[PDF] EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE DESS IM Evry option

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EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE

DESS IM Evry, option nance

Monique Jeanblanc

Universite d'EVRY

Octobre 2002

2

TABLE DES MATI

ERES3

Table des matieres

1 Rappels5

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Algebre beta-Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Mouvement Brownien 11

2.1 Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.8 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.8.1 Partie I: Resultats preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.8.2 Partie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.8.3 Partie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Integrale d'It^o23

3.1 Integrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.5 Brownien geometrique et extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Equations dierentielles stochastiques 33

4.1 Equation lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 Equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Exemples39

5.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2 Processus de Bessel carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.3 Autres processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.4 Des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4TABLE DES MATIERES6 Girsanov456.1 Resultats elementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2 Crochet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.3 Processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.4 Cas multidimensionel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.5 Temps d'arr^et. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7 Complements59

7.1 Theoreme de Levy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2 Equations retrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.3 Theoremes de representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.7 Options barrieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.8 Meandres, ponts, excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.9 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8 Processus a sauts67

8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.2 Poisson compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.3 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.4 Defaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.5 Marche complets, incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1 Rappels, Corriges73

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.2 Variables gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.3 Esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

1.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

1.7 Algebre beta-gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2 Mouvement Brownien, Corriges 81

2.1 Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.2 Processus Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.3 Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.6 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3 Integrale d'It^o, Corriges 91

3.1 Integrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.5 Brownien geometrique et extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4 Equations dierentielles stochastiques, Corriges 101

4.1 Equation Lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3 Equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Enonces. 2002-0355 Exemples, Corriges 1075.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.2 Processus de Bessel carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.3 Autres processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.4 Des Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6 Girsanov, Corriges111

6.1 Resultats elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2 Crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.3 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.4 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7 Complements, Corriges 117

7.1 Theoreme de Levy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.2 Equations retrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.3 Theoremes de representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.7 Options barrieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.8 Meandres, ponts, excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8 Sauts, Corriges.123

8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.2 Poisson compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.3 Marche complets, incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6Rappels

Enonces. 2002-037

Chapitre 1

Rappels

1.1 Tribu

Exercice 1.1.1

Ensembles appartenant a une tribu.

1. Montrer que siFest une tribu, et siAetBappartiennent aFavecAB, alorsBA2 Fou BAest l'ensemble des elements deBqui ne sont pas dansA. 2.

Montrer que 11

BA= 11B11A.

3. Montrer que siCetDappartiennent aF, alorsCDdef=fC\Dcg [ fCc\Dgaussi.

Exercice 1.1.2

Exemples de tribus.

1.

Decrire la tribu engendree par un ensembleA.

2. Decrire la tribu engendree par deux ensemblesAetBdisjoints.

Exercice 1.1.3

Fonctions indicatrices.

On note 11

Ala v.a. qui vaut 1 pour!2Aet 0 sinon.

1.

Montrer que 11

A\B= 11A11B.

2. Montrer que, siA\B=;, on a 11A[B= 11A+ 11B.

3.

Montrer que 11

A[B= 11A+ 11B11A\B.

Exercice 1.1.4

Union et intersection.

SoitF1etF2deux tribus. Montrer queF1\F2est une tribu. Montrer qu'en generalF1[F2n'est pas une tribu.

Exercice 1.1.5

Tribu grossie par un ensemble.(*)

SoitFune tribu etAn'appartenant pas aF. Montrer que la tribu engendree parFetAest composee des ensemblesBtels que il existeCetDappartenant aFveriantB= (C\A)[(D\Ac).

Exercice 1.1.6

Tribu engendree par une v.a.(*)

SoitXune v.a. sur un espace (

;G). La tribu engendree parX, notee(X), est la plus petite sous tribuFtelle queXsoit mesurable de ( ;F) dans (IR;B). Elle est engendree parC=fF ;jF= X

1(B);B2 B). Montrer queCest une tribu. Verier que siY=h(X) avechborelienne, alorsYest

(X) mesurable. On admettra que la reciproque est vraie.

Exercice 1.1.7

Lois de v.a.

Soit (X;Y) un couple de variables independantes et (Z;T) deux variables independantes telles que X loi=ZetYloi=T. 1.

ComparerE(f(X)) etE(f(Z)).

2.

ComparerE(X2Y) etE(Z2T).

3.

ComparerE(f(X)g(Y)) etE(f(Z)g(T)).

4.

ComparerE(f(X;Y)) etE(f(Z;T)).

8Rappels

1.2 Variables gaussiennes

Exercice 1.2.1

Moments.

