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14CHAPITREII.ESPACESM
ETRIQUES,ESPACESVECTORIELS NORM
ES,ESPA CESPR
EHILBERTIENS
8Pa rtiesetespacescompacts
8.AD´efiniti onetpropri´et´esg´en´eral es
D´efinition.Uneparti eAd'unespacem´e trique(E,d)es tditecompac tesidetoutes uitedeA onpe utextraireune sous-suiteconvergente(d ans(E,d))v ersun´el´em ent deA. SiA=Etoutentier ,onditquel'espacem´etr iqu e(E,d)es tcompact. Remarque.Toutepartiefe rm´eed'unespacem ´etriquecompact(oud'une partiecompacte d'un espacem´etrique) estcompacte(imm´ediat,l'´ecrire) . Proposition.Toutepartiecomp acted'unespacem´etri queestferm´eeetborn´ee. Attention!Lar´eciproqueestfau sse eng´en´eral(cf.B).Elleestparcontre vraiedans(R,|·|) grˆaceauth´eor`e med eBolzano-Weierstrass:siAestferm´ eetborn´edansR,tou tesuitedeAest unesuite r´eelleborn´eedon cadmetunesous-suiteconv ergente,etlalimite decettede rni`ereest dansApuisqueAestsuppos ´eferm´e. Enparti culier,toutsegmentdeRestcompact. Maisilyadescompactsd eRpluscompliqu´ es, commeparexempl el'ens embletriadiquedeCantor( cf.Wikipedia).D´emonstration.(cf.notesmanus crites)
Enpart iculierunespacem´etriquecom pactestborn´e( ilesttoujoursfer m´edanslui -mˆeme).Maisonaenf aitm ieu x:
D´efinition.Unes pacem´etrique(E,d)estpr´ecompactsipourt out">0,Eestrecouv ertpar uner´euni onfiniedeboulesderayon". Proposition.Unespac em´etriquecompact estcompletetpr´ecompact. (Onrappell equ'unespacem´etrique estditcompletsi danscetespace,tout esuitedeCauchy estconver gente).Onverradansleprochainchapitre qu'ils 'agitenfaitd'une´ equivalenc e. D´emonstration.Exercice:pr ouverlapr´ecompacit´e ens'i nspirantdelapreuvedelaproposition n n unesuited eCauchyde(E,d).Parcom pacit´e ,elle admetunesous-s uiteconver gente,doncunevaleurd'adh´eren ce.Ordanstoutespacem´etrique, unesuite deCauchyquiadmetu nevaleu rd'adh´erencees tconvergent e(Exercice).Donc( E,d) estcomple t. On´enon cemaintenantdeuxg´e n´eralisationsder´esultatsv usdansRimpliquantcontinuit´e etcompac it´e,ainsiqu'uncorollaire:Th´eor`eme.Soitf:(E,d
E )!(F,d F )uneappli cationcontinue.SiAestunep artiecomp acte de(E,d E ),f(A)estunep artiecomp actede(F,d F Onabr`e gesouventcet´enon c´epar"l'imagecontinue d'uncompact estuncompact".Onverraentopologi eg´en´eralequ'i lfautˆetreunpeupluspr´ecisl orsqu'onneserestr eintplus auxespaces
m´etriques. Notonsqu'unc ompactnonvideKdeRestborn´e ,doncadmetuninfetuns up,quison t limitesd'´el´ ementsdeK,don cappartien nent`aKpuisqueKestaussife rm´e.Cesontdon cenfait unmine tunmax.Ains i,sidan sl'´e nonc´eci-d essusonconsid`er elecaso `u(F,k·k F )=(R,|·|), onobt ientquefestborn´e esurAetatteintsesbornes(expressionquin'adesensquedansR).