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Droites et plans de l"Espace

Calcul vectoriel dans l"Espace

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2019/2020Table des matières

1 Positions relatives3

1.1 Positions relatives de deux droites

3

1.2 Positions relatives de deux plans

3

1.3 Positions relatives d"une droite et d"un plan

4

1.4 Deux résultats supplémentaires sur le parallélisme

4

2 Vecteurs de l"Espace5

2.1 Extension de la notion de vecteur à l"Espace

5

2.2 Calcul vectoriel dans l"Espace

5

2.3 Colinéarité, applications

6

3 Vecteurs coplanaires6

3.1 Caractérisation vectorielle d"un plan de l"Espace

6

3.2 Vecteurs coplanaires

7

4 Repérage dans l"Espace7

4.1 Définition - Coordonnées

7

4.2 Calcul sur les coordonnées

8

4.3 Colinéarité, coplanarité

9 ?

Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

TABLE DES FIGURES LISTE DES TABLEAUX

Table des figures

1 Un plan

3

2 Plans parallèles

4

3 Intersection avec deux plans parallèles

5

4 Théorème du toit

5

5 Relation de Chasles

6

6 Règle du parallélogramme

6

7 Coordonnées dans un repère de l"Espace

8

Liste des tableaux

1 Positions relatives de deux droites

3

2 Positions relatives de deux plans

4

3 Positions relatives d"une droite et d"un plan

4 2

1 POSITIONS RELATIVES

Quelques rappels

Règles d"incidences :Les règles suivantes sont valables dans l"espace : 1. P ar deux p ointsdistincts AetBpasse une seuledroite , notée(AB). 2. P ar trois p ointsnon alignés A,BetCpasse un seulpl an,noté (ABC). 3. Si un plan con tientdeux p ointsAetB, il contient toute la droite(AB). 4. Dans tout p lande l"espace , tout résultat de géométrie plane

s"applique. Remarques :1.Un plan est une " surface » plane " illimitée ». Elle est représen téeen p erspectivepar un

parallélogramme (voir figure 1 ).Figure1 - Un plan 2.

La dernière règle indique que, dans tout plan de l"e space,tout se passe comme dans " LE » plan de

la géométrie plane. On cherchera donc très souvent à se placer dans un plan de l"espace.

1 Positions relatives de droites et de plans

1.1 Positions relatives de deux droites

Les résultats sont résumés dans le tableau 1

.Positions relatives deD1etD2CoplanairesNon coplanairessécantesstrictement parallèlesconfondues

un point commun uniquepas de point communtous les points sont communsil n"existe pas de plan contenant les deux droitesTable1 - Positions relatives de deux droites

Remarques :1.A ttention!Dans l"espace, il existe des droites qui n eson tni p arallèles,n isécan tes.

2.

Deux droites son t

parallèles lorsqu"elles son t coplanaires et non sécan tes

1.2 Positions relatives de deux plans

Les résultats sont résumés dans le tableau 2

Remarque :Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite. Il suffit donc de déterminerdeux

points appartenant simultanément aux deux plans

p ourd éterminerce ttedroite. Propriété : (admise)Deux plans sontparallèles si et seulemen tsi d euxdroites sécan tesde l"un son t

parallèles deux droi tessécan tes de l"autre. (v oirfigure 2 )3

1.3 Positions relatives d"une droite et d"un plan 1 POSITIONS RELATIVES

Positions relatives des plansP1etP2sécantsparallèles confondusstrictement parallèlesou disjointsleur intersection est la droiteDleur intersection est un planleur intersection est vide Table2 - Positions relatives de deux plansFigure2 - Plans parallèles

1.3 Positions relatives d"une droite et d"un planPositions relatives deDetPsécantsparallèles

DetPont un seul point

communDetPn"ont aucun point communDest incluse dans le planP.Table3 - Positions relatives d"une droite et d"un plan

Remarque :Unedroite est parallè leà un plan si et seulemen tsi elle est parall èleà une droite de ce plan .

