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36 Déterminants 88 37 Calculs de déterminants 91 38 Rang de matrices 94 39 Projections 98 40 Réductions des endomorphismes
Calculs de déterminants
Fiche corrigée par Arnaud Bodin
Exercice 1Calculer les déterminants des matrices suivantes : 7 11 8 4 0 @1 0 63 4 15
5 6 211
A0 @1 0 2 3 4 55 6 71
A0 @1 01 2 3 54 1 31
A 0 BB@0 1 2 3
1 2 3 0
2 3 0 1
3 0 1 21
C CA0 BB@0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 1
1 1 1 01
C CA0 BB@1 2 1 2
1 3 1 3
2 1 0 6
1 1 1 71
C CA 1. Calculer l"aire du parallélogramme construit sur les v ecteurs~u=2 3 et~v=1 4 2. Calculer le v olumedu parallélépipède construit sur les v ecteurs ~u=0 @1 2 01 A ,~v=0 @0 1 31A et~w=0 @1 1 11 A 3.
Montrer que le v olumed"un parallélépipède dont les sommets sont des points de R3à coefficients entiers
est un nombre entier. Calculer les déterminants des matrices suivantes : 0 @a b c c a b b c a1 A0 BB@1 0 0 1
0 1 0 0
1 0 1 1
2 3 1 11
C CA0 BB@1 1 1 1
11 1 1
1 11 1
1 1 111
C CA0 BB@10 05 15
2 7 3 0
8 14 0 2
021 111
C CA 0 BB@a a b0
a a0b c0a a0c a a1
C CA0 BBBB@1 0 3 0 0
0 1 0 3 0
a0a0 3 b a0a00b0 0a1
C CCCA0 BBBB@1 0 0 1 0
04 3 0 0
3 0 032
0 1 7 0 0
4 0 0 7 11
C CCCA 1Calculer les déterminants suivant :
a 1a2an a1a1......
.........a2 a 1a1a1 1 11 1(0)
(0)1 1 a+b aa a a+b...... .........a aa a+bSoit(a0;:::;an1)2Cn,x2C. Calculer
D n= x0a01.........
...x an201x+an1
Soitaun réel. On noteDnle déterminant suivant : D n= a00n10a.........
.........0 2 00a1 n12 1a 1.Calculer Dnen fonction deDn1.
2.Démontrer que : 8n>2Dn=anan2n1å
i=1i2.1t1t21:::tn111t2t22:::tn12::: ::: ::: ::: :::
1tnt2n:::tn1n
16i Indication pourl"exer cice3 N1.Règle de Sarrus. 2. Dév elopperpar rapport à la deuxième ligne. 3. F aireapparaître des 0 sur la première colonne. 4. Utiliser la linéarité par rapports à chaque ligne et chaque colonne pour simplifier les coef ficients.
5. F aireapparaître des 0...
6. F aireapparaître des 0...
7. Permuter les lignes et les colonnes pour f aireapparaître une matrice triangulaire par blocs. Indication pourl"exer cice5 NDévelopper par rapport à la dernière colonne.
Indication pour
l"exer cice 6 NDévelopper par rapport à la première colonne pour obtenirDn1et un autre déterminant facile à calculer en
développant par rapport à sa première ligne.Indication pourl"exer cice7 NFaire les opérations suivantes sur les colonnesCn CntnCn1, puisCn1 Cn1tnCn2,...,C2 C2tnC1.
Développer par rapport a la bonne ligne et reconnaître que l"on obtient le déterminant recherché mais au rang
n1.3 Correction del"exer cice1 N1.Le déterminant de la matrice a b c d esta b c d =adbc. Donc7 11 8 4 =7411(8) =116. 2. Nous allons v oirdif férentesméthodes pour calculer les déterminants. Première méthode.Règle de Sarrus.Pour le matrice 33 il existe une formule qui permet de calculer
directement le déterminant. a 11a12a13
a 21a22a23
a 31a32a33
Donc 1 0 6 3 4 15
5 6 21
=1421+0155+36654661513021=18 Attention ! La règle de Sarrus ne s"applique qu"aux matrices 33. 3.Deuxième méthode.Se ramener à une matrice diagonale ou triangulaire.
Si dans une matrice on change un ligneLienLilLjalors le déterminant reste le même. Même chose
avec les colonnes. L 11 0 2
L 23 4 5
L 35 6 7=1 0 2
L 2 L23L10 41L
3 L35L10 63=1 0 2
0 41L 3 L332
L20 032=14(32
) =6 sur la diagonale. 4.Troisième méthode.Développement par rapport à une ligne ou une colonne.Nous allons développer
par rapport à la deuxième colonne. 1 01 2 3 5 4 1 3 = (0)2 5 4 3 +(+3)11 4 3 +(1)11 2 5 =0+3717=14 Bien souvent on commence par simplifier la matrice en faisant apparaître un maximum de 0 par les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Puis on développe en choisissant la ligne ou la
colonne qui a le plus de 0. 5. On f aitapparaître des 0 sur la première colonne puis on dév eloppepar rapport à cette colonne.
