[PDF] Introduction au calcul stochastique et aux mathématiques financi`eres

View - Download Introduction au calcul stochastique et aux mathématiques financi`eres

Previous PDF

Next PDF

Introduction au calcul stochastique

et aux mathematiques nancieres

Olivier Lev^eque, olivier.leveque#ep

.ch ISM Adona, Cotonou, Benin - semaine du 7 au 11 janvier 2013 L'objectif de ce cours est d'introduire les etudiants aux notions de base du calcul stochas- tique et des mathematiques nancieres, en particulier l'evaluation et la couverture d'options. Avertissement:Plusieurs notions sont exposees dans ce cours sans une complete rigueur mathematique, le but etant de donner aux etudiants un bref apercu du sujet en une semaine, sans entrer dans trop de details. Pour un expose plus complet, on se referera a la vaste litterature disponible sur le sujet.

1 Introduction au calcul stochastique

1.1 Variables aleatoires

Une variable aleatoireXest caracterisee par saloi(oudistribution), elle-m^eme donnee par la liste de nombresP(X2B) avecBR. On distingue deux types principaux de variables aleatoires: - Les variables aleatoiresdiscretes, qui prennent un nombre ni ou denombrable de valeurs x

1;x2;::::

P(X=xi) =pi;avecpi0;X

ip i= 1: Exemple: variable de BernoulliX B(p):P(X= 1) =p,P(X= 0) = 1p(0p1). - Les variables aleatoirescontinues, qui admettent une fonction de densitepX(x):

P(X2B) =Z

B p

X(x)dx;avecpX(x)0;Z

R p

X(x)dx= 1:

Exemple: variable gaussienneX N(;2):pX(x) =1p22exp((x)222) (2R; >0).

Esperance et variance

- Pour une variable discrete, l'esperance et la variance sont denies de la maniere suivante:

E(X) =X

ix ipi;E(X2) =X ix

2ipiet Var(X) =E(X2)E(X)2:

Exemple: siX B(p), alorsE(X) =pet Var(X) =pp2=p(1p). 1 - Pour une variable continue, l'esperance et la variance sont denies de la maniere suivante:

E(X) =Z

R xp

X(x)dx;E(X2) =Z

R x2pX(x)dxet Var(X) =E(X2)E(X)2: Exemple: siX N(;2), alorsE(X) =et Var(X) =2(voir exercice 1). Notez qu'en geneeral, une denition equivalente de la variance deXest la suivante:

Var(X) =E((XE(X))2);

ou l'on voit que la variance represente la valeur moyenne du carre de la deviation de la variable aleatoireXpar rapport a sa valeur moyenneE(X). SiXetYsont deux variables aleatoires, on a toujoursE(X+Y) =E(X) +E(Y). C'est la propriete delinearitede l'esperance. Cette propriete n'est pas vraie en general pour la variance.

Variables aleatoires independantes

Deux variables aleatoiresXetYsont ditesindependantessi

P(X2A;Y2B) =P(X2A)P(Y2B) pour tousA;BR:

Ceci se traduit de la maniere suivante:

- pour des variables discretes:P(X=xi;Y=yj) =P(X=xi)P(Y=yj) pour tousi;j. - pour des variables continues:pX;Y(x;y) =pX(x)pY(y) (ou on rappelle quepX;Y(x;y) est la fonction de densite conjointe deXetY).

SiXetYsont independantes, alors

E(XY) =E(X)E(Y) et Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y):

Variables aleatoires identiquement distribuees

Deux variables aleatoires sont ditesidentiquement distribueessi elles ont la m^eme loi, i.e. siP(X2B) =P(Y2B) pour toutBR.