SoitXune v.a.r. de loiN(0;2). CalculerE(X3),E(X4),E(jXj) etE(jX3j).

Exercice 1.2.2

Moments.SoitXun v.a. normale. Calculer les moments deeX.

Exercice 1.2.3

Exponentielles.SoitNune v.a. de loiN(0;1). CalculerE(exp(aN2+bN)). Montrer queE(expa2 2

N2) =E(expaNN0) avecNetN0i.i.d.

Exercice 1.2.4

Somme de variables gaussiennes independantes.

SoitXetYdeux v.a. gaussiennes independantes. Montrer queX+Yest une variable gaussienne.

Precisez sa loi.

Exercice 1.2.5

Transformee de Laplace.

SoitXune v.a.r. de loiN(m;2).

1.

Quelle est la loi de

Xm ? CalculerEjXmj. 2.

Montrer queE(eX) = exp(m+1

2

22). CalculerE(XeX).

3.

Soit (x) =1

p 2Z x 1 ey2 2 dy. Calculer, dans le casm= 0 et= 1 la valeur deE(11XbexpX) en fonction de (;;b). 4.

CalculerE(expfX2+Xg) pour 1220.

5. Montrer queE(eXf(X)) =em+22=2E(f(X+2) pourfcontinue bornee. 6. Montrer que, sifest "reguliere"E(f(X)(Xm)) =2E(f0(X)). 7.

Montrer que siGest une va de loiN(0;1)

E(eaGN(bG+c)) =ea2=2N(c+ab

p 1 +b2

Exercice 1.2.6

Convergence.

Soit (Xn;n1) une suite de v.a. gaussiennes qui converge dansL2versX. Quelle est la loi deX?

Exercice 1.2.7

Vecteur gaussien.SoitXun vecteur gaussien a valeurs dansIRnetAune matrice (p;n). Montrer queAXest un vecteur gaussien. Preciser son esperance et sa variance.

Exercice 1.2.8

Vecteur Gaussien.Soit (X;Y) un vecteur gaussien centre tel queE(XY) = 0. Mon- trer queXetYsont independantes.

Exercice 1.2.9

Projection.(*)

Rappel: projection dansL2: SoitAun sous espace deL2( ) engendre par les variables aleatoires Y

1;:::;Yn, c'est-a-dire siZ2 A, il existe (ai) reels tels queZ=P

iaiYi. SoitX2L2. On appelle projection deXsurAl'unique elementPrXdeAtel que

E((XPrX)Z) = 0;8Z2 A

Soit (X1;X2;:::;Xd;Y1;:::;Yn) un vecteur gaussien centre dansRd+n. Montrer queX= (X1;X2;:::;Xd) etY= (Y1;:::;Yn) sont deux vecteurs gaussiens centres. On supposed= 1. Montrer quePrXest une v.a. gaussienne(Y) mesurable, telle queXPrXetY sont independantes.

Exercice 1.2.10

Caracterisation de vecteur gaussien.(*) Soit (X;Y) deux v.a.r. telles queY est gaussienne et la loi conditionnelle deXaYest gaussienne de moyenneaY+bet de variance independante deY, c'est-a-dire queE(exp(X)jY=y) = exp((ay+b)+2 2

2). Montrer que le couple

(X;Y) est gaussien.

Enonces. 2002-039

1.3 Esperance conditionnelle

On travaille sur un espace (

;F;P) muni d'une sous-tribu deFnoteeG.

Exercice 1.3.1

Montrer que

E(Y E(XjG)) =E(XE(YjG))

Exercice 1.3.2

Montrer que siX2L2etE(XjG) =YetE(X2jG) =Y2alorsX=Y.

Exercice 1.3.3

Soit (X;Y) independantes,Xstrictement positive etZ=XY. CalculerE(11ZtjX) en utilisant la fonction de repartition deY.

Exercice 1.3.4

Soit (X;Y) independantes, equidristibuees etM= max(X;Y). CalculerE(11XtjM).

Exercice 1.3.5

Conditionnement et independance.

SoitX;Ydeux v.a. telles que la v.a.XYest independante deG, d'esperancemet de variance2. On suppose queYestG-mesurable. CalculerE(XYjG):En deduireE(XjG). CalculerE((XY)2jG).

En deduireE(X2jG).

Exercice 1.3.6

Vecteur gaussien(*)Suite de l'exercice 1.2.9

Soit (X;Y1;:::;Yn) un vecteur gaussien centre dansIR1+n. Montrer queE(XjY) =PrX.

On supposen= 1. Montrer queE(XjY) =Y. Determiner.

Exercice 1.3.7

SoitX=X1+X2. On suppose queX1est independante deG, queX2estGmesurable et queX1est gaussienne. 1.

