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Calcul vectoriel (M-3.1)

I. Les vecteurs

Vecteurs du planVecteurs de l'espace

Base du plan : une base des vecteurs du plan est un couple de vecteurs (⃗i;⃗j) tel que les vecteurs ne soient pas colinéaires. (i.e. ⃗i≠⃗0, ⃗j≠⃗0 et les vecteurs ⃗i et ⃗j n'ont pas la même direction).

Une base

(⃗i;⃗j) est orthogonale si les vecteurs ⃗i et ⃗j sont orthogonaux.

Une base

(⃗i;⃗j) est orthonormale si elle est orthogonale et si

Coordonnées d'un vecteur dans une base : soit

(⃗i;⃗j) une base de vecteurs du plan. Pour tout vecteur du plan il existe un unique couple de réels (x;y)tel que ⃗v=x⃗i+y⃗j

Pour tout couple de réels

(x;y), il existe un unique vecteur ⃗v du plan tel que ⃗v=x⃗i+y⃗j

On note alors :

⃗v(x y)

Addition de deux vecteurs : soient

⃗u et ⃗v deux vecteurs du plan et le vecteur somme ⃗w=⃗u+⃗v ⃗u(x y) si ⃗v(x' y') et alors ⃗w(x+x' y+y')Exemple : si ⃗u(1

2) et ⃗v(3

-4) alors Multiplication d'un vecteur par un réel : soient ⃗u un vecteur du plan, k un réel, et le vecteur ⃗w=k⃗u si ⃗u(x y) alors ⃗w(kx ky)Exemples : si ⃗u(1

2) alors 3⃗uColinéarité de deux vecteurs : deux vecteurs

⃗u et ⃗v du plan sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que ⃗u=k⃗v ou un réel k' tel que ⃗v=k'⃗uRemarque : si k≠0 on a k'=1 k

Le vecteur nul

⃗0 est colinéaire à tout vecteur du plan. Remarque : deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction.

Critère de colinéarité :

⃗u(x y) et ⃗v(x' y') sont colinéaires si et seulement si xy'-x'y=0Base de l'espace : une base des vecteurs de l'espace est un triplet de vecteurs (⃗i;⃗j;⃗k) tel que les vecteurs ne soient pas coplanaires (i.e. ⃗i≠⃗0, ⃗j≠⃗0, ⃗k≠⃗0 et leurs directions ne peuvent pas être contenues dans un même plan)

Une base

(⃗i;⃗j;⃗k) est orthogonale si les vecteurs ⃗i et ⃗j, ⃗j et ⃗k, ⃗i et ⃗k sont orthogonaux.

Une base

(⃗i;⃗j;⃗k) est orthonormale si elle est orthogonale et si

∥⃗i∥=∥⃗j∥=∥⃗k∥=1Coordonnées d'un vecteur dans une base : soit

(⃗i;⃗j;⃗k) une base de vecteurs de l'espace. Pour tout vecteur de l'espace il existe un unique triplet de réels (x;y;z) tel que ⃗v=x⃗i+y⃗j+z⃗k

Pour tout couple de réels

(x;y;z), il existe un unique vecteur ⃗v du plan tel que ⃗v=x⃗i+y⃗j+z⃗kOn note alors : ⃗v(x y z)

Addition de deux vecteurs : soient

⃗u et ⃗v deux vecteurs de l'espace et le vecteur somme ⃗w=⃗u+⃗v si ⃗u(x y z) et ⃗v(x' y' z') alors ⃗w(x+x' y+y' z+z')Multiplication d'un vecteur par un réel :soient ⃗u un vecteur de l'espace, k un réel, et le vecteur ⃗w=k⃗u si ⃗u(x y z) alors ⃗w(kx ky kz)Exemples : si ⃗u(1 2

3) alors 3⃗u

Colinéarité de deux vecteurs : deux vecteurs ⃗u et ⃗v de l'espace sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que ⃗u=k⃗v ou un réel k' tel que ⃗v=k'⃗uRemarque : si k≠0 on a k'=1 k

Le vecteur nul

⃗0 est colinéaire à tout vecteur de l'espace. Critère de colinéarité : deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

BTS CRSA UF3.1

Remarque le nombre xy'-x'y=∣xx'

yy'∣ est appelé déterminant du couple de vecteurs (⃗u;⃗v) dans la base (⃗i;⃗j)Exemple : les vecteurs ⃗u(8

3) et ⃗v(13

5) ...

Norme d'un vecteur : dans une base orthonormale

(⃗i;⃗j) la norme d'un vecteur ⃗u(x y) est donnée par ⃗u(1 2

3) et ⃗v(4

8

13)...