1.2 Processus aleatoires

Processus a temps discret: la marche aleatoire

SoitX1;X2;:::;Xn;:::une suite de variables aleatoires independantes et identiquement distribuees (i.i.d.). Lamarche aleatoireest le processus (Sn; n0) deni par S

0= 0; Sn=X1+:::+Xn;pourn1:

Suivant la distribution des variables aleatoiresXn, le processusSnpeut avoir des com- portements dierents. Considerons le cas particulier de la marche aleatoiresimple, pour laquelle on a pour toutn1:

P(Xn= +1) =p;P(Xn=1) = 1p;avec 0< p <1:

Voici a quoi ressemble une trajectoire du processusSndans ce cas: 2 nn SDans le cas oup= 1=2, on dit que la marche aleatoire simple estsymetrique. Pour unpquelconque (mais toujours compris entre 0 et 1), calculons (le calcul est le m^eme pour toutXn):

E(Xn) = (+1)p+ (1)(1p) = 2p1

et Var(Xn) =E(X2n)E(Xn)2=(+1)2p+ (1)2(1p)(2p1)2= 1(2p1)2= 4p(1p): De la, on deduit d'abord, par la linearite de l'esperance et le fait que les variables X

1;:::;Xnsont identiquement distribuees, que

E(Sn) =E(X1) +:::+E(Xn) =nE(X1) =n(2p1);

et egalement, du fait que les variables aleatoiresX1;:::;Xnsontindependanteset iden- tiquement distribuees: Var(Sn) = Var(X1) +:::+ Var(Xn) =nVar(X1) = 4np(1p):

Pour le cas particulierp= 1=2, ceci donne:

E(Sn) = 0 et Var(Sn) =n:

Donc dans cas, le processusSnest nulen moyenne, mais savarianceest egale an, ce qui veut dire qu'avec le temps qui passe, le processus devie de plus en plus loin de sa valeur moyenne. L'ordre de grandeur de cette deviation moyenne au tempsnest egal apn(la variance etant egale au carre de cette deviation moyenne). Letheoreme central limitenous dit de plus que lorsquendevient grand, la distribution deSnse rapproche de celle d'une variablegaussiennede moyenne nulle et de variancen (cet enonce est toutefois a prendre avec des pincettes). Dans le cas d'unpquelconque compris entre 0 et 1, on a de m^eme que la distribution deSnse rapproche de celle d'une variable gaussienne de moyennen(2p1) et de variance 4np(1p). A noter la dierence importante entre les casp= 1=2 etp6= 1=2: dans le premier cas, le processusSnreste nul en moyenne et oscille autour de 0; dans le second cas, le processus S npart dans une direction bien denie (vers le haut sip >1=2; vers le bas sip <1=2) en suivant une droite de pente 2p1 en moyenne, et oscille autour de cette droite. Les 3 oscillations sont toutefois d'ordre pn, donc bien inferieures (pourngrand) a la distance moyenne (2p1)nparcourue depuis le point de depart. Dans ce cas, le processusSn s'eloigne donc lentement mais s^urement de la valeur 0.

Processus a temps continu: le mouvement brownien

Lemouvement brownienest un processus (Bt; t2R+) satisfaisant les conditions suivantes: *B0= 0 * Ses accroissements sontindependants, i.e. sin2 ettn> tn1> ::: > t1> t00, alors B tnBtn1; Btn1Btn2::: Bt1Bt0 sont des variables aleatoires independantes. En particulier, sit > s0, alors B tBsetBsB0=Bssont independantes. * Ses accroissements sontstationnaires, i.e. sit > s0, alors B tBsetBtssont identiquement distribuees. * Ses accroissements sontgaussiens, i.e. sit > s0, alors B tBs N(0;ts): * Ses trajectoirest7!Btsont continues. Voici a quoi ressemble une trajectoire du mouvement brownien:t B t4

Proprietes de base du mouvement brownien

* Sit > s0, alorsE(BtBs) = 0 et Var(BtBs) =ts. * En particulier, sis= 0, alorsE(Bt) = 0 et Var(Bt) =t(voir exercice 2 pour le calcul de moyenne et de variance d'autres processus relies au mouvement brownien). * Aussi, pourhpetit, Var(Bt+hBt) =h, ce qui implique quejBt+hBtj 'phet donc dB tdt = limh!0B t+hBth n'existe pas: Les trajectoires du processusBsont donc continues mais pas derivables: c'est une car- acteristique commune a toute une classe de processus appelesmartingales, que nous allons voir plus loin. Le mouvement brownien vu comme la limite d'une suite de marches aleatoires Soit (Sn; n2N) la marche aleatoire simple symetrique vue plus haut:S0= 0 etSn= X

