Fiche de synthèse n° 5 Mouvements : position vitesse et accélération
Mouvements : position vitesse et accélération. 1. Référentiel
Cinématique :
Vitesse et accélération. SYNTHESE. I. Vecteur position d'un point d'un solide La vitesse instantanée est à l'instant t
Mécanique : Cinématique du point Chapitre 1 : Position. Vitesse
Les grandeurs physiques de la cinématique sont le temps la position
Fiche de synthèse n°7 : mouvements : position vitesse et accélération
Fiche de synthèse n°7 : mouvements : position vitesse et accélération On peut donc dire que le vecteur-vitesse est dérivé du vecteur position.
Repérage dun point - Vitesse et accélération
4.3 Vecteur vitesse et vecteur accélération . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 5 Coordonnées sphériques. 5. 5.1 Repérage d'un point - Vecteur position .
CINEMATIQUE C2 - Vitesse et accélération
Définir décrire et calculer la vitesse ou l'accélération d'un point d'un On relève
Calculer vitesse et accélération dun point de lespace
et accélération) des corps par rapport à un référentiel en fonction du temps Propriété 2 – Notation : Comme le vecteur position
Physique: Cinématique du point matériel
Vecteur position : Vecteur vitesse : Vecteur accélération : Conclusion : Remarque : Le vecteur accélération est à tout instant radial centripète et sa norme.
CHAPITRE 6 CINÉMATIQUE DU SOLIDE 6.1. Coordonnées dun
Déterminer la position d'un solide dans l'espace sa vitesse et son accélération. — Déterminer la position et la vitesse d'un solide par rapport à un autre.
PHQ114: Mecanique I
30?/05?/2018 Considérons une particule en accélération constante a avec une vitesse initiale v0 et une position initiale x0.
Chapitre 1 : Position Vitesse Accélération
La norme du vecteur déplacement tend vers zéro et sa direction tend vers la tangente à la trajectoire au point M1 Son sens reste orienté de M1 vers M2 = sens du mouvement Le vecteur vitesse instantanée v est à chaque instant tangent à la trajectoire
MPSI - M´ecanique I - Rep´erage d"un point - Vitesse et acc´el´erationpage 1/6Rep´erage d"un point - Vitesse etacc´el´erationTable des mati`eres1 Espace et temps - R´ef´erentiel d"observation 12 Coordonn´ees cart´esiennes1
2.1 Rep´erage d"un point - Vecteur position . . . . . . . . . . . . . .. . 1
2.2 Vecteur vitesse et vecteur acc´el´eration . . . . . . . . . . .. . . . . 2
3 Coordonn´ees curvilignes - Base de Fr´enet 3
3.1 Rep´erage d"un point - Abscisse curviligne . . . . . . . . . . .. . . 3
3.2 Vecteur vitesse et vecteur acc´el´eration . . . . . . . . . . .. . . . . 3
4 Coordonn´ees polaires et cylindriques 3
4.1 Rep´erage d"un point - Vecteur position . . . . . . . . . . . . . .. . 3
4.2 Relations entre param´etrage cylindrique ou polaire etparam´etrage
cart´esien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.3 Vecteur vitesse et vecteur acc´el´eration . . . . . . . . . . .. . . . . 4
5 Coordonn´ees sph´eriques5
5.1 Rep´erage d"un point - Vecteur position . . . . . . . . . . . . . .. . 5
5.2 Relation entre param´etrage sph´erique et param´etrage cart´esien
(voir TD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.3 Vecteur vitesse et vecteur acc´el´eration (voir TD) . . .. . . . . . . 5
5.4 Coordonn´ees g´eographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
6 Exemples de mouvement5
6.1 Vecteur acc´el´eration constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 5
6.2 Mouvement rectiligne sinuso
¨ıdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.3 Mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Espace et temps - R´ef´erentiel d"observation
D"une mani`ere g´en´erale, rep´erer un point, param´etrerun point, nous servira tout au long du cours de Physique. Plus particuli`erement en M´ecanique, rep´erer un point vanous permettre de calculer vitesse et acc´el´eration et de d´ecrire les mouvements. Dans ce chapitre nous ne nous pr´eoccuperons pas encore des causes du mouvement (forces) et nous d´ecrirons les mouvements par rapport `a unr´ef´eren- tiel d"observation, rep`ere (O,ex,ey,ez) + horloge, qui nous permettra, comme nous l"avons rappel´e dans le chapitre pr´ec´edent, de r´epondre aux questions o`u? (espace) et quand? (temps). En m´ecanique classique, le temps est le mˆeme pour tous les observateurs, l"unit´e de temps, la seconde, ´etant d´efini comme 9 192 634 770 p´eriodes de la radiation ´electromagn´etique correspondant `a la transition entre 2 niveaux hyperfins de l"´etat fondamental du c´esium 133. En revanche pour r´epondre `a la question o`u? il existe diff´erents syst`emes de coordonn´ees...2 Coordonn´ees cart´esiennes
2.1 Rep´erage d"un point - Vecteur position
Pour rep´erer un point, on utilise unrep`ere.
