1. En outre, on a vu dans l"exemple 1.2 que les solutions de l"équationg(x) = 0sont12 et52 . On en déduit queCgcroise l"axe des abscisses en deux points d"abscisses12 et52

Ces informations permettent de connaître l"allure deCg.EXERCICE1.3Soit la fonctionf:x7! x25x5définie surR.

Déterminer le sens de la parabole représentative de la fonctionf, les coordonnées de son sommet et l"équation de son axe

de symétrie.

Puis, représenter l"allure de cette parabole sur un schéma incluant toutes les informations trouvées.II.F actorisationet signe d"un trinôme

1.

F actorisationd"un trinôme Propriété 1.4 :Forme factorisée d"un trinôme(démontrée au tableau)Soit le polynômef(x) =ax2+bx+coùa,betcréels,a6= 0etson discriminant.

ísi>0on a :f(x) =a(xx1)(xx2)oùx1etx2sont les racines def(x). ísi = 0on a :f(x) =a(xx0)2oùx0est l"unique racine def(x). ísi<0, on ne peut pas factoriserf(x)en un produit de facteurs du premier degré.5 1

èreS

CHAPITRE 1. SECOND DEGRÉM. CERISIER - Mme ROUSSENALY

LGT Mansart - 2016-17Exemple 1.4 :

Dans l"exemple 1.2 on peut factoriserg(x)de la façon suivante :g(x) = 4 x+12 x52 .EXERCICE1.4Factoriser les polynômes suivants en produit de facteurs du premier degré :

1)x7!4x24x+ 1, étudié à l"exercice 1.2.

2)x7! 2x21, étudié à l"exercice 1.2.

3)x7!x24x12, étudié à l"exercice 1.2.

4)x7! x25x5, étudié à l"exercice 1.3.2.Signe d"un trinôme

Lorsqu"un trinômef(x)est écrit sous forme factorisée, il est aisé de déterminer son signe en fonction de la valeur dexen

utilisant un tableau de signe. La propriété ci-dessous est donc une conséquence de la propriété 1.4.Propriété 1.5(démontrée ci-après)Soit le polynômef(x) =ax2+bx+coùa,betcréels aveca6= 0etson discriminant.

ísi>0,f(x)a deux racinesx1etx2avecx1< x2.

f(x)est du signe deasur]1;x1[[]x2;+1[et du signe deasur]x1;x2[. ísi = 0,f(x)a une racine doublex0etf(x)est du signe deapour tout réelx6=x0. ísi<0,f(x)est du signe deapour tout réelx.Remarque 1.4 :

On retient souvent cette propriété sous la forme : "ax2+bx+cest du signe deasauf entre ses racines. »Démonstration

Soitf(x) =ax2+bx+coùa,betcréels aveca6= 0etson discriminant. íSi>0, d"après la propriété 1.4,f(x) =a(xx1)(xx2)avecx1< x2les racines def(x). On peut donc établir le tableau de signes suivant :x signe dexx1signe dexx2signe de (xx1)(xx2)signe def(x)1x 1x

2+10++

0+ +00+

signe dea0signe dea0signe deaíSi = 0, d"après la propriété 1.4,f(x) =a(xx0)2oùx0racine def(x). Or,(xx0)2>0pour toutx6=x0.

Donc pourx6=x0,f(x)est du signe dea.

íSi<0, d"après la démonstration de la propriété 1.1,f(x) =a" x+b2a 2 4a2# Or, x+b2a 2 >0pour tout réelxet4a2>0donc on conclut quef(x)est du signe deapour toutxréel. 6

Chapitre 2

Géométrie plane : vecteurs et droites

cours de 1

èreS

I.

Colinéarité de deux vecteur s

Les vecteurs et la colinéarité ont déjà été étudiés en classe de 2 nde. Cette première partie comporte donc de nombreux rappels. 1. Définition et condition de colinéarité Définition 2.1

Deux vecteurs

!uet!vsont ditscolinéaireslorsqu"il existe un nombre réeltel que!u=!vou!v=!u.Remarque 2.1 : íLe vecteur nul est donc colinéaire à tout vecteur!u. En effet,!0 = 0!upour tout vecteur!u.

