[PDF] Calcul vectoriel barycentres

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Calcul vectoriel, barycentres

Plan :

ICalcul vectoriel dans l"espace

IIBarycentres

1)Barycentre de deux points

2)Barycentre de trois points

IIIBarycentre denpoints

I Calcul vectorieldans l"espace

1 Comme dansle plan

Définition :

Un vecteur-→ude l"espace est défini par sa direction, son sens et sa norme; il caractérise une translation.

Étant donnés un vecteur-→ude l"espace et un pointA, il existe un unique pointBde l"espace tel que-→AB=-→u.

Égalité vectorielle

Remarque :

On a aussi une "version soustractive» de la relation de Chasles : Pour tous pointsA,BetC, on a :-→BC=-→AC--→AB

Règle du parallélogramme :Pour trois points de l"espace,-→AB+-→AC=--→ADoùDest le quatrième sommet du

parallélogrammeABCD.

Définitions :

Le vecteur nul, noté-→O, correspond à la tranlation"Identité», qui laisse invariants tous les points.

Par analogie avec les nombres, on note-→BA=--→AB(car la relation de Chasles donne-→AB+-→BA=-→0 )

Relation de Chasles:

Soient trois points de l"espace : on définit une addition sur les vecteurs par la relation :-→AB+-→BC=-→AC.

Multiplication d"un vecteurpar un réel :

Soit-→uun vecteur non nul et soitkun réel. Le vecteurk-→ua la même direction que-→u, même sens si

k>0 et un sens contraire sik<0 et une norme égale à|k|×||-→u||. (||k-→u||=|k|.||-→u||)

1

Propriétésalgébriques:

Soient-→uet-→vdeux vecteursquelconquesde l"espace etk etk?deux réels quelconques, on a :

•(k+k?)-→u=k-→u+k?-→u;

•(k×k?)-→u=k(k?-→u) :

•k-→u=-→0?k=0 ou-→u=-→0

Coordonnées d"un point et d"un vecteur:

On définit un repère dans l"espace en prenant trois axes sécants enOet tels que qu"aucun des axes n"est dans le

plan formé par les deux autres.

Le plus facile est de les prendre orthogonaux.

Sur chacun des axes, on définit une unité par les vecteurs-→i,-→jet-→k.

Pour tout pointMde l"espace, il existe trois nombres uniquesxM,yMetzMtels que--→OM=xM-→i+yM-→j+zM-→k.

O;-→i;-→j;-→k?

.Onécrit:M(xM;yM;zM). Soient deux pointsA(xA;yA;zA) etB(xB;yB;zB). Alors, les coordonnées du vecteur-→ABsont : AB((x B-xA y B-yA z

B-zA))

Cela vient de ce que

-→AB=--→OB---→OA.

Dans le plan, on a que deux coordonnées.

Vecteurscolinéaires

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si,ils ont même direction.

Cela s"écrit aussi :-→uet-→vsont colinéaires si, et seulement si, il existek?Rtel que-→v=k-→u.

Vecteurdirecteur d"une droite

Une droiteDa pour vecteur directeur-→unon nul si-→uetDont même direction.

2 Uniquement dans l"espace :

Vecteurscoplanaires :

Définition :

Trois vecteurs-→u,-→vet-→wsont coplanaires si les points A, B, C et D tels que-→u=-→AB,-→ACet-→w=--→ADsont copla-

naires (c"est-à-dire dans un même plan).

Propriété :

Troisvecteurs de l"espace sont coplanairessi l"un d"entreeux s"exprime en fonction des deux autres :-→u,-→vet-→wsont coplanaires si, et seulement si,-→uet-→vsont colinéaires ou il existe deux réelsaetbtels que-→w=a-→u+b-→v.

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3Exercices

Exercice 1ABCDetABEFsont deux parallélogrammes.Démontrer queCDFGest un parallélogramme.