Un rep`ere, c"est uneorigineO et unebase(u,v,w) en g´en´eral orthonorm´ee et droite. (u,v,w) est une base si?V,?(α,β,γ) r´eels tel queV=αu+βv+γw. (u,v,w) est orthonorm´ee si u.v=u.w=v.w= 0 ?u?=?v?=?w?= 1 u?v=w? Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007MPSI - M´ecanique I - Rep´erage d"un point - Vitesse et acc´el´erationpage 2/6Soit la base cart´esienne (ex,ey,ez)
OM x yz ?e x?e y?e z x=OHx,y=
OHyetz=
OI,coordonn´ees cart´esiennesde M, d´efinissent de fa¸con unique la position de M extr´emit´e duvecteur positionOM=xex+yey+zez Remarque : si l"on repr´esente 2 des 3 vecteurs de la base dansun plan, pour d´eterminer si le 3 eest rentrant ou sortant, on utilise la r`egle des 3 doigts de lamain droite ou la r`egle du tire bouchon.Lorsque M se d´eplace,x,yetzvarient (peuvent varier de-∞`a +∞);x,yet
zsont des fonctions du temps et on devrait ´ecrirex(t),y(t) etz(t).2.2 Vecteur vitesse et vecteur acc´el´erationLorsque M se d´eplace,Hxse d´eplace; on peut associer `aHxune vitessevx:
vitesse moyenne = distance temps=x(t2)-x(t1) t2-t1=x(t+ Δt)-x(t) t+ Δt-t=ΔxΔtvitesse instantan´ee
v x= limΔt→0ΔxΔt=dx
dt enm.s-1o`udx=x(t+dt)-x(t) =vxdtest la variation ´el´ementaire dexquand tvarie dedt→0. dxdtn"est pas seulement une ´ecriture voulant dire je d´erive lafonctionx(t) par rapport au tempst, c"est bien un rapportx(t+dt)-x(t) t+dt-t.De mˆemevy=dy
dtest la vitesse deHyetvz=dz dtest la vitesse deI. v x,vyetvzd´efinissent levecteur vitesse: v=vxex+vyey+vzezOn utilise aussi la notationdx
dt= x:v= xex+ yey+ zez v=dx dtex+dy dtey+dz dtez=d dt(xex) +d dt(yey) +d dt(zez) =d dt(xex+yey+zez) v=dOM dtEncore une foisdOM
dtest bien un rapport : dOM=vdt=dxex+dyey+dzez est levecteur d´eplacement ´el´ementaire(pendantdt,Hxse d´eplace dedx, H ydedyetIdedz). On peut aussi associer `aHxune acc´el´erationax=dvx dt=d2x dt2= ¨xen m.s -2et construire levecteur acc´el´eration: a=axex+ayey+azez= ¨xex+ ¨yey+ ¨zez Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007MPSI - M´ecanique I - Rep´erage d"un point - Vitesse et acc´el´erationpage 3/63 Coordonn´ees curvilignes - Base de Fr´enet3.1 Rep´erage d"un point - Abscisse curviligne
?eT?e N On rep`ere le point sur sa trajectoire (courbe orient´ee) par sonabscisse curvi- ligne: s=SM eTeteNforment labase de Fr´enet. e Test le vecteur unitaire tangent `a la trajectoire orient´e selon le sens positif;eN s"obtient en tournant deπ/2 vers l"int´erieur de la concavit´e.3.2 Vecteur vitesse et vecteur acc´el´eration
v=veT avec v=ds dt a=dv dteT+v2 RceN aT=dv dtest la composante tangentielle de l"acc´el´eration. a N=v2Rcest la composante normale de l"acc´el´eration.Pourquoia?= veT?