íOn a démontré en 2ndeque deux vecteurs colinéaires non nuls sont deux vecteurs qui sont de même direction.Exemple 2.1 :

Dans le plan muni d"un repère(O;I;J)on considère les vecteurs!u5 2 et!v15 6

!uet!vsont colinéaires car on a!v=3!u.Propriété 2.1 :Condition de colinéarité(démontrée ci-contre)Dans un repère du plan quelconque, deux vecteurs

!ux y et!vx0 y 0

sont colinéaires si et seulement sixy0x0y= 0.EXERCICE2.1Dans le plan muni d"un repère(O;I;J)on considère les vecteurs!u4p3 + 1

et!v p31 12

Démontrer que ces vecteurs sont colinéaires.2.Applications de la colinéarité (rappels de 2nde)Propriété 2.2 :Caractérisation du parallélisme par la colinéarité(admise)SoientA,B,CetDquatre points du plan avecAdistinct deBetCdistinct deD.

(AB)==(CD)()!ABet!CDsont colinéaires.Remarque 2.2 :

Attention au vocabulaire : On parle dedroites parallèleset devecteurs colinéaires.Propriété 2.3 :Caractérisation de l"alignement par la colinéarité(admise)SoientA,BetCtrois points du plan.

A,BetCsont alignés()!ABet!ACsont colinéaires.7 1

èreS

CHAPITRE 2. GÉOMÉTRIE PLANE : VECTEURS ET DROITESM. CERISIER - Mme ROUSSENALY

LGT Mansart - 2016-17EXERCICE2.2 :Démontrer l"alignement de trois pointsDans le plan muni d"un repère(O;I;J), soitE(2;3),F(1;1),G(5;6)etH(5;9).

1)E,FetGsont-ils alignés?

2)E,FetHsont-ils alignés?RÉSOLUTION DE L"EXERCICE2.2: question1)1)On a :!EF12

1(3) et!EG52 6(3) c"est à dire!EF1 2 et!EG3 3 x !EFy!EGx!EGy!EF=1(3)23 =36= 0donc!EFet!EGne sont pas colinéaires. On en déduit queE,FetGne sont pas alignés.II.Dr oites,vecteur set équations 1. V ecteursdirecteur sd"une dr oiteDéfinition 2.2

Un vecteur

!uest unvecteur directeurd"une droite(d)s"il existe deux pointsdistinctsAetBde(d)tels que!AB=!u.Remarque 2.3 :

íToute droite possède une infinité de vecteurs directeurs.

íLe vecteur nulnepeutpasêtre un vecteur directeur d"une droite car dans la définitionAetBdoivent être distincts.Propriété 2.4(démontrée ci-après)Soit(d)une droite et!uun vecteur directeur de(d).

Un vecteur!vest un vecteur directeur de(d)si et seulement si!vest non nul et colinéaire à!u.Démonstration

Soit

!uun vecteur directeur d"une droite(d). Par définition, il existe deux points distinctsAetBde(d)tels que!u=!AB.

Nous allons démontrer cette équivalence par double implication : =)Soit !vun vecteur directeur de(d). Alors !v6=!0et il existe deux points distinctsCetDde(d)tels que!v=!CD.

Les pointsA,B,CetDsont alignés (sur(d)) donc, d"après la propriété 2.2,!ABet!CDsont colinéaires d"où!uet!vsont colinéaires.

(=Soit !vun vecteur non nul et colinéaire à!u. !v6=!0donc il existe un pointEdistinct deAtel que :!AE=!v.

Ainsi!vcolinéaire à!usignifie!AEcolinéaire à!AB. Et, d"après la propriété 2.3, on en déduit queA,BetEsont

alignés, autrement dit le pointEappartient à(d). Par définition, on en déduit que!vest un vecteur directeur de(d).

Remarque 2.4 :

Ainsi tous les vecteurs directeurs d"une droite sont colinéaires.Propriété 2.5 :Une C.N.S. de parallélisme(conséquence immédiate de la définition 2.2 et de la propriété 2.2)Soit(d)une droite de vecteur directeur!uet(d0)une droite de vecteur directeur!u0.

