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Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Généralités B- Précision d'un estimateur C- Exhaustivité D- information E-estimateur sans biais de variance minimale
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étant donné une suite d'estimations ponctuelles sur des échantillons en de taille nona: (On utisera les estimateurs Mn et ?n?1 du cours : ch 5 §1)
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Pour tout 1 ? i ? 5 on a E?(Xi) = ? et V?(Xi) = ?(1 ? ?) 2 2 Estimateur À partir d'un échantillon observé on souhaite estimer une valeur caractéristique
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sur un échantillon de 5000 sujets soit un taux de 5°/00 L'estimation ponctuelle se fait à l'aide d'un estimateur qui est une variable aléatoire
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Table des Matières Chapitre I Estimation ponctuelle 5 1 Définitions 5 2 Critères de comparaison d'estimateurs 6 3 Exemples fondamentaux
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L'estimation ponctuelle permet d'obtenir une approximation d'un paramètre américaine qui se présentent et le score moyen de ces 5 candidats est de 55
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Estimations ponctuelles et par intervalles – Fiche de cours On va constituer des échantillons pour essayer d'estimer le plus pour ?=45
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L'estimation ponctuelle de la moyenne µ est donnée par la moyenne La santé des enfants prématurés est mesurée 5 minutes apr`es la naissance
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Groupes 1 5 Série 5 : Estimation ponctuelle Exercice 1 ordres de commande ont été enregistrés au cours d'une période déterminée Une exploitation
Estimations ponctuelles – Fiche de cours
Estimation ponctuelle Définition Un estimateur est une fonction des variables observées : (X 1 X 2 Xn) Sommes de variables aléatoires Soit X une variable aléatoire de moyenne E(X) de variance V(X) et d’écart type ? X Soient n variables aléatoires X1 X2 Xn distribuées identiquement suivant la même loi de probabilité
Chapitre III : Estimation ponctuelle - Université libre de
5 Exemples d’estimateurs Exemple électoral : soit X(n) = (X 1 X n) où les X isont i i d Bern(p) où ?= p?? = [01] ?R Un estimateur naturel de pest T(X(n)) = X¯ = 1 n P n i=1 X i De même un estimateur naturel de g(p) = 3p2 + 1 est T(X(n)) = 3X¯2 + 1 Exemple du verre de bière : soit X(n) = (X 1 X n) où les X isont
STATISTIQUE : ESTIMATION - u-bordeauxfr
Estimation ponctuelle En statistique comme dans la théorie des probabilités le hasard intervient fortement Mais dans la théorie des probabilités on suppose la loi connue précisément et on cherche à donner les caractéristiques de la variable qui suit cette loi
T D n 5 Estimation ponctuelle - Unistra
T D no 5 Estimation ponctuelle Exercice 1 Une inegalite Soit X une variable aleatoire admettant un moment d'ordre deux et suivant une loi d'esperance m et d'ecart-type 1 Montrer que pour toute statistique T nous avons : E 2 T 2 2 : 6 E T
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Résumé Cette vignette introduit la notion d’estimateur et ses propriétés : convergence biais erreur quadratique avant d’aborder l’estimation ponctuelle de paramètres de loi : proportion moyenne variance La connaissance des lois de ce estimateurs permet l’estimation par in- tervalle de confiance et donc de préciser l
Introductional'estimation
Universite de Paris Ouest2012{2013
Chapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionSommaire 1De uxex emplesp ourc ommencer
2Es timation
3V ariancec orrigee: p ourquoin1?4C onclusion
Chapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionExemple 1 : Taille des Francais
IPopulationP=fAdultes francaisg
ITailleN= 45000000
IVariable :X= "Taille en cm",quantitativeI
Modalites : intervalle [0cm;300cm]
I2 parametres := moyenne,2= variance.On cherche a conna^treet2.
Probleme :Nest trop grand!Chapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionExemple 1 : Taille des Francais
IPopulationP=fAdultes francaisg
ITailleN= 45000000
IVariable :X= "Taille en cm",quantitativeI
Modalites : intervalle [0cm;300cm]
I2 parametres := moyenne,2= variance.On cherche a conna^treet2.
Probleme :Nest trop grand!Chapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionExemple 1 : Taille des Francais
Dans cet echantillon,moyenne=174 + 164 + 178 + 1684 = 171.Onextrapoleces donnees a la population entiere :
On ne conna^t pas, mais on peut penser queest proche de171.Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionExemple 1 : Taille des Francais
Dans cet echantillon,moyenne=174 + 164 + 178 + 1684 = 171.Onextrapoleces donnees a la population entiere :
On ne conna^t pas, mais on peut penser queest proche de171.Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionExemple 2 : Sondage pour un referendum
IPopulationP=fAdultes francaisg
ITailleN= 45000000
IVariable :X= "reponse au referendum",qualitativeI
Modalites : oui/non
I1 parametrep= proportion de "oui".On cherche a conna^trep.
Probleme :Nest trop grand!Chapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionExemple 2 : Sondage pour un referendum
IPopulationP=fAdultes francaisg
ITailleN= 45000000
IVariable :X= "reponse au referendum",qualitativeI
Modalites : oui/non
I1 parametrep= proportion de "oui".On cherche a conna^trep.
