[PDF] Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance

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Introductionaucalculstochastique

appliquéàlafinance

DamienLambertonBernardLapeyre

Avant-Propos

nousaétéinspiréparMarcYOR). lessignaler.

DamienLambertonetBernardLapeyre.

Tabledesmatières

Introduction9

1Modèlesdiscrets13

5

6TABLEDESMATIÈRES

4ModèledeBlacketScholes67

6Modèlesdetauxd'intérêt117

TABLEDESMATIÈRES7

7Modèlesd'actifsavecsauts133

Appendice161

Bibliographie167

Introduction

mine:laloidelaprobabilité. méthodesdecalcul.

1Leproblèmedesoptions

d'uneobligation,d'unedeviseetc. cicedel'option. (ST-K)+=max(ST-K;0): etdeuxquestionsseposent: pricing.

àuntauxconstantr.

deparitécall-put": C t-Pt=St-Ke-r(T-t): sansrisquesionavait,parexemple: C t-Pt>St-Ke-r(T-t): t,unprofitnetégalà C t-Pt-St:

INTRODUCTION11

P t-St)>0. d'arbitrage. lesmarchésoùiln'yapasd'arbitrage.

4Plandulivre

:cesquestionsfontl'objetduchapitre5. desmarchés. auxseptpremierschapitresde[Bou86]).

5Remerciements

CERMA,enparticulierO.ChateauetG.Caplain.

Chapitre1

Modèlesdiscrets

1Leformalismedesmodèlesdiscrets

1.1Lesactifsfinanciers

;F;P), F desoptions.

OnsupposeradanslasuitequeF0=f;;

g,FN=F=P( )et8!2

P(f!g)>0.

donnéspardesvariablesaléatoiresS0 n;S1 n;:::;Sd descoursfuturs).LevecteurSn=(S0 n;S1 n;:::;Sd

0=1.Siletauxd'intérêt

n=(1+r)n.Le coefficientn=1=S0 appelésactifs"àrisques".

1.2Lesstratégies

cret)aléatoire=0 n;1 n;:::;d n lesquantités0 n;1 n;:::;d d'êtreprévisibleausenssuivant:

8i2f0;1;:::;dg8

i

0estF0-mesurable

et,pourn1: i nestFn-1-mesurable. 0 n;1 n;:::;d n; descotationsàladaten. V n()=n:Sn=dX i=0 i nSi n; oùn=1=S0 net˜Sn=(1;nS1 n;:::;nSd n)estlevecteurdesprixactualisés. f0;1;:::;N-1g: n:Sn=n+1:Sn: coursS0 n,...,Sd particulier,iln'yapasdeconsommation). n+1:(Sn+1-Sn)=n+1:Sn+1-n:Sn; ouencoreà V n+1()-Vn()=n+1:(Sn+1-Sn): sées. i)Lastratégieestautofinancée. ii)Pourtoutn2f1;:::;Ng, V n()=V0()+nX j=1 jSj; oùSjestlevecteurSj-Sj-1. iii)Pourtoutn2f1;:::;Ng,

Vn()=V0()+nX

j=1 j˜Sj;

Ch.1MODÈLESDISCRETS15

processus1 n;:::;d n dufaitque˜S0 n;:::;d n

0nNetpourtoutevariable

V n

0nNtelquelastratégie

Vn()=0

n+1 n˜S1 n++d n˜Sd n =V0+nX j=1 1 j˜S1 j++d j˜Sd j

Cequidétermine0

partirdel'égalité: 0 n=V0+n-1X j=1 1 j˜S1 j++d j˜Sd j+1 n-˜S1 n-1++d n-˜Sd n-1

1.3Stratégiesadmissiblesetarbitrage

n.Direque0 n<0, quei toutn2f0;1;:::;Ng. delafaçonsuivante: devaleurfinalenonnulle.

2Martingalesetarbitrages

principalespropriétésdecetoutil. ;F;P),avecF=P( et8!2 f;; toutn,XnestFn-mesurable. n)0nNdel'actifiestunemartingalerevient fairedeSi n.

