[PDF] Feuille d’exercices no3 - Université Sorbonne Paris Nord



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Master Maths Fonda. et Appliqu

´ees Orsay 2008-09

1 `ere ann´ee - 2`eme semestre - AnalyseFeuille d"exercices n o3 Espaces compacts1 -Minimisation d"une fonctionnelle d"action. On travaille dansR2euclidien. Pourm1= (x1,y1),m2= (x2,y2) etL≥d(m1,m2), on consid`ere C={γ: [0,L]→R2|γ(0) =m1,γ(L) =m2etγest 1-lipschitzienne}.

On d´efinitE:C →RparE(γ) =?L

0y(t)dto`uγ(t) = (x(t),y(t)).

Montrer queEest minor´e surCet qu"il existe une fonctionγ0? Ctelle queE(γ0) = infCE.2 -Cube de Hilbert.

1. Soit (an)n?Nune suite de r´eels positifs telle quean→0 quandn→ ∞. Montrer que

C est un sous-ensemble compact del∞(N).

2. Montrer que

C={(un)n?Ntelle queun→0 quandn→ ∞}

n"est pas un sous-ensemble compact del∞(N).3 -Espace de Sobolev discret.

On consid`ere l"espace (?2(N),?.?2) des suites r´eellesa= (an)n?Nde carr´e sommable, muni de la

norme?a?2= (? n?N|an|2)1/2. On note B:=? a??2(N)|?

Montrer queBest une partie compacte de?2(N).

Indication.

´Etant donn´ee une suite(ak)k?Nd"´el´ements deB, on pourra commencer par montrer que(ak)k?Nadmet une sous-suite(aφ(k))k?Nqui converge simplement, montrer que la limiteade cette sous-suite est dansB, puis montrer que(aφ(k))k?Nconverge en fait versaau sens de la norme ?.?2.

4 -Familles de fonction relativement compactes ou non.

1. DansE=C([0,1],R) muni de la norme du sup, on consid`ere pourk≥0, l"espaceFdes fonctions

C

2. Soitfune fonction continue deR+dansR. Pourn?N, on notefnla fonction d´efinie sur [0,1]

parfn(t) =f(nt). Montrer que la famille de fonctions{fn|n?N}est relativement compacte dans E=C([0,1],R) muni de la norme du sup si et seulement sifest constante. Qu"en est-il avec la famille{gn?E|n?N?}o`ugn(t) =f(t/n)?

3. Pourn?N, on d´efinitfnsurRparfn(x) =11 + (x-n)2. Montrer que la famille de fonctions

F={fn|n?N}est ´equicontinue surR. Est-elle relativement compacte (pour la norme du sup)?5 -Distance de Hausdorff.

Soit (X,d) un espace m´etrique compact non vide. On noteF={parties ferm´ees non vides de X}. PourA? F, on poseφ(A) :X→Rla fonction d´efinie par

φ(A)(x) =d(x,A) = infa?Ad(x,a).

PourA,B? F, on noteδ(A,B) =?φ(A)-φ(B)?∞= sup x?X|φ(A)(x)-φ(B)(x)|.

1. V´erifier queδest une distance surF(appel´ee distance de Hausdorff).

2. On suppose que (An)n≥0est une suite deFtelle queφ(An)→funiform´ement surX, quand

n→+∞, pour une fonctionf:X→Rcontinue. On noteA=f-1({0}). a) Soitx?X. Montrer qu"il existean?Anavecφ(An)(x) =d(x,an). En d´eduire qu"il existe a?Atel qued(x,a) =f(x). c) Conclure quef=φ(A).

3. En d´eduire, `a l"aide du th´eor`eme d"Ascoli, que (F,δ) est compact.6 -Op´erateurs `a noyaux continus.

On noteE=C([0,1],C) que l"on munit de la norme du sup. Pourk: [0,1]×[0,1]→Ccontinue etf?E, on pose

K(f)(x) =?

1 0 k(x,y)f(y)dy (ks"appelle le noyau deK).