Probleme :Nest trop grand!Chapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionExemple 2 : Sondage pour un referendum
Acces uniquement a unechantillonde taille 1000 :
I On appelle 1000 adultes au telephone, 540 disent voter "oui".Onextrapoleces donnees a la population entiere :
On ne conna^t pas p, mais on peut penser que p est proche de0;54.Chapitre 22012{2013 Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionSommaire 1De uxex emplesp ourc ommencer
2Es timation
Principe de l'estimation
Estimation pour une variable quantitative
Estimation pour une variable qualitative
3V ariancec orrigee: p ourquoin1?4C onclusion
Chapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionStatistiques descriptives vs Statistiques inferentielles
Denition (Larousse)
L'inference statistiqueconsiste a induire les caracteristiques inconnues d'une population a partir d'un echantillon.Stat. descriptives (L1)Stat. inferentielles (L2) I petite population I toutes les donnees I on calcule les parametresI tres grande population I donnees d'un echantillon I onextrapolea partir de l'echantillonChapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionStatistiques descriptives vs Statistiques inferentielles
Denition (Larousse)
L'inference statistiqueconsiste a induire les caracteristiques inconnues d'une population a partir d'un echantillon.Stat. descriptives (L1)Stat. inferentielles (L2) I petite population I toutes les donnees I on calcule les parametresI tres grande population I donnees d'un echantillon I onextrapolea partir de l'echantillonChapitre 22012{2013
Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionEstimation depour une variable quantitative
Variable quantitativeX, 2 parametres;2.Echantillon de taillen, observationsx1;x2;:::;xn.Denition L'estimation ponctuellede la moyenneest donnee par lamoyenne observeedans l'echantillon x=x1+x2++xnn :Attention :est inconnue, seule xest observee!Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionRetour sur l'Exemple 1 : estimation de la moyenne
IPopulationP=fFrancaisg
ITailleN= 45000000
I = moyenneIEchantillon tire au sort
ITaillen= 4
I x=moyenne observee= 171. est inconnue, mais onestimepar lamoyenne observeex= 171.Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionEstimation de2pour une variable quantitative
Variable quantitativeX, 2 parametres;2, observationsx1;x2;:::;xn.On notes2lavariance observee:
s2=x21+x22++x2nn
x2:Denition L'estimation ponctuelle de la variance2est donnee par la variance corrigee d ansl 'echantillon s ?2=nn1s2:Attention :2est inconnue, seules2ets?2sont observees!Denition bis L'estimation ponctuelle de l'ecart-typeest donnee par l'ecart-type corriges?=ps ?2.Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionEstimation de2pour une variable quantitative
Variable quantitativeX, 2 parametres;2, observationsx1;x2;:::;xn.On notes2lavariance observee:
s2=x21+x22++x2nn
x2:Denition L'estimation ponctuelle de la variance2est donnee par la variance corrigee d ansl 'echantillon s ?2=nn1s2:Attention :2est inconnue, seules2ets?2sont observees!Denition bis L'estimation ponctuelle de l'ecart-typeest donnee par l'ecart-type corriges?=ps ?2.Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionEstimation de2pour une variable quantitative
Variable quantitativeX, 2 parametres;2, observationsx1;x2;:::;xn.On notes2lavariance observee:
s2=x21+x22++x2nn
x2:Denition L'estimation ponctuelle de la variance2est donnee par la variance corrigee d ansl 'echantillon s ?2=nn1s2:Attention :2est inconnue, seules2ets?2sont observees!Denition bis L'estimation ponctuelle de l'ecart-typeest donnee par l'ecart-type corriges?=ps ?2.Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionRetour sur l'Exemple 1 : estimation de la variance
IPopulationP=fFrancaisg
ITailleN= 45000000
I2= varianceI
Echantillon tire au sort
ITaillen= 4
I s2=variance observeeI s?2=variancec orrigeeDans l'echantillon, variance observees2=1742+ 1642+ 1782+ 168241712= 29;variancec orrigees?2=
nn1s2=43 29:2est inconnue, mais onestime2par
lavariance corrigees?2= 38;67.Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionRetour sur l'Exemple 1 : estimation de la variance
IPopulationP=fFrancaisg
ITailleN= 45000000
I2= varianceI
Echantillon tire au sort
ITaillen= 4
I s2=variance observeeI s?2=variancec orrigeeDans l'echantillon, variance observees2=1742+ 1642+ 1782+ 168241712= 29;variancec orrigees?2=
nn1s2=43 29:2est inconnue, mais onestime2par
lavariance corrigees?2= 38;67.Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionEstimation deppour une variable qualitative
Variable qualitativeXa 2 modalites,
Un parametrep= eectif de la 1ere modalite.Echantillon de taillen, n1= eectif de la 1ere modalitedans l'echantillon.Denition
L'estimation ponctuellede la proportionpest donnee par lafrequence observeefde la premiere modalite dans l'echantillon : f=n1n :Attention :pest inconnue, seulefest observee!Chapitre 22012{2013Deux exemples pour commencerEst imationV arianceco rrigee: p ourquoin1?Co nclusionEstimation deppour une variable qualitative
Variable qualitativeXa 2 modalites,
Un parametrep= eectif de la 1ere modalite.Echantillon de taillen, n1= eectif de la 1ere modalitedans l'echantillon.Denition
L'estimation ponctuellede la proportionpest donnee par lafrequence observeefde la premiere modalite dans l'echantillon : f=n1n :Attention :pest inconnue, seulefest observee!Chapitre 22012{2013quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29[PDF] chiffre d 'affaires, panier moyen, et - L 'Etudiant
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