D=L 10 1 2 3
L 21 2 3 0
L 32 3 0 1
L 43 0 1 2=0 1 2 3
1 2 3 0
L 3 L32L2016 1L
4 L43L2068 2=1 2 3
16 168 2Pour calculer le déterminant 33 on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on la développe.
D=L 11 2 3
L 216 1L
368 2=1 2 3
L 2 L2+L104 4L
3 L3+6L10 4 20=14 4
4 20 =96 DoncD=96.
4 6.La matrice a déjà beaucoup de 0 mais on peut en f aireapparaît reda vantagesur la dernière colonne, puis
on développe par rapport à la dernière colonne. D 0=L 10 1 1 0
L 21 0 0 1
L 31 1 0 1
L 41 1 1 0=0 1 1 0
1 0 0 1
L 3 L3L20 1 0 0
1 1 1 0=0 1 1
0 1 0 1 1 1 On développe ce dernier déterminant par rapport à la première colonne : D 0=0 1 1
0 1 0 1 1 1=11 1
1 0 =1quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
Utiliser la linéarité par rapports à chaque ligne et chaque colonne pour simplifier les coef ficients.
5.F aireapparaître des 0...
6.F aireapparaître des 0...
7.Permuter les lignes et les colonnes pour f aireapparaître une matrice triangulaire par blocs. Indication pourl"exer cice5 NDévelopper par rapport à la dernière colonne.
Indication pour
l"exer cice6 NDévelopper par rapport à la première colonne pour obtenirDn1et un autre déterminant facile à calculer en
développant par rapport à sa première ligne.Indication pourl"exer cice7 NFaire les opérations suivantes sur les colonnesCn CntnCn1, puisCn1 Cn1tnCn2,...,C2 C2tnC1.
Développer par rapport a la bonne ligne et reconnaître que l"on obtient le déterminant recherché mais au rang
n1.3 Correction del"exer cice1 N1.Le déterminant de la matrice a b c d esta b c d =adbc. Donc7 11 8 4 =7411(8) =116. 2. Nous allons v oirdif férentesméthodes pour calculer les déterminants.Première méthode.Règle de Sarrus.Pour le matrice 33 il existe une formule qui permet de calculer
directement le déterminant. a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
Donc 1 0 63 4 15
5 6 21
=1421+0155+36654661513021=18 Attention ! La règle de Sarrus ne s"applique qu"aux matrices 33.3.Deuxième méthode.Se ramener à une matrice diagonale ou triangulaire.
Si dans une matrice on change un ligneLienLilLjalors le déterminant reste le même. Même chose
avec les colonnes. L11 0 2
L23 4 5
L35 6 7=1 0 2
L2 L23L10 41L
3 L35L10 63=1 0 2
0 41L3 L332
L20 032=14(32
) =6 sur la diagonale.4.Troisième méthode.Développement par rapport à une ligne ou une colonne.Nous allons développer
par rapport à la deuxième colonne. 1 01 2 3 5 4 1 3 = (0)2 5 4 3 +(+3)11 4 3 +(1)11 2 5 =0+3717=14 Bien souvent on commence par simplifier la matrice en faisant apparaître un maximum de 0 par lesopérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Puis on développe en choisissant la ligne ou la
colonne qui a le plus de 0. 5.On f aitapparaître des 0 sur la première colonne puis on dév eloppepar rapport à cette colonne.
D=L10 1 2 3
L21 2 3 0
L32 3 0 1
L43 0 1 2=0 1 2 3
1 2 3 0
L3 L32L2016 1L
4 L43L2068 2=1 2 3
16 168 2Pour calculer le déterminant 33 on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on la développe.
D=L11 2 3
L216 1L
368 2=1 2 3
L2 L2+L104 4L
3 L3+6L10 4 20=14 4
4 20 =96DoncD=96.
46.La matrice a déjà beaucoup de 0 mais on peut en f aireapparaît reda vantagesur la dernière colonne, puis
on développe par rapport à la dernière colonne. D 0=L10 1 1 0
L21 0 0 1
L31 1 0 1
L41 1 1 0=0 1 1 0
1 0 0 1
L3 L3L20 1 0 0
1 1 1 0=0 1 1
0 1 0 1 1 1 On développe ce dernier déterminant par rapport à la première colonne : D0=0 1 1
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