[PDF] INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE

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INTRODUCTION AU CALCUL

STOCHASTIQUE

Nadine GUILLOTIN-PLANTARD

13 novembre 2009

Table des matieres

1 Processus stochastiques 3

1.1 Processus stochastiques equivalents. Modication. Processus

indistinguables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Loi d'un processus stochastique. Processus canonique. . . . . . 9

1.3 Processus canonique ayant des repartitions nies donnees . . . 11

2 Processus de Poisson standard et mouvement Brownien reel

standard 16

2.1 Processus ponctuel. Processus de Poisson standard . . . . . . 16

2.2 Critere de regularite de Kolmogorov. Construction du mouve-

ment Brownien reel standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Processus variation quadratique et application au mouvement

Brownien reel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Martingales 24

3.1 Filtration. Processus adapte. Martingale . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Temps d'arr^et. Adaptation forte. . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Theoreme d'arr^et pour des temps d'arr^et bornes . . . . . . . . 31

3.4 Theoremes de convergence. Theoreme d'arr^et pour une mar-

tingale uniformement integrable . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Propriete de Markov forte des P.A.I.S. et applications 40

4.1 Propriete forte de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Application au mouvement Brownien reel standard . . . . . . 42

5 Processus a variation nie et integrale de Stieltjes 47

5.1 Fonctions a variation nie et integrale de Stieltjes . . . . . . . 47

5.1.1 Fonctions a variation nie. . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.2 Fonctions a variation nie et mesures surR+;. . . . . . 48

5.1.3 Formule d'integration par parties. . . . . . . . . . . . . 49

5.1.4 Formule de changement de variable. . . . . . . . . . . . 50

5.1.5 Changement de temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Processus a variation nie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 Martingales locales continues 57

6.1 Variation quadratique d'une martingale continue bornee. . . . 57

6.2 Martingales locales continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3 Semi-martingales continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7 Integrale stochastique 66

7.1 Integrale stochastique par rapport a une martingale bornee

dansL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.2 Integrale stochastique par rapport a une martingale locale . . 70

7.3 Integrale stochastique par rapport a une semi-martingale conti-

nue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.4 Formule d'integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.5 Formule de changement de variables de It^o . . . . . . . . . . . 74

7.6 Applications de la formule de It^o . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.6.1 Exponentielle de Doleans d'une martingale locale conti-

nue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.6.2 Theoreme de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.6.3 Inegalite de Burkholder . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8 Equations dierentielles stochastiques 86

Chapitre 1

Processus stochastiques

1.1 Processus stochastiques equivalents. Mo-

dication. Processus indistinguables. L'objet de la theorie des processus stochastiques (ou aleatoires) est l'etude des phenomenes aleatoires dependant du temps. Soit ( ;F;P) un espace probabilise, un ensembleTappeleensemble des temps(exemples :T=R+ ou [0;t]). Soit aussi (E;E) un espace mesurable appelel'espace des etats. Un processus stochastiqueavaleurs dans (E;E) basesur ( ;F;P) est une famille (Xt)t2Tde variables aleatoires (abreviation : v.a.) de ( ;F;P) dans (E;E). A!2 , on associe l'application : T!E t7!Xt(!) appeleela trajectoire de(Xt)t2Tassociee a!. PrenonsE=Rd,E=B(Rd), on dit que (Xt)t2TestPp.s. continu a droite (resp. :Pp.s. continu a gauche,Pp.s. continu) si pourPpresque tout ,t!Xt(!) est continue a droite (resp. : continue a gauche, continue). On dira que deux processus stochastiques decrivent le m^eme phenomene aleatoire s'ils sont equivalents au sens suivant : Soient (Xt)t2Tet (X0t)t2Tdeux processus stochastiques a valeurs dans le m^eme espace d'etats (E;E), avec (Xt)t2Tbase sur ( ;F;P) et (X0t)t2Tbase sur (

0;F0;P0).