CalculerE(XjG) et var (XjG).

2.

CalculerE(eXjG).

Exercice 1.3.8

Covariance conditionnelle.SoitZ1;Z2deux variables aleatoires de carre integrable.

On denit

Cov(Z1;Z2jG) =E(Z1Z2jG)E(Z1jG)E(Z2jG):

Montrer que

Cov(Z1;Z2jG) =E[(Z1E(Z1jG))Z2jG]:

Exercice 1.3.9

Tribu grossie.

SoitA =2 GetA2 FetXune v.a. integrable. On noteHla tribu engendree parGetA. (Voir exercice

1.1.5). On admettra que les v.a.Zqui sontHmesurables s'ecriventZ=Y111A+Y211Ac, ou les v.a.Yi

sontG-mesurables. Montrer que

E(XjH) =E(X11AjG)

E(11AjG)11A+E(X11AcjG)

E(11AcjG)11Ac

Exercice 1.3.10

Linearite.SoitZ=Y+, avec6= 0. Montrer queE(aX+bjZ) =aE(XjY)+b.

Exercice 1.3.11

Grossissement progressif(*) SoitFune tribu. On considere la tribuGengendree par^1 ouest une v.a. a valeurs dansIR+. 1. Montrer que toute v.a.Gmesurable s'ecrith(^1) ouhest borelienne. 2. Montrer que, siXest une v.a.Fmesurable,E(XjG)111=A111ouAest une constante.

Montrer queA=E(X111)=P(1).

Exercice 1.3.12

Conditionnement et independance 1.SoitG1etG2deux-algebres independantes, G=G1_ G2et (Xi;i= 1;2) deux variables aleatoires bornees telles queXiestGimesurable. Montrer queE(X1X2jG) =E(X1jG1)E(X2jG2).

Exercice 1.3.13

Conditionnement et independance 2.Montrer que siGest independante de (X)_ F,E(XjG _ F) =E(XjF).

Exercice 1.3.14

Formule de Bayes.SoitdQ=LdPsur (

;F) etGune sous-tribu deF. Montrer que E

Q(XjG) =EP(XjG);8X2 F

si et seulement siLestGmesurable.

10Rappels

Exercice 1.3.15

Soitfetgdeux densites strictement positives surIR. SoitXune v.a. de densitef sur un espace ( ;P). Montrer qu'il existe une probabiliteQsur cet espace telle queXsoit de densiteg.

Exercice 1.3.16

Independance conditionnelleSoit (Ft) et (Gt) deux ltrations. 1. Montrer que les proprietes suivantes sont equivalentes.(H1)for anyt, the-algebrasF1andGt are conditionally independent givenFt. (H2)8F2 F1;8Gt2 Gt;E(FGtjFt) =E(FjFt)E(GtjFt) (H3)8t;8Gt2 Gt;E(GtjF1) =E(GtjFt) (H4)8t;8F2 F1;E(FjGt) =E(FjFt). 2. SoitFetGdeux ltrations telles queFt Gt. Montrer que (H) EveryF-square integrable martingale is aG-square integrable martingale equivaut a (H1). 3. Dans le casGt=Ft_(t^) ouest un temps aleatoire, montrer que (H1) equivaut a (H5)8st;P(sjF1) =P(sjFt).

1.4 Martingales

L'espace

est muni d'une ltration (Ft).

Exercice 1.4.1

Exemple de base.SoitXune v.a. integrable. Montrer que (E(XjFt);t0) est une martingale.

Exercice 1.4.2

Surmartingale.On dit queMest une surmartingale si

-Mtest adapte, integrable -E(MtjFs)Ms;8st Le processusMest une sousmartingale siMest une surmartingale. 1. Montrer que siMest une martingale etAun processus croissant adapte (AsAt;8st) alors

MAest une surmartingale.

2.

SoitMune martingale. Que peut-on dire deM2?

3. SoitMune martingale telle queE(M21)<1. Montrer que suptE(M2t)<1. 4. Montrer qu'une surmartingale telle queE(ZT) =E(Z0) est une martingale sur [0;T].

Exercice 1.4.3

Martingale locale.Montrer qu'une martingale locale positive est une surmartingale.

Exercice 1.4.4

Martingale en fonction de la valeur terminale.SoitXune martingale telle que X T=. ExprimerXten fonction depourt < Tau moyen d'une esperance conditionnelle.

Exercice 1.4.5

Un lemme.On trouve dans la litterature (Due) le lemme suivant: Lemma: Letbe an adapted bounded process. Then (Yt=MtZ t 0 sds;0tT) for some martingalequotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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