[PDF] LES SUITES (Partie 2) Yvan Monka – Académie de

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LES SUITES - Chapitre 2/2

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/MJv7_pkFcdA

Partie 1 : Limites et comparaison

1) Théorèmes de comparaison

Théorème 1 :

Soit deux suites (í µ

) et (í µ

Si, à partir d'un certain rang, on a í±£

lim alors lim Par abus de langage, on pourrait dire que la suite (í µ ) pousse la suite (í µ ) vers +∞ à partir d'un certain rang.

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/qIBlhdofYFI

Soit un nombre réel í µ.

- lim =+∞, donc l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note í µ

On a donc pour tout í µâ‰¥í µ

- A partir d'un certain rang, que l'on note í µ , on a í µ - Ainsi pour tout í µâ‰¥max(í µ ), on a : í µ<í µ

On en déduit que l'intervalle

contient tous les termes de la suite (í µ ) à partir du rang max(í µ

Et donc lim

Théorème 2 :

Soit deux suites (í µ

) et (í µ

Si, à partir d'un certain rang, on a : í±£

lim alors lim 2 Méthode : Déterminer une limite par comparaison

Vidéo https://youtu.be/iQhh46LupN4

Déterminer la limite suivante : lim

-1

Correction

On a :

-1 ≥-1 donc : -1 -1

Or, lim

-1=+∞, donc par comparaison, lim -1

2) Théorème d'encadrement

Théorème des gendarmes :

Soit trois suites (í µ

) et lim lim alors lim Par abus de langage, on pourrait dire que les suites (í µ ) et (í µ ) (les gendarmes) se resserrent autour de la suite (í µ ) à partir d'un certain rang pour la faire converger vers la même limite. Ce théorème est également appelé le théorème du sandwich.

Démonstration :

Soit un intervalle ouvert í µ contenant í µ. - lim =í µ, donc l'intervalle I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note í µ - lim =í µ, donc l'intervalle I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note í µ 3 - A partir d'un certain rang, que l'on note í µ , on a í µ - Ainsi pour tout í µâ‰¥max(í µ ), l'intervalle í µ contient tous les termes de la suite

Et donc lim

Méthode : Déterminer une limite par encadrement

Vidéo https://youtu.be/OdzYjz_vQbw

Déterminer la limite suivante : lim

1+

Correction

1 siní µ 1

Or : lim

1 =lim 1 =0 donc d'après le théorème des gendarmes : lim siní µ =0

Et donc lim

1+ =1. Remarque : On utilise le théorème de comparaison pour démontrer une limite infinie et le théorème d'encadrement pour une limite finie. Partie 2 : Suites majorées, minorées, bornées

1) Définitions :

Définitions :

- La suite (í µ ) est majorée s'il existe un réel í µ tel que pour tout entier naturel í µ, on a : - La suite (í µ ) est minorée s'il existe un réel í µ tel que pour tout entier naturel í µ, on a : - La suite (í µ ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemples :

- Les suites de terme général cosí µ ou -1 sont bornées car minorées par -1 et majorées par 1. - La suite de terme général í µ est minorée par 0. Mais elle n'est pas majorée. Méthode : Démontrer qu'une suite est majorée ou minorée

Vidéo https://youtu.be/F1u_BVwiW8E

On considère la suite (í µ

) définie pour tout entier naturel í µ par í µ +2 et í µ =2. Démontrer par récurrence que la suite (í µ ) est majorée par 3. 4

Correction

• Initialisation : =2<3

La propriété est donc vraie pour í µ=0.

• Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier í µ tel que la propriété soit vraie : í µ <3. - Démontrons que : La propriété est vraie au rang í µ+1 : í µ <3.

On a : í µ

<3

Donc :

×3 +2<

×3+2

Soit : í µ

<3 • Conclusion :

La propriété est vraie pour í µ=0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de

récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel í µ, soit : í µ <3.

2) Convergence des suites monotones

Propriété : Si une suite est croissante et admet pour limite í µ, alors elle est majorée par í µ.

Démonstration par l'absurde :

Démontrons par l'absurde en supposant le contraire, soit : " Il existe un rang p, tel que í µ - L'intervalle ouvert Jí µ-1;í µ

K contient í µ.

Or, par hypothèse, lim

=í µ. Donc l'intervalle Jí µ-1;í µ

K contient tous les termes de la

suite (í µ ) à partir d'un certain rang (1). - Comme (í µ ) est croissante : í µ pour í µ>í µ.

Donc si í µ>í µ, alors í µ

∉Jí µ-1;í µ K (2).

(1) et (2) sont contradictoires, on en déduit qu'il n'existe pas í µâˆˆâ„•, tel que í µ

Et donc la suite (í µ

) est majorée par í µ.

Théorème de convergence monotone :

- Si une suite est croissante et majorée alors elle est convergente. - Si une suite est décroissante et minorée alors elle est convergente. - Admis -

Remarque :

Ce théorème permet de s'assurer de la convergence mais ne donne pas la limite. 5 Dans l'exemple ci-dessous, la suite est décroissante et minorée par 2. Cela prouve que la

limite de la suite est supérieure à 2 mais n'est pas nécessairement égale à 2. Elle peut être

égale à 4 !

Méthode : Utiliser le théorème de convergence monotone

Vidéo https://youtu.be/gO-MQUlBAfo

On considère la suite (í µ

) définie pour tout entier naturel í µ par í µ +2 et í µ =2.

Démontrer que la suite (í µ

) est convergente.

Correction

On a démontré dans le chapitre " LES SUITES - Chapitre 1/2 Partie 1 » que la suite (í µ ) est croissante. On a démontré dans la méthode précédente que la suite (í µ ) est majorée par 3.

La suite (í µ

) est donc croissante et majorée, d'après le théorème de convergence monotone, on en déduit que la suite (í µ ) est convergente.

Corollaire :

1) Si une suite est croissante et non majorée alors elle tend vers +∞.

2) Si une suite est décroissante et non minorée alors elle tend vers -∞.

Démonstration (du 1) au programme :

Vidéo https://youtu.be/rttQIYOKCRQ

Soit un réel í µ.

Comme (í µ

) n'est pas majorée, il existe un entier í µ tel que í µ

La suite (í µ

) est croissante donc pour tout í µ>í µ, on a : í µ

Donc pour tout í µ>í µ, on a : í µ

Et donc à partir d'un certain rang í µ, tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle

On en déduit que lim

6 Partie 3 : Comportement à l'infini d'une suite géométrique

1) Rappel

Propriété : Soit (í µ

) une suite géométrique de raison í µ et de premier terme í µ

Alors, pour tout entier í µ, on a :

(forme de récurrence) (forme explicite).

Exemple : Soit (í µ

) une suite géométrique de raison -3 et de premier terme 5.

On a : í µ

=-3í µ et í µ =5× -3

2) Limites

lim

Pas de limite

0 1 Démonstration au programme dans le cas í µ>1 :

Vidéo https://youtu.be/aSBGk_GEEew

Prérequis : Pour tout entier naturel í µ, on a :

1+í µ

≥1+í µí µ (inégalité de Bernoulli), démontrée dans le chapitre " LES SUITES (Partie 1) Paragraphe I. ».quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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