LIMITES DE SUITES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. LIMITES DE SUITES. I. Limite d'une suite géométrique. 1) Suite (qn).
LES SUITES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. LES SUITES Limite d'une suite géométrique : ... Limites et comparaison.
LIMITES DES FONCTIONS
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. LIMITES DES FONCTIONS. I. Limite d'une fonction à l'infini. 1) Limite finie à l'infini.
LES SUITES (Partie 1)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. LES SUITES (Partie 1). I. Limite d'une suite. 1) Limite infinie. Exemple :.
SUITES ( )3 ( ) ( ) ( ) ( )
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SUITES. I. Suites géométriques Méthode : Utiliser la limite d'une suite géométrique.
LES SUITES (Partie 2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. LES SUITES (Partie 2) Démontrer que la suite (un) est convergente et calculer sa limite.
LES SUITES (Partie 1)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Définitions : - On dit que la suite (un) admet pour limite +? si tout intervalle ] ...
LES SUITES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Définitions : - On dit que la suite (un) admet pour limite +? si tout intervalle ] ...
LES SUITES (Partie 2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. LES SUITES (Partie 2). I. Limites et comparaison. 1) Théorèmes de comparaison. Théorème 1 :.
FONCTION EXPONENTIELLE
e4x?1 ?1. Page 7. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 7. L'ensemble des solutions est l'intervalle . IV. Limites et croissances
LIMITES DE SUITES - maths et tiques
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 LIMITES DE SUITES I Limite d'une suite géométrique 1) Suite (q n) q 0
LES SUITES (Partie 2) - maths et tiques
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques Méthode : Utiliser la limite d'une suite géométrique Vidéo https://youtu be/XTftGHfnYMw Déterminer les limites suivantes : 0) lim #?*+ (?2)# 3 # # ^) lim #?*+ 2?3 _) lim #?*+ 1+ 1 2 +‘ 1 2 a; +‘ 1 2 a A +?+‘ 1 2 a #
Images
La suite ( ) définie pour tout par = a pour limite +? On a par exemple : = 100 = 10000 = 1000 = 1 000 000 Les termes de la suite deviennent aussi grands que l'on veut à partir d'un certain rang Remarque : Pour une limite égale à ?? on note : lim = ??
SUITES - maths et tiques
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 2) Limite d'une somme n lim n?+? u = L L n lim n?+? v = L' +? lim (n n) n u v ?+? + = L + L' +? Exemple : lim 4 3(n) n?+? + ? On a lim n?+? 4n =+? donc lim 4 3(n) n?+? + =+? 3) Limite d'un produit n lim n?+? u = L L > 0 L < 0 n lim n?+?
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Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 7 b) lim "?’" 1?2 ?3 = ? K lim "?’" 1?2&=1?2×3=?5 lim "?’" &?3=0& Une limite de la forme « ) # » est égale à « ? » Donc d’après la règle des signes une limite de la forme « *) #! » est égale à « +? » D’où comme limite d'un
LES SUITES (Partie 2)
I. Limites et comparaison
1) Théorèmes de comparaison
Théorème 1 :
Soit (u
n ) et (v n ) deux suites définies sur â„•.Si, à partir d'un certain rang, í µ
et lim =+∞ alors lim Par abus de langage, on pourrait dire que la suite (u n ) pousse la suite (v n ) vers +∞ à partir d'un certain rang.Démonstration au programme :
Soit un nombre réel a.