Exercice 2ABCDest un quadrilatère quelconque dont les diagonales se coupent enO. Les points I,J,KetL

sont les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].

1) a) Faire une figure.

b) Démontrer que -→AC=2-→I J.

En déduire la nature du quadrilatèreI JKL.

2) i. Construireles pointsI?,J?,K?etL?tels que :

•--→OI?=--→OA+--→OB.

•--→OJ?=--→OB+--→OC.

•--→OK?=--→OC+--→OD.

•--→OL?=--→OD+--→OA.

ii. Quelle est la nature du quadrilatèreI?J?K?L?? Exercice 3 On considère un triangleABCet les pointsIetJtels que-→AI=1

3-→ABet-→AJ=3-→AC.

Démontrer que

BJ=3-→IC.

Que peut-on en déduire pour les droites (BJ) et (IC)? Exercice 4 SoitABCDun quadrilatère. Placer les pointsMetNtels que--→BM=1

2-→ABet--→AN=3--→AD.

(a) Montrer que; --→CM=-→CB+1 (b) On suppose maintenant queABCDest un parallélogramme.Montrer que--→NC=2--→CM.

Qu"en déduit-on pour les pointsM,NetC?

II Barycentres

1 Point pondéré

Définition :

•On appelle point pondéré tout couple (A;α) oùAest un point de l"espace etαun nombre réel.

•Soitnun entier naturel avecn?2. L"ensembleS={(A1;α1) ;···(An;αn)} est appelé système den

points pondérés. •On appelle masse du systèmeSle nombrem=α1+···+αn.

2Barycentre de deux points

SoitS={(A;α) ; (B;β)} un système de deux points pondérés.

Théorème et définition :

•Sim=α+β=0, pour tout pointG, la somme vectorielleα--→GA+β--→GBest égale à un vecteur constant.

•Sim=α+β?=0, il existe un unique pointGtel queα--→GA+β--→GB=-→0 .

Gest appelé le barycentre du systèmeS={(A;α) ; (B;β)};m=α+βest la masse du barycentreG.

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Démonstration :

•On suppose queα+β=0; alors, pour tout pointG,α--→GA+β--→GB=α--→GA+β?--→GA+-→AB?

=(α+β)--→GA+β-→AB= 0. --→GA+β-→AB=β-→AB . (vecteur constant)

α+β-→AB.

Cette égalité détermineGde manière unique et donne son existence.

Propriété :

Soit un systèmeS={(A;α) ; (B;β)} de barycentreG(doncα+β?=0). 1. Commutativité :Gest aussi le barycentre du système {(B;β) ; (A;α)}. 2. Homogénéité:Pour tout réelk?=0,G=Bar{(A;kα) ; (B;kβ)}

Démonstration :

1.Gest le barycentre de {(A;α) ; (B;β)} doncα--→GA+β--→GB=-→0?β--→GB+α--→GA=-→0 doncGest le barycentre

de {(B;β) ; (A;α)}.

2.kétant non nul, on a :α--→GA+β--→GB=-→0?k×α--→GA+k×β--→GB=k×-→0?(kα)--→GA+(kβ)--→GB=-→0 et donc,G

est le barycentre du système {(A;kα) ; (B;kβ)}.

Théorème:

SoitGle barycentre d"un systèmeS={(A;α) ; (B;β)}.

Alors :

-→AG=β

On en déduit queGappartientà la droite (AB)

Ces deux formules équivalentes permettent de trouver la positiondeG.

Démonstration :

On a déjà vu la première partie (basée sur la relation de Chasles). La deuxième partie se démontre de manière

analogue.

Définition :

Siα=β(?=0), le barycentre du système {(A;α) ; (B;β)} est appeléisobarycentrede {(A;α) ; (B;β)}.

D"après la propriétéd"homogénéité, c"est aussi l" isobarycentre de {(A; 1) ; (B; 1)}.

