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36 Déterminants 88 37 Calculs de déterminants 91 38 Rang de matrices 94 39 Projections 98 40 Réductions des endomorphismes
Produit scalaire, espaces euclidiens
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le coursExercice 1***PourA= (ai;j)16i;j6n2Mn(R),N(A) =Tr(tAA). Montrer queNest une norme vérifiant de plusN(AB)6
N(A)N(B)pour toutes matrices carréesAetB.Nest-elle associée à un produit scalaire ?c"est-à-dire :8(x;y)2E2;jjx+yjj2+jjxyjj2=2(jjxjj2+jjyjj2). On se propose de démontrer quejj jjest
associée à un produit scalaire. On définit surE2une applicationfpar :8(x;y)2E2;f(x;y) =14 (jjx+yjj2 jjxyjj2). 1. Montrer que pour tout (x;y;z)deE3, on a :f(x+z;y)+f(xz;y) =2f(x;y). 2. Montrer que pour tout (x;y)deE2, on a :f(2x;y) =2f(x;y). 3. Montrer que pour tout (x;y)deE2et tout rationnelr, on a :f(rx;y) =rf(x;y). On admettra que pour tout réellet tout(x;y)deE2on a :f(lx;y) =lf(x;y)( ce résultat provient de la continuité def). 4. Montrer que pour tout (u;v;w)deE3,f(u;w)+f(v;w) =f(u+v;w). 5.Montrer que fest bilinéaire.
6.Montrer que jj jjest une norme euclidienne.
Vect(V1;V2). Déterminer une base orthonormale deFet un système d"équations deF?.0P(t)Q(t)dt. Existe-t-ilAélément deR[X]tel que8P2R[X];PjA=P(0)?
G(x1;:::;xn) = (xijxj)16i;j6n(matrice de GRAM) etg(x1;:::;xn) =det(G(x1;:::;xn))(déterminant de GRAM).
1.Montrer que r g(G(x1;:::;xn)) =rg(x1;:::;xn).
12.Montrer que(x1;:::;xn)estliéesietseulementsig(x1;:::;xn)=0etque(x1;:::;xn)estlibresietseulement
sig(x1;:::;xn)>0. 3. On suppose que (x1;:::;xn)est libre dansE(et doncn6p). On poseF=Vect(x1;:::;xn). Pourx2E, on notepF(x)la projection orthogonale dexsurFpuisdF(x)la distance dexàF(c"est-à-dire d F(x) =jjxpF(x)jj). Montrer quedF(x) =qg(x;x1;:::;xn)g(x1;:::;xn).a^(a^x). Montrer quefest linéaire puis déterminer les vecteurs non nuls colinéaires à leur image parf.
deR3ainsi que de la symétrie orthogonale par rapport à cette même droite. De manière générale, matrice de la
projection orthogonale sur le vecteur unitaireu= (a;b;c)et de la projection orthogonale sur le plan d"équation
ax+by+cz=0 dans la base canonique orthonormée deR3.AdansBsuivants :
1)A=13
0 @2 1 2 2 2 1 12 21 A2=A=14
0 @3 1p6 1 3p6 p6 p6 2 1 A3=A=19
0 @8 1 4 4 4 7 1 841 A @a b c c a b b c a1 A aveca,betcréels. Montrer queMest la matrice dans la base canonique orthonorméedirecte deR3d"une rotation si et seulement sia,betcsont les solutions d"une équation du typex3x2+k=0
où 06k6427 . En posantk=4sin2j27 , déterminer explicitement les matricesMcorrespondantes ainsi que les axes et les angles des rotations qu"elles représentent. tous vecteursu,vetw. jjx1jj:::jjxnjjen précisant les cas d"égalité. Exercice 12**Montrer queu^vjw^s= (ujw)(vjs)(ujs)(vjw)et(u^v)^(w^s) = [u;v;s]w[u;v;w]s.0(x4axb)2dxsoit minimum (trouver deux démonstrations,
une dans la mentalité du lycée et une dans la mentalité maths sup). unique vecteurxtel que8i2 f1;:::;g;xjei=ai.obtusangle si et seulement si pour tout(i;j)tel quei6=j,xijxj<0. Montrer que l"on a nécessairement
p6n+1.1P2(t)dt=1. Montrer que supfjP(x)j;jxj61g62. Cas d"égalité ?
estq. Montrer que pour toutxdeR3,r(x) = (cosq)x+(sinq)(k^x)+2(x:k)sin2(q2 )k. Application : écrire la matrice dans la base canonique (orthonormée directe deR3) de la rotation autour dek=1p2 (e1+e2)et d"angle q=p30fn(t)dt. Montrer que la suite
u n=In+1I nest définie et croissante.1P(t)Q(t)dt.
