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La fonction puissance

Table des matières

1 Fonction puissance2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Etude de la fonction puissance3

2.1 Variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Limite en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.5 Étude d"une fonction classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 La racine n-ieme8

3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Simplification et résolutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Croissance comparée9

4.1 En + l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 En moins l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Application : exo type BAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

PAUL MILAN22 mai 2012 TERMINALES

21 FONCTION PUISSANCE

1 Fonction puissance

1.1 Définition

Définition 1 :On appelle fonction puissance d"un réelapositif, la fonctionfa définie surRpar : a>0fa(x) =axavecax=exlnx

Exemple :3⎷2=e⎷2ln3et 5-12=e-12ln5

Remarque :Il s"agit de la généralisation de la fonction puissance avec les d"un nombre négatif qui était possible pour les entiers relatifs mais qui à cause de lnadevient impossible pour une puissance réel. (-3)5est possible mais(-3)⎷

2n"existe pas!

ConséquenceLa fonction puissance est strictement positive du fait de sa notation exponenetielle. ?x?Rax>0

1.2 Propriétés

On retrouve les mêmes propriétés de la fonction exponentielle avec la fonction puissance : Propriété 1 :Pour tous réels positifsaetb, on a les égalités suivantes pourxet yréels : lnax=xlna a x+y=ax×ayetax-y=ax ay ax)y=axy (ab)x=ax×bx

1.3 Exercices

1) Résoudre dansR: 2x=32x+1

On revient à la notation exponentielle :

e xln2=e(2x+1)ln3 xln2= (2x+1)ln3 x(ln2-2ln3) =ln3 x=ln3 ln2-2ln3

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3

2) Résoudre dansR:?13?

x =32

On revient à la notation exponentielle :

e xln1

3=eln32

-xln3=ln3-ln2 x=ln2-ln3 ln3

3) Résoudre dansR:?1

⎷3? x ?3

On revient à la notation exponentielle :

e xln1 ⎷3?eln3 1

2xln3?ln3

1

2x?1 car ln3>0

x?-2

S= [-2;+∞[

4) Résoudre dansR?+:x⎷

2?1 2

On revient à la notation exponentielle :

e

2lnx?eln12⎷

2lnx?-ln2

lnx?-ln2 ⎷2 x?e-ln2 ⎷2

S=]0;e-ln2

⎷2[

2 Etude de la fonction puissance

2.1 Variation

Soit la fonctionfadéfinie surRpar :fa(x) =ax.

Commeax=exlna, elle est continue et dérivable surRcar composition de fonctions continues et dérivables surR. On a alors : f ?a(x) =? exlna??=lnaexlna=lna ax Le signe de la dérivée dépend donc du signe de lna. On a alors : •Sia>1, on a alors?x?Rf?a(x)>0 la fonction puissance est croissante. •Si 0PAUL MILAN22 mai 2012 TERMINALES

42 ETUDE DE LA FONCTION PUISSANCE

2.2 Limite en l"infini

a>1 ?lim x→+∞xlna= +∞ lim x→+∞ex= +∞

Par composition, on a

lim x→+∞ax= +∞

De même, on montre que :

lim x→-∞ax=0 0Par composition, on a lim x→+∞ax=0

De même, on montre que :

lim x→-∞ax= +∞

2.3 Tableau de variation et courbe

a>1 x f ?a(x) f a(x) 00 0 1 1 a O1a 02.4 Étude d"une fonction

Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x2x

1)Limite en+∞

lim x→+∞2x= +∞ lim x→+∞x= +∞???

Par produit limx→+∞x2x= +∞

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2.4 ÉTUDE D"UNE FONCTION5

2)Limite en-∞.

forme indéterminée :∞×0

On change la forme :f(x) =xexln2

On pose alors :X=xln2, on a alors :

Six→ -∞on a :X→ -∞

La fonction devient alors :

XeX ln2 or on sait que : lim

X→-∞XeX=0, donc on en déduit que :

lim x→-∞x2x=0 On en déduit une asymptote horizontale : l"axe des abscisses en-∞.

3)Variation

f ?(x) =exln2+xln2exln2 = (1+xln2)2x

On sait que :?x?R2x>0 donc : :

signef?(x) =signe(1+xln2) f ?(x) =0?x=-1 ln2(? -1,14)

On a donc le tableau de variation suivant :

x f ?(x) f(x) -∞-1ln2+∞ 0+ 00 -1eln2-1eln2 f? -1ln2? =-1ln2e-1 ln2ln2=-1eln2(? -0,53)

4)La courbe

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62 ETUDE DE LA FONCTION PUISSANCE

123
-11 2-1-2-3-4-5 O

2.5 Étude d"une fonction classique

Soit la fonction définie surR+par :

?f(x) =xxpourx>0 f(0) =1

1)Étude de la continuité en 0Pourx>0, on af(x) =exlnx, on a alors les limites suivantes :

lim x→0+xlnx=0 lim x→0+ex=1???

Par composition limx→0+xx=1

Comme lim

x→0+xx=f(0), la fonction est continue en 0.

2)Étude de la dérivabilité en 0Il faut étudier le rapportf(h)-f(0)

hquandhtend vers 0. f(h)-f(0) h=exlnx-1h

C"est une limite indéterminée du type

0

0. On change de variable :H=hlnh

Sih→0 on a :H→0

On a alors :

f(h)-f(0) h=HeH-1H lnh=lnheH-1H

Comme on sait que : lim

H→0+e

H-1

H=1 et limh→0+lnh=-∞, on a :

lim x→0+f(h)-1 h=-∞ fn"est pas dérivable en 0 mais sa courbe possède une tangente verticale en 0.

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2.5 ÉTUDE D"UNE FONCTION CLASSIQUE7

3)Limite en l"infiniOn montre facilement par produit et composition que :

lim x→+∞xx= +∞

4)Variation

x xest dérivable surR?+car composition de fonctions dérivables sur cet inter- valle. On a alors : f ?(x) = (lnx+x×1 x)exlnx= (lnx+1)xx

Commexxest positive surR?+, on a :

signef?(x) =signe(lnx+1)

De plus, on a :

f ?(x) =0?lnx=-1?x=1 e(?0,37) Comme la fonction ln est croissante surR?+la fonctionf?est négative puis positive. On a alors le tableau de variation suivant : x f ?(x) f(x)

01e+∞

-0+ 11 e-1ee-1e 1 1 f ?1 e? =e1 eln1e=e-1e(?0,69)

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83 LA RACINE N-IEME

5)La courbe

0.51.01.52.0

0.5 1.0 1.5

e-1e e O

3 La racine n-ieme

3.1 Définition

Définition 2 :On appelle racine ned"un nombre réel positifx, le nombre noté n⎷ xtel que : n?2 etn⎷ x=x1n Remarque :Pourx=0, on peut définir :n⎷0=0.

Exemple :

3=3125⎷7=715

ConséquencePourxetypostifs, sixn=yalorsx=n⎷ y

3.2 Simplification et résolutions

1) Simplifier les expressions suivantes :

34⎷36et⎷x4⎷x

3⎷x

34⎷36=312×?

36?
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