VECTEURS ET REPÉRAGE
Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par lecture graphique a) Dans le repère (O ?
Coordonnées dans un repère 1 Coordonnées dun point
Dans l'exemple ci-contre on dira que les coordonnées du point yK = 1. 2 Coordonnées d'un vecteur. Propriété 2 Dans un repère quelconque
CHAPITRE 6 CINÉMATIQUE DU SOLIDE 6.1. Coordonnées dun
6.1. Coordonnées d'un point dans l'espace. 6.1.1. Repère et référentiel de sa projection dans un repère constitué d'un point origine et d'une base de ...
STATISTIQUES
milliers d'euros yi. 40. 55. 55. 70. 75. 95. 1) Dans un repère représenter le nuage de points (xi ; yi). 2) Déterminer les coordonnées du point moyen G du
Comment lire pratiquement les coordonnées dun point identifié sur
Apr 1 2022 Procédure pour les coordonnées planes d'un point. En projection Lambert sur une carte IGN TOP25 ou Série Bleue au 1:25 000.
Système de coordonnées
Placer le point de coordonnées cylindriques (2 2?/3
Colinéarité de vecteurs dans un repère
1) Dans un repère soient A(3;-2) et B(-5;-3). 2) Dans le repère ci-contre
Chapitre 1 : 2D Courbes Paramétrées et coordonnées polaires
coordonnées introduit par Newton appelé système de coordonnées polaires. Page 4. Pole et axe polaire. • On choisit un point O du plan que
Chapter 1 - Syst`emes de coordonnées
1.1.1 Repérage d'un vecteur en coordonnées cylindriques En coordonnées cylindriques un point M de l'espace est repéré comme un point de cylindre (droit ...
Cours 2nde Chapitre 2 Coordonnées dun point du plan
alors x = -OM (abscisse négative). Définition 1 : ? Le couple ( ). O I est appelé repère d'origine O
Chapter 1
Syst`emes de coordonn´ees
1.1 Rep`ere cart´esien
Un rep`ere cart´esien est d´efini par un point origineOet trois axes (Ox,Oy,Oz) perpendiculaires
entre eux. Les vecteurs unitaires port´es par les axes sont: ?ex,?ey,?ez. (voir figure 1.1a)) M"O z x y Mez ey ex r M"O z M ez eyex A( )M a)b) y xFigure 1.1:
On doit bien noter la disposition relative des directions (Ox,Oy,Oz). Telles qu"elles sontplac´ees, elles d´efinissent un tri`edre direct. Dans un teltri`edre, un bonhomme transperc´e des pieds
`a la tˆete parOy, regardant la directionOz, a la directionOx`a sa gauche. On peut noter aussi que
Ox,Oy,etOzsont respectivement orient´es selon les directions du pouce, de l"index et du majeurde la main droite. Un pointMde l"espace est rep´er´e par les trois composantes du vecteur-→r
joignantO`aM(-→r=--→OM) (voir fig. 1.1a) : r(x,y,z) =x?ex+y?ey+z?ez M ?est la projection deMdans le plan (x0y). Les composantesxetyde-→rsont les coordonn´ees du pointM?dans ce plan. La composantezest obtenue en tra¸cant la parall`ele `aOM?passant par M. On dira indistinctement qu"un objet se trouve au pointMou en-→r.1.1.1 Rep´erage d"un vecteur en coordonn´ees cylindriques
Quand il s"agit de rep´ererun vecteur
-→A(M) dont le point d"application est situ´e au pointM(x,y,z),ou-→r(x,y,z), on peut d´ecrire ce vecteur avec le mˆeme base de vecteurs unitaires?ex,?ey,?ez(voir
fig.1.1b)). Nous appelons donc ?ex,?ey,?ez, un r´ep`ere orthonorm´eglobalparce qu"on peut l"utiliser `a d´ecrire un vecteur ayant n"importe lequel point d"application.1.2. COORDONN´EES CYLINDRIQUES2
1.2 Coordonn´ees cylindriques
1.2.1 Rep´erage d"un point en coordonn´ees cylindriques
En coordonn´ees cylindriques, un pointMde l"espace est rep´er´e comme un point de cylindre (droit,
`a base circulaire) dont l"axeOzest g´en´eralement confondu avec l"axeOzdu rep`ere cart´esien.