- lim =+∞, donc l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 1On a donc pour tout í µâ‰¥í µ
6 - A partir d'un certain rang, que l'on note n 2 , on a í µ - Ainsi pour tout í µâ‰¥max(í µ 6 ), on a : í µ<í µOn en déduit que l'intervalle
contient tous les termes de la suite (v n ) Ã partir du rang max(í µ 6Et donc lim
Théorème 2 :
Soit (u
n ) et (v n ) deux suites définies sur â„•.Si, à partir d'un certain rang, í µ
et lim =-∞ alors lim 2 Méthode : Déterminer une limite par comparaisonVidéo https://youtu.be/iQhh46LupN4
Déterminer la limite suivante : lim
-1 -1 ≥-1 donc í µ -1 -1Or lim
-1=+∞ donc par comparaison lim -12) Théorème d'encadrement
Théorème des gendarmes :
Soit (u
n ), (v n ) et (w n ) trois suites définies sur â„•.Si, à partir d'un certain rang, í µ
et lim =lim =í µ alors lim Par abus de langage, on pourrait dire que les suites (u n ) et (w n ) (les gendarmes) se resserrent autour de la suite (v n ) à partir d'un certain rang pour la faire converger vers la même limite. Ce théorème est également appelé le théorème du sandwich.Démonstration :
Soit un intervalle ouvert I contenant L.
- lim =í µ, donc l'intervalle I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 1 3 - lim =í µ, donc l'intervalle I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 2 - A partir d'un certain rang, que l'on note n 3 , on a í µ - Ainsi pour tout í µâ‰¥max(í µ 6 ), l'intervalle I contient tous les termes de la suite (v nEt donc lim
Méthode : Déterminer une limite par encadrementVidéo https://youtu.be/OdzYjz_vQbw
Déterminer la limite suivante : lim
1+BCDí±¢
1 siní µ 1Or : lim
1 =lim 1 =0 donc d'après le théorème des gendarmes lim siní µ =0Et donc lim
1+BCDí±¢
=1.II. Suites majorées, minorées, bornées
1) Définitions :
Définitions : - La suite (u
n ) est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout entier n ϵℕ, í µ - La suite (u n ) est minorée s'il existe un réel m tel que pour tout entier nϵℕ, í µ - La suite (u n ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.Exemples :
- Les suites de terme général cosí µ ou -1 sont bornées. - La suite de terme général n 2 est minorée par 0. Méthode : Démontrer qu'une suite est majorée ou minoréeVidéo https://youtu.be/F1u_BVwiW8E
On considère la suite (u
n ) définie pour tout entier naturel n par í µ í±¢*6 6 +2 et O =2. Démontrer par récurrence que la suite (u n ) est majorée par 3. 4 • Initialisation : O =2<3La propriété est donc vraie pour n = 0.
• Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : í µ Q <3. - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k+1 : í µ Q*6 <3.On a : í µ
Q <3 donc 6 6×3 et donc
6 +2< 6×3+2.
Soit : í µ
Q*6 <3 • Conclusion :La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe
de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : í µ <3.2) Convergence des suites monotones
Propriété : Soit (u
n ) une suite croissante définie sur ℕ.Si lim
=í µ alors la suite (u n ) est majorée par L.Démonstration par l'absurde :
Démontrons par l'absurde en supposant le contraire, soit:"Il existe un rang p, tel que í µ T - L'intervalle ouvert Ví µ-1;í µ TW contient L.
Or, par hypothèse, lim
=í µ. Donc l'intervalle Ví µ-1;í µ TW contient tous les termes
de la suite (u n ) Ã partir d'un certain rang (1). - Comme (u n ) est croissante : í µ T pour í µ>í µ.Donc si í µ>í µ, alors í µ
∉Ví µ-1;í µ T W (2). (1) et (2) sont contradictoires, on en déduit qu'il n'existe pas p ϵℕ, tel que í µ TEt donc la suite (u
n ) est majorée par L.Théorème de convergence monotone :
- Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente. - Si une suite décroissante est minorée alors elle est convergente. - Admis -Remarque :
Ce théorème permet de s'assurer de la convergence mais ne donne pas la limite. Dans l'exemple ci-dessous, la suite décroissante est minorée par 2. Cela prouve que la limite de la suite est supérieure à 2 mais n'est pas nécessairement égale à 2. 5 Méthode : Utiliser le théorème de convergence monotoneVidéo https://youtu.be/gO-MQUlBAfo
On considère la suite (u
n ) définie pour tout entier naturel n par í µ í±¢*6quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] EXERCICES DE CHIMIE GÉNÉRALE
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