On a alors :

-→AG=1

2-→ABdonc l"isobarycentre de {(A;α) ; (B;β)} est le milieu du segment [AB].

3 Propriété (fondamentale)

Soit {(A;α) ; (B;β)} unsystème de pointspondérésavecα+β?=0 et soitGlebarycentre de ce système.

Alors, pour tout pointM, on a :α--→MA+β--→MB=(α+β)--→MG

Démonstration :

On utilise la relation de Chasles :

+β?--→MG+--→GB?

=(α+β)--→MG+α--→GA+β--→GB=(α+β)--→MGcar, par définitiondu bary-

centreG, (α+β)--→MG=-→0 . Cette propriété fondamentalepermet de retrouver toutes les formules! Utilisation:(il suffit de choisir le pointMadéquat)

1. En prenantM=A, on trouve :β-→AB=(α+β)-→AGd"où-→AG=β

α+β-→AB

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2. En prenant :M=B: on retrouve--→BG=αα+β-→BA

3. En prenantM=G, on retrouve :α--→GA+β--→GB=-→0

4. En prenantM=O, origined"un repère : on obtient :--→OG=1

α--→OA+β--→OB?

On en déduit les relations sur les coordonnées; x

G=αxA+βxB

En effet :--→OA=xA-→i+yA-→j+zA-→ket--→OB=xB-→i+yB-→j+zB-→k.

III Barycentre de trois points

Théorème et définition:

SoitS={(A;α) ; (B;β) ; (C;γ)} un système de trois points pondérés.

•Sim=α+β+γ=0, pour tout pointG, la sommeα--→GA+β--→GB+γ--→GCest un vecteur constant.

•Sim=α+β+γ?=0, il existe un unique pointGtel que :α--→GA+β--→GB+γ--→GC=-→0 .

Démonstration :

•On supposem=α+β+γ=0; alors, pour toutG,α--→GA+β--→GB+γ--→GC=α--→GA+β?--→GA+-→AB?

+γ?--→GA+-→AC?

(α+β+γ)--→GA+β-→AB+γ-→AC=β-→AB+γ-→ACqui est un vecteur constant.

•On supposem=α+β+γ?=0.

Alors :α--→GA+β--→GB+γ--→GC=-→0??α+β+γ?--→GA+β-→AB+γ-→AC=-→0?-→AG=β

α+β+γ-→AB+γα+β+γ-→AC, ce qui définitGde manière unique. Les propriétés de commutativitéet d"homogénéitésont conservées.

Propriété fondamentale

On supposem=α+β+γ?=0.

Alors, pour toutM,α--→MA+β--→MB+γ--→MC=(α+β+γ)--→MG. Remarque : cela revient à concentrer toute la masse surG. Démonstration :on utilise la relation de Chasles. Pour toutM,α--→MA+β--→MB+γ--→MC=α?--→MG+--→GA? +β?--→MG+--→GB? +γ?--→MG+--→GC?

--→GC=(α+β+γ)--→MGcarα--→GA+β--→GB+γ--→GC=-→0 (par définitiondeG).

Théorèmed"associativité

SoitS={(A;α) ; (B;β) ; (C;γ)} un système de trois points pondérés, de masse non nulle et de barycentreG.

Siα+β?=0 et siKest le barycentre du système {(A;α) ; (B;β)}, alorsGest le barycentre de {(K;α+β) ; (C;γ)}

Démonstration :

α--→GA+β--→GB+γ--→GC=-→0?(α+β)--→GK+γ--→GC=-→0 doncGest le barycentre de {(K;α+β) ; (C;γ)}.

Exemple :trouvons l"isobarycentre d"un triangle(centre de gravité). NotonsIle milieu de [BC]; alorsGest le barycentre de {(I; 2) ; (A; 1). On en déduit-→AG=2

3-→AI.

On retrouve queGest sur la médiane [AI] et aux deux tiers de celle-ci en partant du sommet.

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