1.Montrer que (E;j)est un espace euclidien.
2. Pour pentier naturel compris entre 0 etn, on poseLp= ((X21)p)(p). Montrer queLpjjLpjj06p6nest
l"orthonormalisée de SCHMIDTde la base canonique deE.DéterminerjjLpjj.
Correction del"exer cice1 NPosonsj:(A;B)7!Tr(tAB). Montrons quejest un produit scalaire surMn(R).1ère solution.•jest
symétrique. En effet, pour(A;B)2(Mn(R))2, j(A;B) =Tr(tAB) =Tr(t(tAB)) =Tr(tBA) =j(B;A):•jest bilinéaire par linéarité de la trace et de la transposition. • SiA= (ai;j)16i;j6n2Mn(R)nf0g, alors
j(A;A) =nå i=1 nå j=1a i;jai;j! i;ja2i;j>0 car au moins un des réels de cette somme est strictement positif.jest donc définie, positive.2ème solution.PosonsA= (ai;j)etB= (bi;j). On a
Tr(tAB) =ånj=1(åni=1ai;jbi;j) =å16i;j6nai;jbi;j.Ainsi,jest le produit scalaire canonique surMn(R)et en particulier,jest un produit scalaire surMn(R).
Nn"est autre que la norme associée au produit scalairej(et en particulier,Nest une norme). Soit(A;B)2
(Mn(R))2.N(AB)2=å
i;j nå k=1a i;kbk;j! 2 6 i;j nå k=1a2i;k! nå l=1b2l;j! (d"après l"inégalité de CAUCHY-SCHWARZ) i;j;k;la2i;kb2l;j= i;ka2i;k! l;jb2l;j! =N(A)2N(B)2; et donc,8(A;B)2(Mn(R))2;N(AB)6N(A)N(B).Correction del"exer cice2 N1.Soit (x;y;z)2R3.
f(x+z;y)+f(xz;y) =14 (jjx+z+yjj2+jjxz+yjj2jjx+zyjj2jjxzyjj2) 14 2.2 f(x;y) =f(x+x;y)+f(xx;y) =f(2x;y)+f(0;y)maisf(0;y) = (jjyjj2jjyjj2) =0 (définition
d"une norme). 3. • Montrons par récurrence que 8n2N;f(nx;y) =nf(x;y). C"est clair pourn=0 etn=1. Soitn>0. Si l"égalité est vraie pournetn+1 alors d"après 1), f((n+2)x;y)+f(nx;y) =f((n+1)x+x;y)+f((n+1)xx;y) =2f((n+1)x;y); et donc, par hypothèse de récurrence, f((n+2)x;y) =2f((n+1)x;y)f(nx;y) =2(n+1)f(x;y)nf(x;y) = (n+2)f(x;y): 4 Le résultat est démontré par récurrence. • Soitn2N,f(x;y) =fn1n :x;y=nf1n x;yet donc f1n x;y=1n f(x;y). • Soit alorsr=pq ,p2N,q2N,f(rx;y) =1q f(px;y) =p1q f(x;y) =rf(x;y)et donc, pour tout rationnel positifr,f(rx;y) =rf(x;y). Enfin, sir60,f(rx;y)+f(rx;y) =2f(0;y) =0 (d"après 1)) et donc=f(rx;y) =f(rx;y) =rf(x;y).8(x;y)2E2;8r2Q;f(rx;y) =rf(x;y).
4.On pose x=12
(u+v)ety=12 (uv). f(u;w)+f(v;w) =f(x+y;w)+f(xy;w) =2f(x;w) =2f12 (u+v);w =f(u+v;w): 5.f est symétrique (définition d"une norme) et linéaire par rapport à sa première v ariable(d"après 3) et 4)).
Donc f est bilinéaire.
6. f est une forme bilinéaire symétrique. Pour x2E,f(x;x) =14 (jjx+xjj2+jjxxjj2) =14 jj2xjj2=jjxjj2(définition d"une norme) ce qui montre tout à la fois quefest définie positive et donc un produit scalaire,
et quejj jjest la norme associée.jj jjest donc une norme euclidienne.Correction del"exer cice3 NLa famille(V1;V2)est clairement libre et donc une base deF. Son orthonormalisée(e1;e2)est une base
orthonormée deF.jjV1jj=p1+4+1+1=p7 ete1=1p7V1=1p7
(1;2;1;1).(V2je1)=1p7 (0+611)= 4p7 puisV2(V2je1)e1= (0;3;1;1)47 (1;2;1;1) =17 (4;13;11;11)puise2=1p427 (4;13;11;11).Une base orthonormée deFest(e1;e2)oùe1=1p7
(1;2;1;1)ete2=1p427 (4;13;11;11). Soit(x;y;z;t)2 R 4.3y+zt=0:Correction del"exer cice4 NSoitAun éventuel polynôme solution c"est à dire tel que8P2R[X];R1
0P(t)A(t)dt=P(0).