1+:::+Xn, avecXni.i.d. telles queP(Xn= +1) =P(Xn=1) = 1=2 pour toute

valeur den.Snest un processus a temps discret, mais on peut denir a partir deSnle processus a temps continu (Yt; t2R+) suivant: Y t=Sn+ (tn)Xn+1;pourntn+ 1: Le processusYn'est rien d'autre que la ligne brisee dessinee sur la gure suivant la denition de la marche aleatoire. Sa pente (autrement dit sa derivee) est egale a1, selon que le processus monte ou decsend durant cette periode. Remarquez que le processusYlui-m^eme n'est pas un mouvement brownien: en particulier, ses accroissements ne sont ni gaussiens (c'est clair), ni independants (car si on conna^t l'accroissement du processus entre les tempsnetn+ 1=2, alors on conna^t la valeur de X n+1, donc on sait de facon deterministe ou va le processus du tempsn+ 1=2 au temps n+ 1). Cependant, denissons la suite de processus suivante: B (n) t=Yntpn ; t2R+: Pour unndonne, le processusB(n)est represente sur la gure ci-dessous:pente = +- n ordre n ordre ntB t(n)5 Le processusB(n)est en fait une marche aleatoire dont on a change les dimensions tem- porelle et spatiale: dans un laps de temps egal a 1=n, le processus fait un saut vers le haut ou vers le bas de taille 1=pn. Sa pente a un instant donne est donc egale apn, selon que le processus monte ou descend durant cette periode. On peut montrer que lorsquen tend vers l'inni, alors la suite de processusB(n)converge vers un mouvement brownien B. Ainsi, un mouvement brownien est un processus dont la pente a tout instant est egale a1! (autrement, cette \pente" n'existe pas, ce qui conrme le fait que le processus n'est pas derivable).

1.3 Integrale stochastique et processus d'It^o

Integrale stochastique par rapport au mouvement brownien SoitBun mouvement brownien etH= (Hs; s2[0;t]) un processus constant par morceaux sur l'intervalle [0;t]:sH t sSoit 0 =t0< t1< t2< ::: < tn1< tn=tune subdivision de l'intervalle [0;t]; supposons que le processusHreste constant sur les intervalles [ti1;ti[. On denit alorsl'integrale stochastique deHpar rapport aBcomme Z t 0 H sdBs=nX i=1H ti1(BtiBti1) ouHti1est donc la valeur du processusHau debut de l'intervalle [ti1;ti[.

Interpretation

B s= valeur a l'instantsd'un actif nancier. H s= quantite d'actifBdetenue par un investisseur au tempss; au debut de la periode [ti1;ti[, celui-ci prend donc la decision d'acquerir une quantite d'actifHti1et ne change pas cette decision tout au long de la periode [ti1;ti[.

Pendant cette periode, l'actif va cependant

uctuer, et donc augmenter ou diminuer la fortune de l'investisseur a la n de la periode [ti1;ti[, selon queBti> Bti1ouBti< Bti1. La quantiteHti1(BtiBti1) represente le gain (ou la perte) eectue par l'investisseur sur la periode [ti1;ti[. 6 Ainsi, au vu de la denition ci-dessus, l'integrale stochastique Rt

0HsdBsrepresente le gain

total (ou la perte) eectue par l'investisseur sur la periode [0;t] avec la strategieH.

Remarque

On pourrait avoir envie de denir l'integrale stochastique Rt

0HsdBscomme une integrale

\classique" de Riemann en posant Z t 0 H sdBs=Z t 0 H sdB sds ds: Cependant, comme on l'a vu plus haut, les trajectoires du mouvement brownien ne sont pas derivables, donc dBsds n'existe pas, ce qui rend cette denition impossible. De plus, comme on va le voir plus loin, cette propriete de non-dierentiabilite du mouvement brownienBse transmet a l'integrale stochastique elle-m^eme, ce qui en fait une integrale etrange, dont les regles de calcul dierent des regles classiques du calcul dierentiel et integral. Propriete de base de l'integrale stochastique: esperance nulle et martingale En reprenant l'interpretation ci-dessus, il est legitime de supposer qu'a un temps donne, l'investisseur n'a pas d'information sur l'evolution future du processusBapres cet instant.

