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Espacestopologiquescompacts
1Introduction
2Notionsdebase
brable).
DéfinitionSoit
?Ui ?i?I???(X).Ondiraque?Ui ?i?Iestunrecouvrementouvert deXsi ?i?I?Ui? ?etque X i?IU i
DéfinitionOndiraque(X,
ydeX,ilexistedesouvertsOxetOytelquex ?Ox?y?OyetOx ?Oy?/0.
DéfinitionOndiraque(X,
-(X, ?)estséparé. si X i?IU i alorsilexisteI0 ?Idecardinalfinitelque X i?I0U i 1
Définition(Proposition)Ondiraque(X,
?)estunespacetopologiquecompactsi ilvérifie: -(X, ?)estséparé. -Detoutfamille ?Fi ?i?Idefermévérifiant i?IF i ?/0? trouverI0 ?Idecardinalfiniettelque i?I0F i ?/0
DémonstrationSoit?Fi
i?IF i ?c i?IFci ?/0c?X Fci mentfini.SoitdoncI0 ?Idecardinalfinitelque i?I0F ci ?X i?I0F i ?/0
CorollaireSi?Fn
alors n?INF n ?/0 ?Fn ?n?INdefermé,ona pourtoutepartiefinieI0deIN: i?I0F i ?/0 (cequiestvraiicicar ?Fn ?n?INestdécroissanteet i?I0F i ?Fi0 oui0=sup ?i?I0 ?)alorsona i?INF i ?/0 2 topologiedéfinieparlavaleurabsolue.
3Suitesdansunespacecompact
laireprécédent. ?xn ?n?INestunesuitedeXetxest unpointdeX,onal'équivalencesuivante: ?xn ?n?INadmetxcommepointd'accumulation ?Onpeutextrairede?xn ?n?IN unesoussuiteconvergeantversx. lation. sembledesvaleursd'adhérenced'unesuite ?xn ?n?INestdonnépar i?0 ?xn;n?i
Posons
F i ????xn;n?i ???i?IN? ?xn ?n?INestparconséquent nonvide.Cqfd. convergente.Peutonalorsaffirmerque(X, ?)estcompact?Laréponse,danslecas
4Sousespacescompacts
Onsupposedorénavantque(X,
?)estunespaceséparé. 3
DéfinitionOnditd'unsousensemblede(X,
?)qu'ilestcompacts'ilestcompact pourlatopologieinduitedecelledeX. caractérisationsuivante:
PropositionOnaéquivalenceentre:
-KestunsousespacecompactdeX. -Pourtoutefamille ?Ui ?i?Id'ouvertsdeXtelque K i?IU i ilexisteI0 ?Idecardinalfinitelque K i?I0U i
DémonstrationSi?Ui
?i?Iestunefamilled'ouvertsdeX,alors ?Ui ?K ?i?Iestune ?Ui ?K etonauranécessairement K i?I0U i ?Ui ?i?I vérifiant K iinIU i duite. enétudiantlapropositionsuivante.
ThéorèmeToutcompactestfermé.
estouvert.SiKc ?ycontenantxet unouvertOycontenantytelqueOx ?y?Oy?/0.Maisonal'inclusion K y?KO y 4
Lafamille?Oy
peutextraireunrecouvrementfini ?Oyi ?i?1??n.Posant O n i?1O x ?yi ?Ui
K.Lafamille
?Fc ?Un;n?IN ?estunrecouvrementouvertdeK.Onpeutdoncen extraireunrecouvrementfinideK ?Ui ?i?I0ouI0estunepartiefiniedeI.Maisalors F i?I0U i etFestcompactCqfd.
Proposition
Démonstration
-Soit ?Ki desélémentsdecettefamilleet ?Uj ?j?JunrecouvrementouvertdeK.Pourtout i=1...n, ?Uj ?Ki K ?Uj ?Ki ?j?Ji0.Maisla famille ?Uj;j?Ji0;i0?1 ?????n ?estfinie,extraitedelafamille?Uj ?j?Jetrecouvre aainsibienmontréqueKestcompact. -Soit ?Ki .C'estdoncunespacecompact.
5Continuitéetcompacité
compacte. 5
DémonstrationSoientKuncompactde(X,
?),(Y, ???)unespacetopologiqueet f:X i ?i?Iunrecouvrementouvert def ?K ?(pourlatopologieinduitesurf?K ?...).Onadonc f ?K i?IU i f ?1 ?A ?B ???f?1 ?A ???f?1 ?Bquotesdbs_dbs11.pdfusesText_17
Espaces m´etriques compacts - univ-lillefr