P=1 fournitR1
0A(t)dt=1 et donc nécessairementA6=0.P=XAfournitR1
0tA2(t)dt=P(0)=0. Mais alors,
8t2[0;1];tA2(t) =0 (fonction continue positive d"intégrale nulle) puisA=0 (polynôme ayant une infinité de
racines deux à deux distinctes).An"existe pas.Correction del"exer cice5 N1.Soit Bune base orthonormée deEetM=MatB(x1;:::;xn)(Mest une matrice de format(p;n)). Puisque
Best orthonormée, le produit scalaire usuel des colonnesCietCjest encorexijxj. Donc,8(i;j)2 [[1;n]]2;tCiCj=xijxjou encoreG=tMM.Il s"agit alors de montrer que rg(M) =rg(tMM). Ceci provient du fait queMettMMont même noyau.
En effet, pourX2Mn;1(R),
X2KerM)MX=0)tMMX=0)(tMM)X=0)X2Ker(tMM)
et 5 X2Ker(tMM))tMMX=0)tXtMMX=0)t(MX)MX=0) jjMXjj2=0)MX=0 )X2KerM:Ainsi, Ker(M)=Ker(tMM)=Ker(G(x1;:::;xn)). Maisalors, d"aprèslethéorèmedurang, rg(x1;:::;xn)=
rg(M) =rg(G(x1;:::;xn)).rg(G(x1;:::;xn)) =rg(x1;:::;xn).2.Si la f amille(x1;:::;xn)est liée, rg(G) =rg(x1;:::;xn) (en 1ère ligne, c"est le théorème de PYTHAGOREet dans les suivantes,xpF(x)2F?). Par linéarité par rapport à la première colonne,g(x;x1;:::;xn)est somme de deux déterminants. Le deuxième est g(pF(x);x1;:::;xn)et est nul car la famille(pF(x);x1;:::;xn)est liée. On développe le premier suivant sa vecteurs non nuls colinéaires à leur image. Sixn"est pas colinéaire àa,a^xest un vecteur non nul orthogonal àaet il en est de même def(x) =a^(a^x). Donc, sixest colinéaire àf(x),xest nécessairement orthogonal àa. Réciproquement, sixest un vecteur non nul orthogonal àa,f(x) = (a:x)akak2x=jjajj2xetxest colinéaire àf(x). Les vecteurs non nuls colinéaires à leur image sont les vecteurs non nuls de Vect(a)et dea?.Correction del"exer cice7 NUn vecteur engendrantDest!u= (2;1;3). Pour(x;y;z)2R3, la matrice de la projection orthogonale sur le vecteur unitaire(a;b;c)dans la base canonique orthonormée est de départ. On calculeS1A=SAqui est la matrice deret on termine comme en 1) et 2).Correction del"exer cice9 NSoitfl"endomorphisme deR3de matriceMdans la base canonique deR3. ) etPadmet une racine réelle d"ordre au moins 2. La troisième racine est alors nécessairement réelle. du 2ème cas et doncPadmet deux autres racines non réelles. En résumé,Pa toutes ses racines réelles si etBBBB@jjxjj2
xjx1 xjx2... xjxn1 C CCCCA=0
B BBBB@jjxpF(x)+pF(x)jj2
xpF(x)+pF(x)jx1 xpF(x)+pF(x)jx2... xpF(x)+pF(x)jxn1 C CCCCA=0
B BBBB@jjxpF(x)jj2
0jx1 0jx2...
0jxn1 C CCCCA+0
B BBBB@jjpF(x)jj2
p F(x)jx1
p F(x)jx2...