Mathematiquement, cela se traduit par l'hypothese que les variablesHti1etBtiBti1sont independantes pour touti. En consequence, on obtient par la linearite de l'esperance:

E Zt 0 H sdBs =E nX i=1H ti1(BtiBti1)! =nX i=1EHti1(BtiBti1) nX i=1EHti1EBtiBti1= 0; carEBtiBti1= 0 pour touti. Le processusRt

0HsdBsa donc une esperance nulle au

cours du temps, propriete qu'on a deja rencontree pour le mouvement brownien lui-m^eme (on a en eet vu queE(Bt) = 0 pour toutt0).

En fait, les processus (Bt; t0) etRt

0HsdBs; t0

sont egalement appeles desmar- tingales. Une martingale est un processus qui satisfait une condition plus forte que la seule condition d'avoir une esperance nulle. La denition rigoureuse de la notion de mar- tingale fait cependant appel a la notion d'esperance conditionnelle, qui depasse le cadre de ce cours. Une denition intuitive du concept de martingale est la suivante: supposons qu'on a observe un processus jusqu'au tempstet qu'on veuille estimer la valeur moyenne de ce processus a un temps ulterieurt+s; si cette valeur moyenne est egale a la valeur elle-m^eme du processus au tempst, on dit que le processus est une martingale. Pour illustrer cette propriete, considerons la marche aleatoire simple symetrique a temps discret: supposons qu'au tempsn,Snprenne la valeurx; alors l'esperance deSn+1(sup- posant connu le fait queSn=x) est donnee par12 ((x+ 1) + (x1)) =x. La marche aleatoire symetrique simple est donc bien une martingale. 7

Extension de l'integrale stochastique

Il est possible d'etendre la denition de l'integrale stochastique ci-dessus a des processusH qui ne sont pas necessairement constants par morceaux (on peut penser a un investisseur qui revise constamment la quantite d'actif investie au cours du temps). Les proprietes d'esperance nulle et de martingale restent toutes deux veriees dans ce cas.

Remarque

Il est interessant de constater que beaucoup de proprietes du mouvement brownien se transmettent a l'integrale stochastique: esperance nulle, martingale, mais aussi: les trajec- toires du processusRt

0HsdBs; t0

sont continues, mais pas derivables. Ceci n'est pas si surprenant quand on remarque que dans le cas ouHs= 1 pour touts,Rt

0HsdBs=Bt.

Processus d'It^o

Un processus d'It^o est un processus a temps continu (Xt; t2R+) qui peut s'ecrire sous la forme: X t=X0+Z t 0 K sds+Z t 0 H sdBs;(1) ouHetKsont deux processus a trajectoires continues. On retrouve donc: - unepartie reguliere:Vt=X0+Rt

0Ksds, dont l'esperanceE(Vt) peut evoluer au cours

du temps, mais dont les trajectories sont derivables: en eet, on a de maniere classique: dV tdt =Ktexiste. - unepartie martingale:Mt=Rt

0HsdBs, dont l'esperanceE(Mt) reste nulle au cours du

temps, mais dont les trajectoires ne sont pas derivables. Par la linearite de l'esperance, on obtient queE(Xt) =E(Vt+Mt) =E(Vt) +E(Mt) = E(Vt), du fait queE(Mt) = 0. Le partie reguliereVdonne donc la tendance globale du processusX, tandis que la partie martingaleMrepresente les uctuations du processus

Xautour de cette moyenne.

SiKs0 pour touts, alors le processusVest croissant au cours du temps. Dans ce cas, on dit que le processusXest unesous-martingale(i.e. un processus qui uctue, mais qui a tendance globalement a monter). SiKs0 pour touts, alors le processusVest decroissant au cours du temps. Dans ce cas, on dit que le processusXest unesur-martingale(i.e. un processus qui uctue, mais qui a tendance globalement a descendre). Finalement, siKs= 0 pour touts, alorsVest constant au cours du temps, et dans ce cas,Xest simplement une martingale.

Remarque

L'appellation de sous- et sur-martingale est contre-intuitive; elle vient originellement de la notion de fonction sous- et sur-harmonique en analyse. 8

Notation dierentielle

Au lieu d'ecrire le processusXsous forme integrale, comme dans l'equation (1), il arrive aussi qu'on l'ecrive sous forme dierentielle: dX t=Ktdt+HtdBt: Cette notation est toutefois purement formelle, car les trajectoires du processusXne sont pas derivables.

