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freemaths.frLethéorèmedutoit
Théo Soientd
1 etd 2 deux droites parallèles contenues respective- ment dans les plansP 1 etP 2 . Si ces deux plansP 1 etP 2 sont sécants en une droiteΔ, alors la droiteΔest parallèle àd 1 etd 2 Démonstration :Par l"absurde. On considère queΔn"est pas paralléles àd 1 ce qui entraine queΔn"est pas parallèle àd 2
On appelle
?vun vecteur directeur deΔ
Commed
1 etd 2 sont parallèles, on ap- pele ?uleur vecteur directeur.
CommeΔn"est pas parallèle àd
1 ,?uet ?vne sont pas colinéaires donc, comme
Δest contenu dansP
1 ,?uet?vsont des vecteurs directeurs du planP 1
CommeΔest aussi contenu dansP
2 ?uet?vsont aussi des vecteurs direc- teurs du planP 2 d 1 d 2 P 2 P 1 ?u?u ?v
On en déduit que les plansP
1 etP 2 sont parallèles qui est contradictoire avec l"hypothèseP 1 etP 2 sécants
Δest donc parallèle àd
1 etd 2
6.Géométrie dans l'Espace
Droiteorthogonaleà
un plan Théo Une droiteΔest orthogonale à un planPsi, et seulement si, il existe deux droites sécantes dePperpendiculaires àΔ.
Démonstration :
SiΔest orthogonale àPdoncΔest orthogonale à toute droite dePdonc
à deux sécantes deP
Soit?nun vecteur directeur deΔet?u
1 et?u 2 les vecteurs directeurs respectifs des deux sécantes deP:d 1 etd 2
1)Δest perpendiculaire àd
1 etd 2 donc : nu 1 =0 et nu 2 =0 2)d 1 etd 2 sont sécantes donc les vecteurs?u 1 et?u 2 ne sont pas colinéraires, ils forment donc un couple de vecteurs directeur du planP.
3) Soit
?vun vecteur directeur d"une droite quelconque deP, comme?u 1 et?u 2 forme un couple de vecteurs directeurs deP,ona:?v=a?u 1 +b?u 2 avec (a;b)R 2 4) n?v=n(a?u 1 +b?u 2 )=a n?u 1 +b n?u 2 =0 d"après le 1) Δest donc orthogonale à toute droite deP, doncΔest orthogonale àP .3Équationcartésienned"unplan Théo L"équation cartésienne d"un plan est de la forme : ax +by+cz+d=0 aveca,betcnon tous nul
Le vecteur
?n(a;b;c)est alors un vecteur normal au plan.
Démonstration :
Soit un planP, un pointAdeP, un vecteur normal?n(a;b;c)deP. Un point M (x;y;z)du planPvérifie alors :
AM?n=0
a (xx A )+b(yy A )+c(zz A )=0 ax +by+cz(ax A +by A +cz A )=0
On posed
=(ax Aquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3
Géométrie dans l’espace