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Géométrie dans l"espace : Partie 2
S. GIBAUD
Octobre-Novembre 2017 : Durée Totale Prévue 3 semaines1 Position relatives de droites et de plansFigure1 - Une Droite et un planFigure2 - Deux DroitesFigure3 - Deux Plans
12 Vecteurs dans l"espace
Les vecteurs dans l"espace c"est comme des vecteurs dans un plan avec juste une coordonnée en plus. - Deux vecteurs non nuls-→uet-→vsont colinéaires lorsqu"il existe un réelktel que-→v=k-→u. - Trois pointsA,BetCsont alignés ssi les vecteurs--→ABet-→ACsont colinéaires. - Deux droites(AB)et(CD)sont parallèles ssi les vecteurs--→ABet--→CD sont colinéaires. Définition 2.1.Trois vecteurs non nuls-→u,-→vet-→wsont coplanaires ssi on peut exprimer l"un comme combinaison linéaire des deux autresi.e.il existe α,βtels que-→w=α-→u+β-→v.2.1 Définition vectorielle d"une droite et d"un plan
Définition 2.2(Droite).SoientA,Bdeux points distincts. La droite(AB) est l"ensemble des pointsMtels que--→ABet--→AMsont colinéaires,i.e.il existe t?Rvérifiant :--→AM=t--→ABTout vecteur
-→unon nul colinéaire à--→ABest unvecteur directeurde la droite(AB).Définition de la droited
La droitedpassant par le pointAet de vecteur directeur-→unon nul est l"ensemble des pointsMtels que --→AM=t-→u , t?R Remarque.Le segment[AB]est l"ensemble des pointsMtels qu"il existe Définition 2.3(Plan).SoientA,BetCtrois points non alignés. Le plan (ABC)est l"ensemble des pointsMtels que--→AB,-→AC,--→AMsont coplanaires, i.e.il existeα,β?Rvérifiant : --→AM=α--→AB+β-→AC.Les vecteurs
--→ABet-→ACsont desvecteurs directeursdu plan(ABC).Définition du planP
Le planPpassant parAet de vecteurs directeurs-→u, et-→vnon colinéaires est l"ensemble des pointsMtels que --→AM=α-→u+β-→v , α,β?R 22.2 Repérage dans l"espace
Définition 2.4.- Trois vecteurs-→i ,-→jet-→kkforment unebasedeR3 s"ils ne sont pas coplanaires,i.e.il n"existe pas de réelsα,β,γnon tous nuls tels queα-→i+β-→j+γ-→k=-→0. - L"espace est muni d"unrepère(O,-→i ,-→j ,-→k)si les vecteurs-→i ,-→j et-→kforment une base deR3(i.e.sont non coplanaires). Alors, pour tout pointMde l"espace, il existe un unique triplet(x,y,z)tel que :OM=x-→i+y-→j+z-→k .
L"abscisses, l"ordonnéeyet la cotezdeMsont les coordonnées deM. On noteM(x,y,z).
- Tout vecteur-→ude l"espace se décompose de façon unique sous la forme-→u=x-→i+y-→j+z-→k. On note-→u(x,y,z). Théorème 2.5.Soient deux vecteurs-→u(x,y,z)et-→v(x?,y?,z?), et deux pointsA(xA,yA,zA)etB(xB,yB,zB). - Le vecteur-→u+-→va pour coordonnées(......,......,......) - Avecλ?R, le vecteurλ-→ua pour coordonnées(......,......,......). - Le milieuIdu segment[AB]a pour coordonnées :......,......,....... - Si le repère est orthonormé : avecA(xA,yA,zA)etB(xB,yB,zB)on a AB= -→u?=1. Montrer queA,BetCne sont pas alignés.
2. Montrer queA,B,CetDne sont pas coplanaires.
2.3 Représentation paramétrique d"une droite et d"un plan
Remarque.Soitdla droite passant par le pointA(xA,yA,zA)et de vecteur directeur-→u= (x-→u,y-→u,z-→u). Alors un pointM(x,y,z)appartient à la droite dssi il existet?Rvérifiant :AM=t-→u?8
La définition suivante est TRES TRES TRESIMPORTANTE 3 Définition 2.6(Équation paramétrique d"une droite).Un système d"équa- tions paramétriques de la droitedpassant pas le pointAet de vecteur directeur-→uest : 8< Remarque.Une droite admet une infinité de représentation d"équations pa- ramétriques. Exemple.Soient deux pointsA(3,4,7)etB(3,5,1). Donnez le système d"équa- tions paramétriques de la droite(AB).2.3.1 Methode 1 : Trouver une Représentation Paramétrique
Il suffit de connaître un pointAet un vecteur directeur-→ude la droite. Pour la droite(AB), le vecteur-→u=--→ABconviendra. Pour une droited? parallèle àd, tout vecteur directeur dedconviendra. Exemple.Dans un cubeABCDEFGH, on se place dans le repère ortho-normé(A;--→AB;--→AD;-→AE). Déterminer un système d"équations paramétriques
de la droite(BH), puis de la droiteΔparallèle à(BH)passant parG.