1.4 Formule d'It^o-Doeblin

Rappel preliminaire: derivation de la composition de deux fonctions Soitg:R+!Rune fonction contin^ument derivable etf:R!R, une autre fonction contin^ument derivable. On ecrit (fg)(t) =f(g(t)) la composition defetg. Alors la regle de derivation classique est: (fg)0(t) =f0(g(t))g0(t); ou de maniere equivalente, sous forme integrale: f(g(t))f(g(0)) =Z t 0 f0(g(s))g0(s)ds:(2) On aimerait trouver une formule similaire dans le cas ou on remplace la fonctiongpar une trajectoire du mouvement brownienB. Un probleme se pose, cardBtdt n'existe pas. Nous allons voir cependant qu'une formule alternative existe, qui mene a une nouvelle regle de calcul: le calcul stochastique.

Note historique

La formule qui suit porte traditionnellement le nom du mathematicien japonais Kiyoshi It^o, fondateur de la theorie du calcul stochastique dans les annees 40. Elle a cependant ete rebaptisee sous le nom de formule d'It^o-Doeblin, en hommage au mathematicien francais Wolfgang Doeblin, lorsqu'on a decouvert il y a une dizaine d'annees qu'il avait trouve ce resultat independamment alors qu'il combattait sur le front en juin 40, avant de deceder.

Premiere version

Soitf:R!Rune fonctiondeux foiscontin^ument derivable etB= (Bt; t2R+) un mouvement brownien. Soit egalementX= (Xt; t2R+) le processus deni par X t=f(Bt) pourt2R+. Alors pour toutt2R+, la relation suivante est vraie: X tX0=f(Bt)f(B0) =Z t 0 f0(Bs)dBs+12 Z t 0 f00(Bs)ds:(3) Notez tout de suite que si dans la formule (2), on faisait l'identicationg0(s)ds=dg(s)ds ds= dg(s) et qu'on remplacait navementg(t) parBt, alors on serait tente d'ecrire: f(Bt)f(B0) =Z t 0 f0(Bs)dBs; 9 qui est une formule fausse. Faire cette identication nave, c'est ne pas prendre en compte le fait que les trajectoires du mouvement brownien ne sont pas derivables, et donc que dB sds n'existe pas. Nous avons ici a faire a une nouvelle regle de calcul.

Remarques

- Pour appliquer la formule d'It^o-Doeblin, il importe donc que la fonctionfsoit deux fois contin^ument derivable, a cause du terme correctif 12 R t

0f00(Bs)dsqui appara^t dans la

formule. - La formule (3) nous montre egalement que le processusXest en realite un processus d'It^o:Xt=Vt+Mt, avec V t=X0+12 Z t 0 f00(Bs)ds: partie reguliere; M t=Z t 0 f0(Bs)dBs: partie martingale. De plus, sifest une fonction convexe, i.e.f00(x)0 pour toutx, alors la partie reguliere Vest croissante, donc le processusX=f(B) est une sous-martingale. Si par contrefest une fonction concave, i.e.f00(x)0 pour toutx, alors la partie reguliereVest decroissante, donc le processusX=f(B) est une sur-martingale. Finalement, sifest une fonction ane (i.e.f00(x) = 0 pour toutx, i.e.f(x) est de la forme f(x) =ax+b), alors la partie reguliereVest constante, donc le processusX=f(B) est une martingale.

Exemples

quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

[PDF] methodes de valorisation des stocks - AUNEGE

[PDF] circulaire temps partiel 2016-2017

[PDF] Aire totale des prismes

[PDF] notice explicative calcul des surfaces de plancher - Canohes

[PDF] Aire des polygones - Sylvain Lacroix

[PDF] Aire d 'un quadrilatère quelconque - Numdam

[PDF] SCM : Et si l 'on reparlait de gestion de stocks - Supply Chain

[PDF] Taille optimale de l 'équipe commerciale - MemoPage

[PDF] modalités de calcul des tarifs de péage au sein des - Asecap

[PDF] Calcul du taux d 'absentéisme - csmota

[PDF] Comment calculer le taux d 'évolution global de plusieurs - Euler

[PDF] Mesure et contrôle des impayés Calcul et fixation de taux d 'intérêt

[PDF] Accueil de jeunes enfants - Caf

[PDF] La prestation de service unique Mode d 'emploi - Gisti

[PDF] La recombinaison homologue - UPMC