1.4 Deux résultats supplémentaires sur le parallélismeThéorème 1 : (admis)Si un planQcoupe deux plans parallèlesPetP?alors les droites d"intersection

sont parallèles (v oirfigure 3 ).Théorème 2 : (admis)(aussi appelée " théorème du toit ») SoitDetD?deux droites parallèles.Pest un plan contenantDetP?un plan contenantD?(voir figure 4 Si les plansPetP?sont sécants, leurdroite d"in tersectionΔestparallèle à Det àD?.4

2 VECTEURS DE L"ESPACE

Figure3 - Intersection avec deux plans parallèlesFigure4 - Théorème du toit

Exercices :1, 2, 3 page 270 et 22, 23, 24, 26 page 2781- 5, 6 page 271 et 27, 2, 29 page 2792[TransMath]

Activité :Section d"un plan sur un cube (sur feuille polycopiée) Exercices :13 page 274; 31, 32, 34 page 279 et 46 page 2813[TransMath]

2 Vecteurs de l"Espace

2.1 Extension de la notion de vecteur à l"Espace

Dans le plan, un vecteur

--→ABest défini par : sa direction (la droite (AB)); son sens (du p ointAvers le pointB); sa longueur ou norme (la distance AB).

Cette notion se généralise sans problème à l"Espace, avec les mêmes propriétés. Par exemple :Propriété :Égalité de vecteurs--→AB=--→CDsi et seulement siABDCest un parallélogramme.2.2 Calcul vectoriel dans l"Espace

L"addition de deux vecteurs et la multiplication d"un vecteur par un réel sont définies comme dans le plan et

ont les mêmes propriétés. Par exemple :Propriété 1 :Relation de Chasles

Pour tous pointsA,BetCde l"Espace :-→AC=--→AB+--→BC(voir figure5 ).Propriété 2 :Règle du parallélogramme

OMRNest un parallélogramme si et seulement si--→OR=--→OM+--→ON(voir figure6 )1. Intersection d"une droite et d"un plan.

2. Intersections de deux plans.

3. Section d"un polyèdre par un plan.

5

2.3 Colinéarité, applications 3 VECTEURS COPLANAIRES

Figure5 - Relation de ChaslesFigure6 - Règle du parallélogramme

Remarques :1.Ces deux propriétés donnen tles deux mani èresde construire une somme v ectorielle

(" bout-à-bout » ou à l"aide d"un parallélogramme). 2.

Les règles de calculs sur les sommes de v ecteurset sur les m ultiplicationsde v ecteurspar un réel son t

les mêmes que sur les nombres. Exercices :43, 44, 46, 47, 48, 51 page 3074[TransMath]

2.3 Colinéarité, applicationsDéfinition :Deux vecteurs-→uet-→vsontcoliné airessi et seulemen tsi l"un est le pro duitde l"autre par

un réelk(c"est-à-dire-→u=k-→vou-→v=k-→u).Propriété :Soit-→uet-→vdeux vecteurs non nuls.-→uet-→vsontcolinéaires si et seulemen tsi l esv ecteurs-→uet-→vontmê medirection .Applications :-Les droites (AB)et(CD)sontparallèles si et seulemen tsi les v ecteurs--→ABet--→CDsont

colinéaires

Les p ointsA,BetCsontalignés si et seulemen tsi les v ecteurs--→ABet-→ACsontcolinéaires .

Exercice :1, 2 page 295 et 60, 61 page 3095[TransMath]

3 Vecteurs coplanaires

3.1 Caractérisation vectorielle d"un plan de l"EspaceThéorème :SoitA,BetCtrois points de l"Espacenon alignés .

Un pointMest dans le plan(ABC)si et seulement si il existe deux réelsxetytels que :

AM=x--→AB+y-→ACDémonstration :

Puisque les pointsA,BetCne sont pas alignés, le triplet?

A,--→AB;-→AC?

forme un repère du plan(ABC).4. Vecteurs de l"Espace.

5. Colinéarité, applications.

6

4 REPÉRAGE DANS L"ESPACE 3.2 Vecteurs coplanaires

SiM?(ABC), il existe deux réelsxetytels que le couple(x;y)soit les coordonnées deM dans le repère?