E(Mn+jjFn)=Mn8j0

n1,HnestFn-1mesurable. par: X

0=H0M0

X n=H0M0+H1M1++HnMnpourn1 estunemartingaleparrapportà(Fn)0nN.

Ch.1MODÈLESDISCRETS17

E(Xn+1-XnjFn)

=E(Hn+1(Mn+1-Mn)jFn) =Hn+1E(Mn+1-MnjFn)carHn+1estFn-mesurable =0:

D'où:

E(Xn+1jFn)=E(XnjFn)=Xn

cequiprouveque(Xn)estunemartingale. suite. E 0 @NX n=1H nMn1 A=0 n=1HnMn,pourtoutesuiteprévisible n=1HnMn=0 donne:

E(1A(Mj+1-Mj))=0

etparconséquentE(Mj+1jFj)=Mj.

2.2Marchésfinanciersviables

Démonstration:

proposition1.2:

Vn()=V0()+nX

j=1 j:˜Sj: P ,P(f!g)>0. amêmeespérancesousPqueV0(): E

˜VN()=E˜V0():

admissibleona:V0()=0)˜VN()=2. b1)Atoutprocessusprévisible(1 n;:::;d n),onassocieleprocessusdéfinipar:

Gn()=nX

j=1 1 j˜S1 j++d j˜Sd j: quantitésd'actifsrisqués1 n,...,d (0 n)telquelastratégie((0 n;1 n;:::;d

GN()=2:

l'entiern=sup kjP˜Gk()<0>0 .Ona: nN-1;P˜Gn()<0>0et8m>n˜Gm()0:

Ondéfinitalorsunnouveauprocessus enposant:

j(!)=0sijn 1

A(!)j(!)sij>n

mesurableonvoitque estaussiprévisible.D'autrepart:

Gj( )=0sijn

1

A˜Gj()-˜Gn()sij>n

Alors,onvoitque˜Gj( )0pourtoutj2f0;:::;Ngetque˜GN( )>0surAcequi detouteslesvariables aléatoiresréellesdéfiniessur leconvexecompactK=fX2jP telque:

Ch.1MODÈLESDISCRETS19

1.8X2K;X

!(!)X(!)>0

2.Pourtoutprévisible:X

!(!)˜GN()(!)=0 ,desortequelaprobabilitéP définiepar: P (f!g)=(!) P 02 (!0) estéquivalenteàP. E 0 @NX j=1 j˜Sj1 A=0: n),

àvaleursréelles,ona:

E 0 @NX j=1 i j˜Si j1 A=0; n);:::;(˜Sd n)sont desmartingales.

3.1Marchéscomplets

h=S1 N-K

K:h=K-S1

N P couverture.

Démonstration:

h S0

N=˜VN()=V0()+NX

j=1 j:˜Sj: E i˜VN()=Ei(V0())=V0(); g.Onadonc: E 1 h S0 N! =E2 hS0 N! U 0+NX n=1 n:˜Sn;(1.1) avecU0F0-mesurableet1 n;:::;d n nn'appartientpasà˜V.˜V ;F).

Ch.1MODÈLESDISCRETS21

Posonsalors:

P (f!g)=

1+X(!)

2kXk1!

P (f!g) oùkXk1=sup!2

àP,etdistinctedeP.Onadeplus

E 0 @NX n=1 n:˜Sn1 A=0 pourtoutprocessusprévisible1 n;:::;d n que(˜Sn)0nNestuneP-martingale. complets direvérifiant: V

N()=h:

Lasuite˜Vn

V 0()=E h S0 N etplusgénéralement V n()=S0 nE h S0 NjFn! ;n=0;1;:::;N: richessehàl'instantN. E h S0 N! ;F)etla unitéd'actif1auprixd'exerciceK,Zn=S1 n-K +;danslecasd'unputaméricain,Zn=K-S1 n finaleZN,c'est-à-direS0

N-1E˜ZNjFN-1,avec˜ZN=ZN=S0

N.Ilestdoncnatureldeprendre

U

N-1=maxZ

N-1;S0

N-1E˜ZN

FN-1: U n-1=max Z n-1;S0 n-1E Un S0 n

Fn-1!!

S 0 n=(1+r)n et: Uquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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