Le pointM(ou-→r) est rep´er´e par
•le rayonρdu cylindre sur lequel il s"appuie •zsa cote par rapport au plan de r´ef´erencexOy •φl"angle (Ox,OM?) o`uM?est la projection deMsur le planxOy.La notation
-→r(ρ,φ,z) vient se substituer `a-→r(x,y,z) du rep`ere cart´esien. Vous pouvez facile-
ment v´erifier que, pour un point donn´e, les composantes cart´esiennes et cylindriques sont li´ees par
x=ρcosφ y=ρsinφ z=z M" ?O z x y M e? ez e?Figure 1.2:
1.2.2 Rep´erage d"un vecteur en coordonn´ees cylindriques
Nous nous posons la question de rep´erer un vecteur dont le point d"application est situ´e au point
M(ρ,φ,z), ou-→r(ρ,φ,z). Pour cela nous attachons `aMun rep`ere orthonorm´e local (?eρ,?eφ,?ez).
Nous l"appelonslocalparce qu"il n"est pas le mˆeme pour tous les pointsMde l"espace. Ce rep`ere local est fait de 3 vecteurs unitaires de base orthogonaux ( ?eρ,?eφ,?ez) : ?eρ(ou?uρou?ρ) est un vecteur parall`ele `a---→OM?. ?eφ(ou?uφou?φ) est parall`ele au vecteur tangent enM?au cercle de rayonOM?contenu dans le planxOy ?ez(ou?uzou?z) est parall`ele `a l"axeOz Dans ce rep`ere, le vecteur champ ´electrique a 3 composantes et s"´ecrit E(M) =Eρ?eρ+Eφ?eφ+Ez?ezou-→E(M) =(( E E E z))1.2. COORDONN´EES CYLINDRIQUES3
Au pointM, la relation entre les vecteurs unitaires (?eρ,?eφ,?ez) et les vecteurs unitaires cart´esiennes
?ex,?ey,?ez) s"´ecrivent : eρ= cosφ?ex+ sinφ?ey eφ=-sinφ?ex+ cosφ?ey ez=?ez(1.1) On peut voir cette relation comme une relation matricielle (tensorielle) (?eρ eφ ez)) cosφsinφ0 -sinφcosφ00 0 1))
(?ex ey ez)) =T((?ex ey ez)) Les relation inverses sont obtenues en prenant l"inverse dela matriceT. Puisque les deux bases sont orthonorm´ees, on aT-1=Tto`uTtest la transpose de la matriceT. On obtient de cette mani`ere les vecteurs unitaires ( ?ex,?ey,?ez) en fonction des (?eρ,?eφ,?ez) : (?ex ey ez)) cosφ-sinφ0 sinφcosφ00 0 1))
(?eρ eφ ez)) c"est-`a-dire. ex= cosφ?eρ-sinφ?eφ ey= sinφ?eρ+ cosφ?eφ ez=?ez On peut ´egalement v´erifier ces relations avec de la g´eom´etrie.1.2.3 Position et d´eplacement (diff´erentielle) en coordonn´ees cylindriques
On se rappelle qu"en coordonn´ees cart´esiennes, le vecteur position s"´ecritOM=x?ex+y?ey+z?ez
et la diff´erentielle de cette position s"´ecrit dOM≡∂--→OM
En coordonn´ees cylindriques par contre, on ´ecritOM=ρ?eρ+z?ez
et la diff´erentielle s"exprime : dOM=∂--→OM
Si l"on veut exprimerd--→OMen coordonn´ees cylindriques, il faut tenir compte du fait que le vecteur
unitaire local ?eρd´epend de la coordonn´eeφ(voir eq.(1.1)) : OM OM∂φ=ρ∂?eρ∂φ=ρ∂∂φ(cosφ?ex+ sinφ?ey) =ρ(-sinφ?ex+ cosφ?ey) =ρ?eφ
Un d´eplacement en coordonn´ees cylindriques s"exprime donc1.3. COORDONN´EES SPH´ERIQUES4
Cette formule est tr`es utile afin d"en d´eduire des volumes et des surfaces ´el´ementaires. Par exemple,
un ´el´ement de volume ´el´ementaire en coordonn´ees cylindriques s"exprime dV= (dρ)(ρdφ)(dz) =ρdρdφdz(1.3) Exemple :On peut utiliser ce r´esultat `a d´eriver la formule pour un cylindre de rayonRet de coteL:Volume
cylindreR,L=??? cylindre dV=? R 0 dρ? 2π 0ρdφ?