A,--→AB;-→AC?

. On a donc :--→AM=x--→AB+y-→AC.

Réciproquement, si

--→AM=x--→AB+y-→AC, on noteNle point du plan(ABC)de coordonnées (x;y)dans le repère?

A,--→AB;-→AC?

. On a donc :--→AN=x--→AB+y-→ACet, par suite--→AN=--→AM. Les pointsMetNsont donc confondus. D"oùM?(ABC).

Remarque :On peut donc définir un plan par la donnée d"un pointAet de deux vecteurs-→uet-→vnon

colinéaires . On dit alors que-→uet-→vsont lesv ecteursdirecteurs du plan.

3.2 Vecteurs coplanairesDéfinitions :1.On d itque quatr ep ointsA,B,CetDde l"espace sontcopl anairess"ils son tdans u n

même plan. 2. Soit -→u,-→vet-→wtrois vecteurs de l"espace.

Il existe quatre pointsA,B,CetDde l"espace tels que-→u=--→AB,-→v=-→ACet-→w=--→AD.

On dit que les vecteurs-→u,-→vet-→wsontcoplanaires si et seulemen tsi les quatre p ointsA,B,Cet

Dle sont.Remarques :1.Deux v ecteurs(ou trois p oints)son ttoujour scoplanaire s. 2.

Si les v ecteurs--→ABet--→CDsontcol inéaires, les droites(AB)et(CD)sont parallèles et, donc, les points

A,B,CetDsontcoplanaire s. Par suite, si deux vecteurs-→uet-→vsontcolinéaire s, les vecteurs-→u,-→vet-→wsonttoujours c oplanaires.Théorème :1.Soit -→u,-→vet-→wtrois vecteurs de l"espace, tels que-→uet-→vne soient pas colinéaires.

Alors, les vecteurs-→u,-→vet-→wsontcoplanaires si e tseulemen tsi il existe deux réels aetbtels

que :-→w=a-→u+b-→v 2. Soit A,B,CetDquatre points de l"espace, tels queA,BetCne soient pas alignés. Alors, les pointsA,B,CetDsontcoplanaires si et seulemen tsi il existe deux réels aetbtels que :--→AD=a--→AB+b--→ADDémonstration:

Il faut d"abord remarquer que le 2. n"est qu"une application du 1. aux vecteurs-→u=--→AB,-→v=-→AC

et-→w=--→AD. Il suffit donc de montrer la première assertion.

On pose-→u=--→AB,-→v=-→ACet-→w=--→AD. Comme-→uet-→vne sont pas colinéaires, les pointsA,

BetCforment un plan.

D"après

3.1 ,D?(ABC)si et seulement si il existe deux réelsaetbtels que :--→AD=a--→AB+b--→AD.

Par suite, les vecteurs-→u,-→vet-→wsont coplanaires si et seulement si il existe deux réelsaetb

tels que-→w=a-→u+b-→v. Exercices :3, 4, 5 page 296; 62, 63 page 308 et 64 page 3096[TransMath]

4 Repérage dans l"Espace

4.1 Définition - CoordonnéesDéfinition :On appellerep èrede l"Esp acetout quadruplet ?

O;-→ı;-→?;-→k?

oùOest un point de l"Espace et où -→ı,-→?et-→ksont trois vecteursnon coplanaires .

Si les vecteurs

-→ı,-→?et-→ksont deux à deuxorthogonaux , le repère est ditorthogonal .

Si, de plus, les vecteurs sont

unitai res

( ?-→ı?=?-→??=???-→k???= 1), on dit que le repère estorthonormal .6. Coplanarité.

7

4.2 Calcul sur les coordonnées 4 REPÉRAGE DANS L"ESPACE

Remarque :Le triplet?-→ı;-→?;-→k? est appelé base de v ecteurs de l"Espace. Théorème :Soit?

O;-→ı;-→?;-→k?

un repère de l"Espace. 1.

Soit Mun point de l"Espace.

