Fiche technique sur les limites
1 Fonctions élémentaires Soit la droite (D) d'équation y = ax + b alors ... Comparaison de la fonction exponentielle avec la fonction puissance.
La fonction puissance - Lycée dAdultes
On retrouve les mêmes propriétés de la fonction exponentielle avec la fonction puissance : Propriété 1 : Pour tous réels positifs a et b on a les égalités
La fonction puissance
Définition 1 : On appelle fonction puissance d'un réel a positif On retrouve les mêmes propriétés de la fonction exponentielle avec la fonction.
La fonction logarithme népérien
3 déc. 2014 fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. Démonstration : On note Cln et Cexp les courbes ...
Tableau des dérivées élémentaires et règles de dérivation
1 Dérivation des fonctions élémentaires. Fonction. Df. Dérivée. D Dérivée de l'exponentielle. (eu) = u eu. Paul Milan. 1 sur 1. Terminale ES.
Équations différentielles appliquées à la physique
19 jui. 2017 On obtient une fonction croissante ou décroissante selon le signe de ? ... rend l'exponentielle très négligeable devant l'autre ce qui ...
La fonction exponentielle - Lycée dAdultes
16 oct. 2014 3) Tracer d ? et Cf. 4) La courbe semble avoir un point de symétrie. Démontrer cette conjecture. Exercice 8 f est la fonction définie sur R ...
La fonction exponentielle de base e
10 oct. 2016 La fonction exp est définie sur R comme l'unique fonction f solution de l'équation dif- férentielle d'ordre 1 : f? = f satisfaisant à la.
La fonction exponentielle - Lycée dAdultes
24 nov. 2015 On en déduit alors : f(x)f(?x) = 1 donc la fonction f ne peut s'annuler. • Unicité. On suppose que deux fonctions f et g vérifient les ...
Correction contrôle de mathématiques
10 déc. 2012 Chapitres 5 : la fonction exponentielle. 17 décembre 2012 ... La fonction ? est donc strictement croissante sur R.
Définition et problème universel
La fonction
exp est définie surRcomme l"unique fonctionfsolution de l"équation dif- férentielle d"ordre 1 : f?=f satisfaisant à la condition f(0) =1Remarque :On montre que cette fonction ne
peut s"annuler, donc est positive surRpuis qu"elle est unique.Comportement asymptotique
limx→+∞ex= +∞. limx→-∞ex=0y=0 est asymptote horizontale àCexpau voisinage de-∞Carte d"identité de la fonction " exp »
x exp ?(x) exp(x) +00 01 1eT0:y=x+1T1:y=ex
e 1 1O T0T1 y=ex exp :R-→R?+=]0 ;+∞[ x?-→ exp(x) =ex( (notation d"Euler)Avantage :La notation d"Euler rend les pro-
priétés algébriques " naturelles » donc facilesà manipuler et à mémoriser
La fonction
exponentielle de base e oùe≈2,718 à 10-3près exp est une fonction dérivable sur R.Elle est donc
continue surR. ?x?R, exp?(x) =exp(x)Conséquence :comme ,?x?R,ex>0, la
fonction exp est strictement croissante surRPropriétés algébriques
?x,y?R,ex×ey=ex+y
?x?R,n?Z(ex)n=en x
?x,y?R,ex
ey=ex-yCas particulier :?x?R,1
ex=e-x?x?R,⎷
ex=e1 2x Limites de référence à connaître et à reconnaître!Croissance comparée
limx→+∞e x x= +∞ limx→-∞x ex=0Variation en 0
limx→0e x-1 x=1 sans ces théorèmes, on aurait des formes indéterminéesPAULMILAN
DERNIÈRE IMPRESSION LE10 octobre 2016 à 16:57TERMINALE S SPÉRésolution d"équations et d"inéquations
ea=eb?a=bOn dit que la fonction exp réalise une bijection deRdans]0 ;+∞[Sia>0,ex=a?X=lnaSia?0,ex=an"admet pas de solutionChangements de variables :les plus fréquents étant
X=exouX=e-x
Le but est de se ramener à un problème simple (second degré, ...) ea?eb?a?bCar la fonction exp est croissante surR.Composée avec l"exponentielle
exp◦u :xu?-→u(x)exp?-→exp[u(x)] =eu(x) exp[u(x)]existe ssix?Du exp◦u est dérivable partout où la fonctionuest dérivable. ?x?Du?,(exp◦u)?(x) =exp?[u(x)]×u?(x)On note :(eu)?=u?eu.
Exemple :?x?R?, sif(x) =e1
xalorsf?(x) =-1 x2e1 x Culture : quelques fonctions " avatars » de exp 1)Fonction exponentielle de basea>0
exp a :R-→]0 ;+∞[ x?-→ ax=exlna Il s"agit d"un cas particulier de fonction composée avecu:x?-→u(x) =xlna.2)Fonction cosinus hyperboliquech
:R-→]0 ;+∞[ x?-→ chx=ex+e-x 2 3)Fonction sinus hyperbolique
sh :R-→]0 ;+∞[ x?-→ shx=ex-e-x 2Vous disposez en terminale S de tous les outils pour vous faire une idée précise de ces fonctions ou famille
de fonctions.PAULMILAN
TERMINALE S SPÉ
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