Norme d'un vecteur : dans une base orthonormale

(⃗i;⃗j;⃗k) la norme d'un vecteur ⃗u(x y z) est donnée par

Remarque : un vecteur au sens mathématique du terme, est souvent appelé vecteur libre en sciences physiques.

Points du planPoints de l'espace

Repère du plan : un repère du plan est un triplet (O;⃗i;⃗j) tel que O soit un point du plan (l'origine) et (⃗i;⃗j) une base des vecteurs du plan. Coordonnées d'un point : soit M un point du plan et (x;y) le couple de réels représentant ses coordonnées dans le repère (O;⃗i;⃗j) : M(x;y) ⇔ ⃗OM(x y)Coordonnées du vecteur défini par deux points : si

A(xA;yA) et B(xB;yB) alors ⃗AB(xB-xA

yB-yA)Démonstration : ⃗AB=⃗AO+⃗OB=⃗OB-⃗OADistance entre deux points : si

A(xA;yA) et B(xB;yB) alors

si

A(xA;yA) et B(xB;yB) alors M(xA+xB

2;yA+yB

2)Démonstration :

⃗OM=⃗OA+⃗AM=⃗OA+1

2⃗AB=⃗OA+1

2(⃗AO+⃗OB)=...Repère de l'espace : un repère de l'espace est un quadruplet

(O;⃗i;⃗j;⃗k) tel que O soit un point de l'espace (l'origine) et

A(xA;yA;zA) une base des vecteurs de l'espace.

Coordonnées d'un point : soit M un point de l'espace et (x;y;z) le triplet de réels représentant ses coordonnées dans le repère (O;⃗i;⃗j;⃗k) : M(x;y;z) ⇔ ⃗OM (x y z)Coordonnées du vecteur défini par deux points : si A (xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) alors ⃗AB (xB-xA yB-yA zB-zA)Démonstration :

Distance entre deux points :

si A (xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) alors : AB= Milieu d'un segment : soit M le milieu du segment [AB] si A (xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) alors

M(xA+xB

2;yA+yB

2;zA+zB

2)Remarque : les coordonnées du milieu d'un segment sont

les moyennes des coordonnées des extrémités du segment.

Exemple : Si A(1;2;-3) et B(4;-5;6) alors...

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Point de vue cinématique : on considère un point mobile M(t) dans le repère orthonormé (O;⃗i;⃗j).

Le vecteur position est alors le vecteur

⃗OM(t).

Le vecteur vitesse est le vecteur

⃗v(t)=d ⃗OM(t)dt

La quantité de mouvement d'un point

M(t) de masse m

vecteur vitesse ⃗v(t) est le vecteur ⃗p=m⃗v(t)Le vecteur accélération est le vecteur

Point de vue dynamique : la donnée d'un point et d'un vecteur est appelée vecteur lié. C'est le cas, par exemple, pour un

vecteur force (le point d'application et le vecteur définissant la direction, le sens, et l'intensité de la force)

II. Les barycentres Définition du barycentre de deux points pondérés : soient A et B deux points (du plan ou de l'espace) affectés

respectivement de coefficients réels a et b.

Si a+b≠0 alors le barycentre G du système

{(A;a),(B,b)} est l'unique point tel que a⃗GA+b⃗GB=⃗0Démonstration de l'existence et de l'unicité :

a

⃗GA+b⃗GB=⃗0 ⇔ a⃗GA+b(⃗GA+⃗AB)=⃗0 ⇔ (a+b)⃗GA+b⃗AB=⃗0 ⇔ ⃗AG=b

a+b⃗AB

Exemple : Placer G=Bar

{(A;1);(B;2)}

Placer H=Bar

{(A;3);(B;-1)}Remarque : le barycentre de deux points A et B distincts appartient à la droite (AB).

Point de vue cinématique : le centre d'inertie d'un ensemble de points matériels est le barycentre de ces points affectés de

de leur masse.

Point de vue dynamique : le centre de gravité d'un ensemble de points matériels est le barycentre de ces points affectés de

de leur poids.

Homogénéité du barycentre : soient A et B deux points (du plan ou de l'espace) affectés respectivement de coefficients

réels a et b tels que a+b≠0.

Pour tout réel

k≠0, Bar{(A;a),(B,b)}=Bar{(A;ka),(B,kb)}Exemple :

Bar{(A;3);(B;6)}=...Bar{(A;-3);(B;1)}=...Propriété caractéristique : soient A et B deux points (du plan ou de l'espace) affectés respectivement de coefficients réels

a et b tels que a+b≠0. G=Bar {(A;a);(B;b)} ⇔ pour tout point M (du plan ou de l'espace), (a+b)⃗MG=a⃗MA+b⃗MB

Démonstration :

a⃗GA+b⃗GB=⃗0 ⇔ a(⃗GM+⃗MA)+b(⃗GM+⃗MB)=⃗0 ⇔...