(d)==(d0)()!uet!u0sont colinéaires8 1

èreS

CHAPITRE 2. GÉOMÉTRIE PLANE : VECTEURS ET DROITESM. CERISIER - Mme ROUSSENALY LGT Mansart - 2016-17Exemple 2.2 : Démontrer que deux droites sont parallèles Dans le plan muni d"un repère(O;I;J), soit(d)la droite de vecteur directeur!u1 4 passant parM(3;5), et(d0)la droite de vecteur directeur!v4 16 passant parN(2;3). Vérifions si(d)==(d0). Pour cela, étudions la colinéarité de!uet!v:

1(16)44 = 0donc!uet!vsont colinéaires. Finalement(d)==(d0).Propriété 2.6 :Une C.N.S. d"appartenance à une droite(conséquence immédiate de la déf. 2.2 et de la prop. 2.3)SoitAetMdeux points du plan,!uun vecteur non nul et(d)la droite passant parAet de vecteur directeur!u.

M2(d)()!AMet!usont colinéairesEXERCICE2.3 :Démontrer qu"un point appartient à une droiteDans le plan muni d"un repère(O;I;J), soitE(4;0),R(2;3)et!u3

5 Soit(d)la droite passant parRet de vecteur directeur!u.

Eest-il un point de(d)?2.Équations de dr oites

Propriété-définition 2.7 :Équations cartésiennes d"une droite du plan(i) démontré ci-dessous et ii) admis)Dans un repère quelconque du plan on a les propriétés suivantes :

i)

Soit (d)une droite du plan.

Il existea,betcréels avec(a;b)6= (0;0)tels que

(d)est l"ensemble des pointsM(x;y)du plan dont les coordonnées vérifient l"équationax+by+c= 0.

L"équationax+by+c= 0est appeléeuneéquation car tésiennede(d). ii)

Soit a,betctrois réels tels que(a;b)6= (0;0).

L"ensemble des pointsM(x;y)du plan tels queax+by+c= 0est une droite du plan.DémonstrationDemonstration du point i)Le plan étant rapporté à un repère(O;I;J), soit(d)une droite du plan.

SoitA(xA;yA)un point de(d)et!u

un vecteur directeur de(d). SoitM(x;y)un point du plan. M2(d)()!AMet!usont colinéaires.(d"après la propr iété2.6) ()(xxA)(yyA) = 0(d"après la condition de colinéarité appliquée à!AMet!u) ()xy(xAyA) = 0.

En posanta=,b=etc=(xAyA)on a :

M2(d)()ax+by+c= 0

En outre,

!u6=!0donc 6=0 0 et finalement(a;b)6= (0;0).

Remarque 2.5 :

Une équation d"une droite(d)ne s"écrit pas exclusivement sous la formeax+by+c= 0. Par exemple, si(d)est la droite d"équation8x+ 2y6 = 0alorsy=4x+ 3est une autre équation de(d).

En effet :8x+ 2y6 = 0()4x+y3 = 0()y=4x+ 3

On dit quey=4x+ 3est l"équation réduitede(d); dans cette équationyest exprimé en fonction dex.9

1

èreS

CHAPITRE 2. GÉOMÉTRIE PLANE : VECTEURS ET DROITESM. CERISIER - Mme ROUSSENALY

LGT Mansart - 2016-17Remarque 2.6 :

íOn a vu en classe de 2ndeque dans le cas d"une droitedparallèle à l"axe des ordonnées il existe un réeltel quex=soit

une équation ded. C"est cette équation que l"on appelle équation réduite ded.

íUne droite admet une infinité d"équations cartésiennes avec des coefficients différents, mais une seule équation réduite.Propriété 2.8 :Lien vecteur directeur / équation de droite(i) démontré en exercice ii) démontré ci-contre)Dans un repère quelconque du plan, on a les propriétés suivantes :

i)

Soit metpréels. Le vecteur!u1

m est un vecteur directeur de la droite(d)d"équationy=mx+p. ii)

Soit a,betcréels avec(a;b)6= (0;0).

Le vecteur

!ub a

est un vecteur directeur de la droite(d)d"équationax+by+c= 0.Exemple 2.3 : Déterminer un vecteur directeur d"une droite définie par une équation cartésienne

Le plan est rapporté à un repère(O;I;J).

Soit(d1)la droite d"équationy=23

x+15 et(d2)la droite d"équation7x+ 4y3 = 0.

Un vecteur directeur de(d1)est!u1

23
et un vecteur directeur de(d2)est!v4 7

.EXERCICE2.4 :Trouver une équation d"une droite connaissant un vecteur directeur et un pointDans un repère orthonormé, soitA(2;1)et!u5

3

Déterminer une équation cartésienne de la droitedpassant parAet de vecteur directeur!u.III.Décomposition d"un vecteur

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