Il existe un unique triplet(x;y;z)tel que--→OM=x-→ı+y-→?+z-→k(voir figure7 ).

Ce triplet est appelé

co ordonnées de M. On noteM(x;y;z). 2. Soit -→uun vecteur de l"Espace.

Il existe un unique pointMtel que-→u=--→OM. On appelle coordonnées du vecteur-→ules coordonnées

de ce pointM. Par conséquent : Il existe un unique triplet(a;b;c)tel que-→u=a-→ı+b-→?+c-→k.

Ce triplet est appelé

co ordonnées de -→u. On note-→u( (a b c) .Figure7 - Coordonnées dans un repère de l"Espace

Démonstration (partielle) :

On note(P)le plan passant parOet de vecteurs directeurs-→ıet-→?.

Comme-→ı,-→?et-→kne sont pas coplanaires, la droite passant parMet de vecteur directeur-→k

coupe le plan(P)en un point notéM?. On a donc :--→OM=---→OM?+---→M?M. Comme---→M?Met-→ksont colinéaires, il existe un réelztel que---→M?M=z-→k. CommeM??(P), d"après3.1 , on a---→OM?=x-→ı+y-→?. On obtient donc :--→OM=x-→ı+y-→?+z-→k.

L"unicité de cette écriture est admise.

Remarques :1.xest appeléabscisse ,yest appeléordonnée et zest appelécote . 2.

On vien ten fait de v oirque tout v ecteurp eutse d écomposerd emanière unique en fonction de trois

vecteurs non coplanaires.

4.2 Calcul sur les coordonnées

Les résultats sont identiques à ceux du plan.

On a, par exemple :

Si A(xA;yA;zA)et siB(xB;yB;zB)alors :

les co ordonnéesdu v ecteur --→ABsont :--→AB( (x B-xA y B-yA z B-zA) les co ordonnéesdu milieu Idu segment[AB]sont :I?xA+xB2 ;yA+yB2 ;zA+zB2 Si -→u( (a b c) et si-→v( (a? b c alors : 8 RÉFÉRENCES 4.3 Colinéarité, coplanarité les co ordonnéesde -→u+-→vsont :-→u+-→v( (a+a? b+b? c+c?) Si kest un réel, les coordonnées du vecteurk-→usont :k-→u( (k×a k×b k×c)

On se p lacedans un rep ère

O;-→ı;-→?;-→k?

orthonormal

Si le v ecteur

-→ua comme coordonnées( (a b c) , alors sa norme est : -→u?=?a

2+b2+c2

Si A(xA;yA;zA)et siB(xB;yB;zB)alors :

AB=???--→AB???=?(xB-xA)2+ (yB-yA)2+ (zB-zA)2

Exercices :46, 77, 78, 80, 81 page 3097- 82, 83 page 3108[TransMath]

4.3 Colinéarité, coplanaritéMéthode :-Deux v ecteurs-→uet-→vnon nuls sontcoliné airessi et seule mentsi il existe un réel ktel

que-→u=k-→v.

T roisv ecteurs-→u,-→vet-→w(tels que-→uet-→vnon colinéaires) sontcoplanaires si et se ulementsi il

existe deux réelsaetbtels que-→w=a-→u+b-→v.

Il s"agit donc, grâce aux coordonnées des vecteurs, de trouver ces réels pour montrer la colinéarité ou

la coplanarité.Remarque :Dans l"Espace, il n"existe pas, au niveau de la classe de Terminale S, de propriété simple

équivalente à celle des " produits en croix » de coordonnées pour des vecteurs colinéaires du plan.

Exercices :53, 54, 56, 57, 59 page 3099- 30 page 30210- 6, 8, 9, 10, 11, 13, 15 page 298 et 70, 73 page

309

11- 98, 100, 101 page 311 et 102 page 31212

Références

[TransMath] transMA THT ermS, p rogramme2012 ( Nathan) 5 6 7

9 7. Distances dans l"Espace.

8. Plan médiateur.

9. Colinéarité, applications.

10. Droites sécantes.

11. Coplanarité.

12. Positions relatives de droites et de plans.

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