On dit qu'ils sontequivalentssi8n1;8t1;:::;tn2T;8B1;:::;Bn2 E, on a :

P(fXt12B1;:::;Xtn2Bng) =P0(fX0t

12B1;:::;X0t

n2Bng): On dira encore que chacun de ces processus estune version de l'autreou encore que (Xt)t2Tet (X0t)t2Tsontdes versions du m^eme processus. (C'est une relation d'equivalence!). La famille des lois des v.a. (Xt1;:::;Xtn) lorsqueft1;:::;tngparcourt l'en- semble des parties nies non vides deTs'appellela famille des lois de di- mension nieoufamille des repartitions nies de(Xt)t2T. Deux processus stochastiques sont equivalents si et seulement si ils ont les m^emes repartitions nies. A partir de maintenant,T=R+et (E;E) = (Rd;B(Rd)). Un processus stochastique (Xt)t2R+base sur ( ;F;P) a valeurs dans (Rd;B(Rd)) estun processus a accroissements independants(abreviation : P.A.I.) si on a : (i)X0= 0Pp.s. (ii)8n2;8t1;:::;tn2R+tels que 0< t1< t2< ::: < tn, les v.a. t1;Xt2Xt1;:::;XtnXtn1 sont independantes. Un processus stochastique (Xt)t2R+estun processus a accroissements independants stationnaires(abreviation : P.A.I.S.) si c'est un P.A.I. et si (iii)8s;t2R+, tels que 0s < t, la v.a.XtXsa la m^eme loi queXts:

Autrement dit,8h0,

t+hXs+hL=Xts;

8s;t2R+, tels que 0s < t. (Notation :XL=YssiXetYont m^eme loi).

LorsqueT=N, la notion correspondante a celle de P.A.I. (resp. : P.A.I.S.) est la suivante : on se donne une suite (Zk)k1de v.a.ddimensionnelles independantes et on pose :S0= 0P-p.s. et pour toutn1, n=Z1+:::+Zn: (Sn)n0verie (i) et (ii) et si les v.a.Zk;k1;ont m^eme loi, (Sn)n0verie (iii) et s'appelleune marche aleatoire. Une famille (t)t2]0;+1[de probabilites sur (Rd;B(Rd)) estun semi-groupe de convolutionsi on a :8s2]0;+1[;8t2]0;+1[; s+t=st: (est la mesure image de par l'application (x;y)!x+y). Proposition 1.1.1.a). Si(Xt)t2R+est un P.A.I.S. (a valeurs dans(Rd;B(Rd))) et si pour toutt2]0;+1[,tdesigne la loi deXt, alors(t)t2]0;+1[est un semi-groupe de convolution. On l'appellele semi-groupe de convolution du

P.A.I.S. (Xt)t2R+.

b). Plus generalement, si(Xt)t2R+est un P.A.I. et si pour touts;t2R+ tels ques < t,s;tdesigne la loi deXtXs, alors on a :8s;t;u2R+, tels ques < t < u, on a : s;u=s;tt;u:

Demonstration.a) On a :

s+t=Xs+ (Xs+tXs): Or,XsetXs+tXssont des v.a. independantes etXs+tXsL=Xt, donc s+t=st: b) On ecrit : uXs= (XuXt) + (XtXs): uXsa pour lois;u; (XuXt) et (XtXs) sont des v.a. independantes de lois respectivest;uets;t, d'ou l'egalite s;u=s;tt;u:Proposition 1.1.2.a). Si(Xt)t2R+et(X0t)t2R+sont deux P.A.I.S.ddimensionnels (bases sur( ;F;P)et sur(

0;F0;P0)) qui ont m^eme semi-groupe de convo-

lution, alors(Xt)t2R+et(X0t)t2R+sont equivalents. b). Plus generalement, si(Xt)t2R+et(X0t)t2R+sont deux P.A.I.ddimensionnels tels que pour touts;t2R+avecs < t, on ait : tXsL=X0tX0s; alors(Xt)t2R+et(X0t)t2R+sont equivalents. Remarque :Le a). peut se reformuler ainsi : deux P.A.I.S. qui ont les m^emes lois de dimension 1 ont les m^emes lois de dimension nie. Ce resultat n'est pas vrai pour des processus plus generaux.

Demonstration.b) : (Remarquons queb):=)a):):

Pour toutt2R+,XtL=X0t:De plus, pour toutn2, pour toutt1;:::;tn2 +tels que 0< t1< t2< ::: < tn, (Xt1;:::;Xtn)L= (X0t

1;:::;X0t

n):

En eet, les v.a. (Xt1;Xt2Xt1;:::;XtnXtn1) et (X0t

1;X0t 2X0t

1;:::;X0t

n1) ont la loi0;t1 t1;t2 tn1;tn:On en deduit en considerant l'application : : (u1;:::;un)!(u1;u1+u2;:::;u1+:::+un) que (Xt1;:::;Xtn) =(Xt1;Xt2Xt1;:::;XtnXtn1) et (X0t

1;:::;X0t

n) ont la m^eme loi, c'est a dire la mesure image parde0;t1 t1;t2 tn1;tn.5 Exemples de semi-groupes de convolution sur(R;B(R)):quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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