L 0 dz=L? R 0ρdρ?
2π 0 dφ = 2πL? R 0ρdρ=πR2L
1.2.4 Gradient en coordonn´ees cylindriques
La diff´erentielle en coordonn´ees cylindriques d"un champscalaire Φ s"exprime : dΦ =∂Φ Le gradient en coordonn´ees cylindriques est d´efinie telleque : dΦ =---→gradΦ·d--→OM(1.5) Une comparaison entre (1.2), (1.4) et (1.5) montre que l"expression du gradient en coordonn´ees cylindriques s"´ecrit : gradΦ =∂Φ Exemple : Lorsque le potentiel ´electriqueV(M) est exprim´e en coordonn´ees cylindriques(ρ,θ,z), les composantes du champ ´electrique dans le rep`ere cylindrique attach´e au pointMsont
donn´ees par:-→E(ρ,φ,z) =----→gradV(ρ,φ,z)E=Eρ?eρ+Eφ?eφ+Ez?ezE
ρ=-∂V
Eφ=-1
ρ∂V∂ρ
E z=-∂V ∂zLe potentiel cr´e´e par une distribution lin´eique de charge avec une densit´e par unit´e de longueur
λest donn´e parV(ρ) =-λ
2π?0ln(ρ) +Cte. On obtient imm´ediatement le champ ´electrique par
E(ρ) =----→gradV(ρ) =λ
2π?0ρ?eρ
1.3 Coordonn´ees sph´eriques
1.3.1 Rep´erage d"un point en coordonn´ees sph´eriques
En coordonn´ees sph´eriques, un pointM(r) est consid´er´e comme un point d"une sph`ere centr´ee sur
O. Le pointMest rep´er´e
•par le rayonrde la sph`ere `a laquelle il appartient •L"angleθentre la direction-→Ozet la direction--→OM.θ= (-→Oz,--→OM)•l"angleφentre la direction-→Oxet la direction---→OM?o`uM?est la projection deMdans le
planxOy.:φ= (-→Ox,---→OM?)1.3. COORDONN´EES SPH´ERIQUES5
M" ?O z x y r M e ere? M""Figure 1.3:Coordonn´ees sph´eriques
Un pointM(r) ´etant donn´e, on trouve que ses coordonn´ees cart´esiennes s"´ecrivent en fonction
des coordonn´ees sph´eriques; ainsi: x=rsinθcosφ y=rsinθsinφ z=rcosθEn g´eographie, o`u on est amen´e `a rep´erer un point sur la sph`ere terrestre, l"angleθindiquerait
la latitude par rapport au pˆole nord et l"angleφ, la longitude est par rapport au m´eridien de
r´ef´erence.1.3.2 Rep´erage d"un vecteur en coordonn´ees sph´eriques
En coordonn´ees sph´eriques, un vecteur-→E(M) (ou simplement-→E(-→r)) attach´e au pointM(r) est
rep´er´e par trois composantes (Er,Eθ,Eφ) dans un rep`ere orthonorm´elocal(?er,?eθ,?eφ) :
E(M) =Er?er+Eθ?eθ+Eφ?eφ
avec ?er(ou?urou?r) est un vecteur parall`ele `a--→OM. ?eθ(ou?uθou?θ) est parall`ele au vecteur tangent enMau cercle de rayonrd´ecrit dans le plan qui contient `a la fois les directions-→Oz,--→OMetOM?.quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] Correction exercices : ADN et transgenèse Exercice 1 : 1- La
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