Coordonnées du barycentre deux points pondérés : soient A et B deux points (du plan ou de l'espace) affectés

respectivement de coefficients réels a et b tels que a+b≠0 et G=Bar{(A;a);(B;b)}dans le plan :

G(axA+bxB

a+b;ayA+byB a+b) dans l'espace : G(axA+bxB a+b;ayA+byB a+b;azA+bzB a+b)Démonstration : la propriété caractéristique appliquée au point O donne :

(a+b)⃗OG=a⃗OA+b⃗OBRemarque : les coordonnées du barycentre sont obtenues en effectuant des moyennes pondérées des coordonnées des

points.

Définition du barycentre de trois points pondérés : soient A, B et C trois points (du plan ou de l'espace) affectés

respectivement de coefficients réels a, b et c.

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Si a+b+c≠0 alors le barycentre G du système {(A;a);(B;b);(C;c)} est l'unique point tel que

a⃗GA+b⃗GB+c⃗GC=⃗0Remarque : les propriétés valables pour deux points restent vérifiées pour trois points. En particulier la propriété

caractéristique devient : G=Bar

{(A;a);(B;b);(C;c)} ⇔ pour tout point M, (a+b+c)⃗MG=a⃗MA+b⃗MB+c⃗MC avec a+b+c≠0Application :

Placer

G=Bar{(A;1);(B;2);(C;3)}Placer H=Bar

{(A;1),(B;-2);(C;3)}Coordonnées du barycentre trois points pondérés : soient A, B et C trois points (du plan ou de l'espace) affectés

respectivement de coefficients réels a, b et c tels que a+b+c≠0 et G=Bar{(A;a);(B;b);(C;c)}dans le plan : G (axA+bxB+cxC a+b+c;ayA+byB+cyC a+b+c)dans l'espace :

G(axA+bxB+cxC

a+b+c;ayA+byB+cyC a+b+c;azA+bzB+czC a+b+c)Ces règles sont généralisables pour travailler sur le barycentre de n points du plan ou de l'espace. Dans ce cas il est efficace de pouvoir construire des "barycentres intermédiaires".

Associativité du barycentre : le barycentre de

n points pondérés n'est pas modifié en remplaçant p de ces points par leur barycentre G' affecté de la somme de leur p coefficients.

Remarque : pour que les barycentres existent il faut toujours que la somme des coefficients soit non nulle!

Placer G=Bar

{(A;1);(B;1);(C;1)}Placer H=Bar{(A;1),(B;2);(C;3);(D;4)}III. Le produit scalaire Définition du produit scalaire de deux vecteurs : soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs (du plan ou de l'espace). Le produit scalaire des vecteurs ⃗u et ⃗v est le nombre réel noté ⃗u·⃗v tel que : ⃗u·⃗v=1

2(∥⃗u+⃗v∥2-∥⃗u∥2-∥⃗v∥2)Remarques :

⃗0·⃗u=0

⃗u·⃗u=∥⃗u∥2 on note parfois ⃗u·⃗u=⃗u2 le carré scalaire du vecteur ⃗u

D'après le théorème de Pythagore et sa réciproque : ⃗u et ⃗v sont orthogonaux si et seulement si ⃗u·⃗v=0 u v u v u+v u2=22 v2=32 u+v2=42 u.v=42-22-32

2=1.5 BTS CRSA UF3.1

Point de vue cinématique et dynamique :

Le travail (une énergie) d'une force constante ⃗F sur le trajet [AB] est donné par le réel W=⃗F.⃗AB

La puissance (dérivée temporelle de l'énergie) d'une force ⃗F s'appliquant sur un point mobile ayant pour vecteur vitesse ⃗v est donnée par le réel P=⃗F.⃗vPropriété du cosinus : soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs non nuls (du plan ou de l'espace) et l'angle θ= (⃗u;⃗v) [2π] :

⃗u·⃗v=∥⃗u∥×∥⃗v∥×cos(θ)Remarque : cette relation peut permettre de déterminer l'angle géométrique

entre deux vecteurs connaissant leur norme et leur produit scalaire : cos(θ)=⃗u·⃗v ∥⃗u∥×∥⃗v∥Exemple : si Propriété du projeté orthogonal : soient A, B , C et D quatre points du plan ou de l'espace. On considère les points C' et D' projetés orthogonaux des points C et D sur la droite (AB), alors : ⃗AB et ⃗C'D' ont le même sens : ⃗AB·⃗CD=AB×C'D'si ⃗AB et ⃗C'D' sont de sens contraire:

⃗AB·⃗CD=-AB×C'D'Remarque : on retrouve ici la notion de travail moteur ou résistant.

