[PDF] Terminale S - géométrie vectorielle et analytique de l'espace



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Terminale S - géométrie vectorielle et analytique de l'espace Géométrie vectorielle et analytique de l"espace

Terminale S

Lycée Charles PONCET

Décembre 2012

Table des matières

1 Vecteurs de l"espace2

1.1 Définition des vecteurs de l"espace

2

1.2 Somme vectorielle

2

1.3 Produit d"un nombre réel et d"un vecteur

2

1.4 Caractérisation vectorielle d"une droite de l"espace

3

1.5 Caractérisation vectorielle d"un plan de l"espace

3

1.6 Vecteurs coplanaires

3

2 Repérage dans l"espace

4

2.1 Base de l"espace

4

2.2 Repère de l"espace

4

2.3 Formules de géométrie analytique

5

3 Représentations paramétriques

5

3.1 Représentation paramétrique d"une droite

5

3.2 Représentation paramétrique d"un plan

6 Le symbole/indique les exemples à traiter, des démonstrations à trouver.

Le symbole*indique des points importants, des pièges possibles, des notations particulières, etc.

1 Vecteurs de l"espace2L"espace est muni d"une unité de longueur, lorsque cela est nécessaire.

1 Vecteurs de l"espace

1.1 Définition des vecteurs de l"espace

Les vecteurs de l"espace sont définis comme dans le plan.

Définition 1.1.1

Un vecteur

~unon nul est défini par sa direction, son sens et sa norme notéek~uk. Si ~u=!AB, le vecteur~ua pour direction celle de la droite(AB), son sens est deAversBetk~uk=AB.

Le vecteur nul, noté

~0, est le vecteur dont la norme est nulle. *Lorsque~u=!AB, on dit que!ABest un représentant de~u.

Pour tout pointAde l"espace,!AA=~0.

Définition 1.1.2

Pour que deux vecteurs non nuls de l"espace soient égaux, il faut et il suffit qu"ils aient la même

direction, le même sens et la même norme.

Propriété 1.1.1

A,B,CetDétant quatre points distincts deux à deux de l"espace : !AB=!CDsi, et seulement si,ABDCest un parallélogramme. !AB=!CDsi, et seulement si,[AD]et[BC]ont le même milieu.

1.2 Somme vectorielle

Définition 1.2.1

Si

~uet~vsont deux vecteurs non nuls de l"espace alors~w=~u+~vest défini par l"une des deux manières

suivantes : SiA,BetCsont trois points de l"espace tels que~u=!ABet~v=!BCalors~w=!AB+!BC=!AC (relation deCHASLES1). SiO,M,Nsont trois points de l"espace tels que~u=!OMet~v=!ONalors~w=!OPtel que OMPNsoit un parallélogramme (règle du parallélogramme). /Représenter graphiquement les deux définitions.

1.3 Produit d"un nombre réel et d"un vecteur

Définition 1.3.1

On considère un vecteur

~ude l"espace et un nombre réel.

Si~u=~0ou si=0alors~u=~0.

Si~u6=~0et si6=0alors~uest le vecteur qui a la même direction que~u, le même sens que~u si > 0, le sens contraire si < 0etk~uk=jj k~uk.

Définition 1.3.2

Deux vecteurs

~uet~vde l"espace sontcolinéairessi l"une des deux conditions suivantes est réalisées :

Il existe un nombre réelktel que~v=k~u.

Il existe un nombre réelk0tel que~u=k0~v.1. Michel CHASLES(1793-1880) est un mathématicien français dont les travaux ont porté sur la géométrie projective et

l"analyse harmonique.Jérôme CHALLIERLycée Charles PONCET- CLUSES

1 Vecteurs de l"espace3*Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs de l"espace, puisque, pour tout vecteur~ude

l"espace, ~0=0~u.

Propriété 1.3.1

Trois points de l"espaceA,BetCsont alignés si, et seulement si,!ABet!ACsont colinéaires.

Propriété 1.3.2

On considère quatre points de l"espaceA,B,CetDtels queA6=BetC6=D. Les droites(AB)et(CD)sont parallèles si, et seulement si,!ABet!CDsont colinéaires.

1.4 Caractérisation vectorielle d"une droite de l"espace

Les propriétés sont identiques à celles vues en géométrie plane.

Propriété 1.4.1

AetBsont deux points distincts de l"espace.

Un pointMde l"espace appartient à la droite(AB)si, et seulement si, il existe un nombre réelttel

que!AM=t!AB. *En posant~u=!ABla condition s"écrit!AM=t~uet~uest un vecteur directeur de la droite(AB).

Propriété 1.4.2

Deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

1.5 Caractérisation vectorielle d"un plan de l"espace

Propriété et définition 1.5.1

On considère deux vecteurs

~uet~vnon colinéaireset un pointAde l"espace. L"ensemble des pointsMde l"espace tels qu"il existe deux nombres réelsxetyvérifiant : !AM=x~u+y~v est un plan passant parA.

Les vecteurs

~uet~vforment un couple devecteurs directeursdu plan. /Démontrer la propriété1.5.1 .

Propriété 1.5.2

Pour que deux plans soient parallèles, il faut et il suffit qu"ils aient le même couple de vecteurs

directeurs. /Démontrer la propriété1.5.2 .

1.6 Vecteurs coplanaires

Définition 1.6.1

Des vecteurs de l"espace sontcoplanairessi leurs représentants de même origineAont leurs extré-

mités dans un même plan passant parA.

Théorème 1.6.1

Trois vecteurs

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