1. V´erifier queKd´efinit une application lin´eaire continue deEdansE.

2. Montrer, `a l"aide du th´eor`eme d"Ascoli, que l"image parKdeB

E(0,1), la boule unit´e ferm´ee de

E, est relativement compacte dansE. (On dit queKest un op´erateur compact.)

3. Pourλ?C, on poseEλ= ker(K-λId). Montrer, `a l"aide du th´eor`eme de Riesz, queEλest de

dimension finie siλ?= 0.7 -Fonctions presques p´eriodiques. SoitE=Cb(R,R) l"espace des fonctions continues born´ees deRdansRmuni de la norme du sup. Pourf?Eeta?R, on poseτaf(x) =f(x+a). On dit quef?Eest presque p´eriodique si la famille de fonctionsAf={τaf|a?R}est relativement compacte dansE.

1. Montrer que les fonctions p´eriodiques sont presque p´eriodiques.Indication.Consid´erer l"application

τ:a→τafet remarquer queAf=τ([0,T]) sifestT-p´eriodique.

2. Montrer que l"espace des fonctions presque p´eriodiques est un sous-espace vectoriel ferm´e deE.

Est-il r´eduit aux fonctions p´eriodiques?

3. Soitf?Ed´efinie parf(x) =11+x2. Montrer en consid´erant les (τnf)n?N, quefn"est pas presque

p´eriodique, bien que la familleAfsoit ´equicontinue.

4. Montrer quefest presque p´eriodique ssi?ε >0,?lε>0, tel que tout intervalle de longueurlε

de (Tnf)n?Z.)8 -Applications propres Soitf: (X,d)→(Y,δ). On dit quefest propre sif-1(K) est compact pour tout compactK?Y.

1. a) Montrer que sifest continue etXest compact, elle est automatiquement propre. Donner un

exemple d"application continue non propre avecX=Y=R.

b) Montrer que sifest continue et propre, alors elle est ferm´ee (l"image d"un ferm´e est un ferm´e).

c) Montrer que sifest continue injective et propre, alors elle induit un hom´eomorphisme deX surf(X).

2. Applications :

a) Soitf:R→R2d´efinie parf(t) = (t+ cos(2t),sin(2t)). Montrer que la courbef(R) est un ferm´e deR2(et en donner son allure)(`a comparer avec l"ex 2 2c). b) Soitf:U= (R?+)3→Rd´efinie parf(x,y,z) =xyz+1x +1y +1z

Montrer que inf

Ufexiste et est atteint. Le d´eterminer (`a l"aide d"un cours de calcul diff´erentiel).

9 -Ensemble de Cantor

On consid`ere l"ensemble de Cantor "abstrait"X={0,1}N(=? n?N{0,1}) des suites de 0 et de 1.

On munitX, de sa topologie produit.

1) Montrer queXest compact.

2) Montrer queXest hom´eomorphe `a l"ensemble de Cantor triadique

K=?? n≥1a n3 n|an? {0,2}? ?[0,1].

(on pourra utiliser l"exercice pr´ec´edent).10 -Une caract´erisation des parties relativement compactes

Soit (E,? ?) un espace vectoriel norm´e etKune partie non vide deE.

1. On suppose queKest relativement compacte. Montrer, en utilisant la pr´ecompacit´e qu"il existe

une suite de compacts non vides (Kn)n?Ntelle que • ?n?N,Kn?K, • ?n?N, Vect(Kn) est de dimension finie, •la suite de fonctions (d(.,Kn))n?Nconverge uniform´ement vers 0 surK.

2. On suppose dans cette question queEest complet, et qu"il existe une suite de compacts non

vides (Kn)n?Nsatisfaisant les conditions pr´ec´edentes. Montrer queKest relativement compacte.

3.Application.Soit (an)n?Nune suite de r´eels positifs telle quean→0 quandn→ ∞. En utilisant

la question 2, montrer que C est un sous-ensemble compact del∞(N).quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7