Produit scalaire et coordonnées : le plan ou l'espace étant munis d'une base orthonormée. si ⃗u(x y) et ⃗v(x' y') alors ⃗u·⃗v=xx'+yy'si ⃗u(x y z) et ⃗v(x' y' z') alors ⃗u·⃗v=xx'+yy'+zz'

Remarque : dans une base orthonormale

(⃗i;⃗j;⃗k), l'abscisse du vecteur ⃗u est ⃗u·⃗i.

Opérations sur le produit scalaire : soient

⃗u, ⃗v et ⃗w trois vecteurs (du plan ou de l'espace) et k un réel. symétrie : ⃗u·⃗v=⃗v·⃗uhomogénéité : (k⃗u)·⃗v=k×(⃗u·⃗v)additivité :

Remarque : on dit que le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique. Dans la pratique on peut assimiler ces

règles à une forme de distributivité. III. Le produit vectorielLe cadre d'application du produit vectoriel est l'espace.

Une base de l'espace

(⃗i;⃗j;⃗k) est dite directe s'il elle vérifie l'une des trois règles équivalentes suivantes :

Règle de "la main droite"Règle du "bonhomme d'Ampère"Règle du "tire-bouchon"

Remarque : dans ce cas, la base

(⃗j;⃗i;⃗k) est de sens indirect.

BTS CRSA UF3.1

u v u vu.v=2´3´cos(p 3)=3 Définition du produit vectoriel : soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs de l'espace.

Le produit vectoriel des vecteurs

⃗u et ⃗v est le vecteur ⃗w=⃗u∧⃗v tel que : si ⃗u et ⃗v sont colinéaires : ⃗w=⃗0si ⃗u et ⃗v ne sont pas colinéaires, {le vecteur ⃗west orthogonal à⃗u le vecteur ⃗west orthogonal à⃗v la base (⃗u;⃗v;⃗w)est directe

∥⃗w∥=∥⃗u∥×∥⃗v∥×∣sin(⃗u;⃗v)∣Remarque : le vecteur nul

⃗0 étant colinéaire à tout vecteur, on a : ⃗0∧⃗u=⃗0 Point de vue cinématique : le moment cinétique d'un point mobile M (t) ayant une quantité de mouvement ⃗p, évalué en O est le vecteur :

⃗M0(M(t))=⃗OM∧⃗pLe moment dynamique (ou moment des quantités d'accélération) est la dérivée temporelle du moment cinétique.

Point de vue dynamique : le moment d'une force

⃗F appliquée sur un point M, évalué en O est le vecteur ⃗M0(⃗F)=⃗OM∧⃗F

Produit vectoriel et colinéarité : soient

⃗u et ⃗v deux vecteurs de l'espace. ⃗u∧⃗v=⃗0 si et seulement si ⃗u et ⃗v sont colinéaires

Produit vectoriel et projection orthogonale :

Soient A, B, C et D quatre points de l'espace inclus dans un même plan. On considère les points C' et D' projetés orthogonaux des points C et D sur la droite perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point A.

Alors :

Aire d'un triangle : soit ABC un triangle et AABC son aire.

AABC=1

2 ∥⃗AB∧⃗AC∥ Aire d'un parallélogramme : soit ABCD un parallélogramme et AABCD son aire.

AABCD=∥⃗AB∧⃗AD∥

Opérations sur le produit vectoriel : soient

⃗u, ⃗v et ⃗w trois vecteurs de l'espace et k un réel.

Antisymétrie :

Homogénéité :

(k⃗u)∧⃗v=k(⃗u∧⃗v)Additivité : Produit scalaire et coordonnées : l'espace est muni d'une base orthonormale directe (⃗i;⃗j;⃗k). Si ⃗u(x y z) et ⃗v(x' y' z') alors ⃗u∧⃗v(yz'-zy' zx'-xz'

xy'-yx')Remarque : une méthode permet de minimiser le risque d'erreur dans les permutations des coordonnées.

En ajoutant deux les premières

composantes de chaque vecteur pour créer la matrice ci-contre, on calcule les déterminants successifs : (xx' yy' zz' xx' yy' ) x x' ∣yy' zz'∣=x⃗u∧⃗vquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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