p F(x)jxn1
C CCCCA:
8x2E;d(x;F) =kxpF(x)k=qg(x;x1;:::;xn)g(x1;:::;xn).Correction del"exer cice6 NJe vous laisse vérifier la linéarité. Sixest colinéaire àa,f(x) =0 et les vecteurs de Vect(a)nf0gsont des
OnendéduitqueMat
Bp=P=114
0 @4 2 6 2 1 3 6 3 91
A , puisMatBs=2PI=17 0 @3 2 6 26 3
6 3 21
A . Plusgénéralement,
A et la matrice de la projection orthogonale sur le planax+by+cz=0 dans la base canonique orthonormée estIP=0 @1a2abac ab1b2bc acbc1c21 A .Correction del"exer cice8 N1.kC1k=kC2k=13 p4+4+1=1 etC1jC2=19 (2+42) =0. Enfin, C 1^C2=19
0 @2 2 11 A ^0 @1 2 21
A =19 0 @6 3 61
A =13 0 @2 1 21
A =C3: Donc,A2O+3(R)etfest une rotation (distincte de l"identité).Axe def.SoitX2M3;1(R). AX=X,8
:xy2z=0 2x5yz=0
x+2y5z=0,8 :z=2x5y 3x+9y=0
9x+27y=0,x=3y
z=y: L"axeDdefest Vect(!u)où!u= (3;1;1).Dest dorénavant orienté par!u.Angle def.Le vecteur!v=1p2 (0;1;1)est un vecteur unitaire orthogonal à l"axe. Donc, cosq=!v:f(!v) =1p2 (0;1;1):1p2 13 (1;1;4) =16 5=56 et donc,q=arccos(56 ) (2p). (Si on sait que Tr(A) =2cosq+1, c"est plus court : 2cosq+1=23 23
23
fournit cosq=56 ). Le signe de sinqest le signe de[!i;f(!i);!u] = 1 23
3 023
1 013 1 =13 <0. Donc, fest la rotation d"anglearccos(56 )autour deu= (3;1;1).2.jjC1jj=jjC2jj=14 p9+1+6=1 etC1jC2=116 (3+36) =0. Enfin, C 1^C2=116
0 @3 1 p6 1 A ^0 @1 3p6 1 A =116 0 @4p6 4p6 81
A =14 0 @p6 p6 21
A =C3: Donc,A2O+3(R)etfest une rotation.Axe def.SoitX2M3;1(R). AX=X,8
:x+y+p6z=0 xyp6z=0 p6x+p6y2z=0,xy=p6z=2p6 z,x=yetz=0: L"axeDdefest Vect(!u)où!u= (1;1;0).Dest dorénavant orienté par!u.Angle def.!k= [0;0;1) est un vecteur unitaire orthogonal à!u. Par suite, 7 cosq=!k:f(!k) = (0;0;1):14 (p6;p6;2) =12 etdonccosq=p3 (2p). Lesignedesinqestlesignedeh!i;f(!i);!ui 1 3=4 1
0 1=4 1
0p6=4 0
=1p6 >0. Donc, fest la rotation d"anglep3 autour de!u= (1;1;0).3.jjC1jj=jjC2jj=19 p64+16+1=1 etC1jC2=181 (816+8) =0. Enfin, C 1^C2=181
0 @8 4 11 A ^0 @1 4 81
A =181 0 @36 63
361
A =19 0 @4 7 41
A =C3: Donc,A2O3(R).An"est pas symétrique, et doncfn"est pas une réflexion.fest donc la composée commutativesrd"une rotation d"angleqautour d"un certain vecteur unitaire!uet de la réflexion de plan!u?où!uetqsont à déterminer.Axe der.L"axe derestKer(f+IdE)(carf6=IdE). AX=X,8
:17x+y+4z=0 4x+13y+7z=0
x+8y+5z=0,8 :y=17x4z 225x45z=0
135x27z=0,z=5x
y=3x Ker(f+IdE) =Vect(!u) =Doùu= (1;3;5).Dest dorénavant orienté par!u.sest la réflexion par rapport au planP=u?dont une équation estx+3y5z=0. On écrit alors la matriceSdesdans la base 212s2. Ensuite,
s 31= (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a2b+ba2+a2c+ca2+b2c+c2b)+6abc;
et s 1(s212s2) = (a+b+c)(a2+b2+c2) =a3+b3+c3+(a2b+b2a+a2c+c2a+b2c+c2b):
Donc, s 313s1(s212s2) =2(a3+b3+c3)+6s3
et finalement,a3+b3+c3=s313s1s2+3s3. M2O+3(R),s2=0 ets212s2=1 ets313s1s2=1
,s2=0 ets1=1 ,a;betcsont les solutions réelles d"une équation du typex3x2+k=0(oùk=s3): 8 PosonsP(x) =x3x2+ket doncP0(x) =3x22x=x(2x3). Sur]¥;0],Pest strictement croissante, strictement décroissante sur0;32 et strictement croissante sur32 ;+¥.Padmet donc au plus une racine dans chacun de ces trois intervalles.1er cas.SiP(0) =k>0 etP23 =k427 <0 ou ce qui revient au même, 03ème cas.Sik<0 ouk>427
, P admet une racine réelle exactement. Celle-ci est nécessairement simple au vu
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