Quand on d´erive (par rapport au temps), il faut toujours faire le point sur ce qui d´epend du temps.v(t) mais aussieT(t)!Donca=dv
dteT+vdeT dt; en identifiantv2RceN=vdeT
dtou encore e N=Rc vdeT dt4 Coordonn´ees polaires et cylindriques
4.1 Rep´erage d"un point - Vecteur position
OM H ?e x?e y?e z?e r ?e r?e ?e rDe la mˆeme mani`ere quex=
OHx,y=
OHyetz=
OId´efinissaient de fa¸con
unique la position de M, lescoordonn´ees cylindriques r=?OH?=OH >0 de 0 `a +∞,θ= (?ex,OH) de 0 `a 2πet
z=OIde-∞`a +∞
d´efinissent aussi de fa¸con unique la position de M. Si le mouvement est plan, on utilise lescoordonn´ees polaires(r,θ). Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007MPSI - M´ecanique I - Rep´erage d"un point - Vitesse et acc´el´erationpage 4/6r=cted´efini un cylindre de rayonr(un cercle en coordonn´ees polaires).
θ=cted´efini un demi plan perpendiculaire au plan (ex,ey) (une demi droite en coordonn´ees polaires). z=cted´efini un plan parall`ele au plan(ex,ey). e r,eθetezforment labase cylindrique(ereteθlabase polaire) : e r=OH OH, e θs"obtient en tournant deπ/2 dans le sens desθcroissant, e zest le 3evecteur de la base cart´esienne. Levecteur positions"´ecrit dans la base cylindriqueOM=rer+zez
et dans la base polaireOM=rer
4.2 Relations entre param´etrage cylindrique ou polaire etpara-
m´etrage cart´esien r=? x2+y2 x=rcosθ tanθ=y x y=rsinθ er= cosθex+ sinθey ex= cosθer-sinθeθ eθ=-sinθex+ cosθey ey= sinθer+ cosθeθOn remarque en particulier queeθ=der
dθou encore derdt=der dθdθ dt=θeθOn pourra v´erifier que
deθdt=-θer On peut retenir la r`egle suivante :θ×vecteur obtenu par une rotation deπ/2 dans le sens desθcroissant.4.3 Vecteur vitesse et vecteur acc´el´eration
r,θ,z, mais aussiereteθd´ependent du temps. v=dOM dt= rer+rder dt+ zez v= rer+rθeθ+ zez v= rer+rθeθen polaire.Calculons le vecteur acc´el´eration :
a=dv dt= ¨rer+ rder dt+ (rθ+r¨θ)eθ+rθdeθ dt+ ¨zez a= (¨r-rθ2)er+ (2rθ+r¨θ)eθ+ ¨zez ar= ¨r-rθ2est lacomposante radialede l"acc´el´eration. a θ= 2rθ+r¨θest lacomposante orthoradialede l"acc´el´eration. a z= ¨zest lacomposante axiale. Calculons le vecteur d´eplacement ´el´ementaire : dOM=vdt=drer+rdθeθ+dzez Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007MPSI - M´ecanique I - Rep´erage d"un point - Vitesse et acc´el´erationpage 5/65 Coordonn´ees sph´eriques5.1 Rep´erage d"un point - Vecteur position
OM H ?e x?e y?e z?e r ?eθ?e
?e r Lescoordonn´ees sph´eriques(r,θ,?) d´efinissent de mani`ere unique la position du point M : r=?OM?peut varier de 0 `a +∞θ= (?ez,OM) peut varier de 0 `aπ
?= (?ex,OH) peut varier de 0 `a 2π Les vecteurser,eθete?constitue labase sph´erique: e r=OM OMe?est obtenu en tournant deπ/2 dans le sens des?croissant `a partir du vecteur OH eθ=e??er
Levecteur positions"´ecrit dans la base sph´erique :OM=rer
5.2 Relation entre param´etrage sph´erique et param´etrage cart´e-
sien (voir TD)5.3 Vecteur vitesse et vecteur acc´el´eration (voir TD)
5.4 Coordonn´ees g´eographiques
(verticale) (sud) (est)quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] Réaliser des Pourcentages dans Excel 2010 - Geek Me Five
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